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17.2 用公式法分解因式 课时巩固卷2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x B． C． D．4x
5．小红是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、邓、州、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．邓州美 B．爱邓州 C．我爱美 D．我爱邓州
6．计算 等于（ ）
A． B． C． D．
7．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
8．若长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，且的值为30，则其面积为（ ）
A．16 B．6 C．5 D．3
二、填空题
9．分解因式：__________．
10．计算__（用幂的形式表示）．
11．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________．
12．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____．
13．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______
三、解答题
14．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．阅读下列材料：分解因式：．
方法一：原式；
方法二：原式．
对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．
请尝试利用材料中的方法分解因式：
(1)；
(2)．
16．小莉做了4道因式分解题，题目如下：
①
②
③
④
(1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ；
(2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果．
17．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：．
上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)用十字相乘法将分解因式的结果为________；
(2)用十字相乘法将分解因式的结果为________；
(3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值．
18．如图，将一张长方形纸片分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
①用含x，y的代数式表示，；
②若，求的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B A C B
1．【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为．
【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意．
B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意．
C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意．
D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意．
故选：C．
2．【答案】A
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键．
3．【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查整式加减运算、有理数乘法运算、完全平方公式及因式分解，熟记合并同类项、有理数乘法、完全平方公式及平方差公式因式分解是解决问题的关键．
依据合并同类项运算、有理数乘法法则、完全平方公式、平方差公式因式分解逐一判断选项正误即可得到答案．
【详解】解：A、由于与不是同类项，不能合并，选项运算错误，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、，选项运算错误，不符合题意；
D、由平方差公式因式分解可知，选项运算正确，符合题意；
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意．
5．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．先提取公因式并利用平方差公式，得到，再根据，，分别对应下列三个字：爱、邓、州，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
∵，，分别对应下列三个字：爱、邓、州、
∴结果呈现的密码信息可能是爱邓州，
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式．
直接提取公因式，进而得出答案．
【详解】解：
．
故选：A．
7．【答案】C
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键．
根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选C．
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查因式分解，利用周长求出，将因式分解后求得的值即可．
【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即长方形的面积为6．
故选：B．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】原式
．
10．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用
【分析】利用提公因式法提公因式，即可得结果．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法的应用；找出公因式是解题的关键，注意符号．
11．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
12．【答案】或或
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，
解得，
∵三角形的三边为，满足，
∴，
∴，
∵c为最长边，
∴，
∵c为偶数，
故或或，
则或或，
∴该三角形的周长为或或，
故答案为：或或．
13．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）用提取公因式法即可；
（2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；
（4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
15．【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
（）利用分组分解法解答即可；
（）利用分组分解法解答即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．【答案】(1)②③
(2)②；③
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
（1）根据题意判断即可；
（2）根据提取公因式和公式法因式分解即可．
【详解】（1）解：小莉做错的或过程不完整的题目是②③，
故答案为：②③；
（2）解：② ；
③ ．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了多项式的因式分解：
（1）直接根据十字相乘法分解即可；
（2）根据，可得，即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）解：；
故答案为：
（3）解：由题意得，
均为整数，
，
．
18．【答案】(1)
(2)①，；②1
【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用
【分析】（1）最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，可推出，据此可得答案；
（2）①阴影部分的面积等于三个长方形的面积之和，非阴影部分的面积等于三个正方形的面积之和，据此求解即可；②根据（2）①可得，则可推出，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵最大的长方形的面积等于三个正方形的面积加上三个长方形的面积，
∴，
∴，
∴代数式可因式分解为；
（2）解：①由题意得，，；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
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