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13.3 三角形的内角与外角 课时巩固卷2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
2．如图，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果，那么
C．两个锐角之和一定是钝角 D．三角形三个内角的和等于
4．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（ ）

A． B． C． D．
6．如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
7．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（）
A． B． C．° D．
8．如图，在中，，点D是边上一点，分别过点A，D作于点E，于点点G是直线上一点，作，则与的数量关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余
二、填空题
9．如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．

10．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
11．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．
12．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

13．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是______．
三、解答题
14．如图，，，分别平分和．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
16．如图，，平分，平分，．求的度数．
17．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数．
18．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，若，求的度数．
（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A A D A C
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【详解】解：由三角形的外角的性质可知，．
3．【答案】D
【知识点】判断命题真假、对顶角的定义、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查命题真假的判断，涉及三角形内角和定理及对顶角的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
根据上述原理逐一分析各选项的正确性即可．
【详解】解：A：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故A错误，不符合题意；
B：若且，不能必然推出，例如，当，，时，满足和，但，结论不成立，故B错误，不符合题意；
C：两个锐角之和可能是锐角，直角和钝角，故C错误，不符合题意；
D：任意三角形的三个内角之和恒等于，故D正确，符合题意；
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
5．【答案】A
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出 ，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴与互余，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键．
运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵在中，°，且，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴．
故选A．
8．【答案】C
【知识点】垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了垂直的定义和直角三角形两锐角互余的性质．分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，根据垂直的性质得到直角，再结合已知角的关系，通过等量代换求出与的数量关系．
【详解】解：分两种情况：
当点G在线段上时，如图：
，，
．
，．
，
．
当点G在线段的延长线上时，如图：
，，
．
．
，
．
综上所述：与的数量关系是相等或互补，
故选：C．
9．【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用
【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案．
【详解】解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
10．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【解析】略
11．【答案】15
【知识点】两直线平行内错角相等、三角形折叠中的角度问题
【分析】根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A′GE=30°，再利用折叠的性质即可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，∠BFE=60°，
∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，
由折叠的性质得：∠A′EF=∠AEF=120°，∠A′=∠A=90°，
∴∠A′EG=∠A′EF-∠FED=60°，
∴∠A′GE=90°-∠A′EG=30°，
∴∠DGD′=∠A′GE=30°，
由折叠的性质得：∠DGH=∠HG D′=∠DGD′=15°，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．【答案】//．
【知识点】与余角、补角有关的计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
13．【答案】/155度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)
证明：∵平分，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，
∴，
∴，，
∵分别平分和
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理的证明、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
（1）根据角平分线定义得，进而即可得证；
（2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
15．【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16．【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵
∴
∵
∴
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∴．
17．【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．
本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）64°；（2）26°；（3）58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=58°，即可求出∠ADG；
（2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG；
（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）由折叠可知：
∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，
∵DE∥AB，AB⊥BC，
∴DE⊥BC，则G在BC上，
∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°，
∴∠ADG=180°-58°×2=64°；
（2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG，
∵GE∥AB，
∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°，
∴，
∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°，
∵∠A=58°，∠B=90°，
∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°；
（3）如图，DG∥AB，
则∠CDG=∠A=58°；
如图，DG∥BC，
∠ADG=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
如图，EG∥AC，
∠ADG=∠G=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
；
如图，EG∥AB，
∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°，
由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°，
∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG，
∴∠EDF=180°-103°=77°，
∴∠ADG=103°-77°=26°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =154°；
如图，DG∥AB，
∴∠ADG=∠A=58°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =122°；
如图，DE∥AB，
∴∠ADG=2∠C=64°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =116°；
如图，GE//AB，
∴∠CEG=∠B =90°，
∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°；
综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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