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15.3 等腰三角形 课时巩固卷2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，，点在上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．等边对等角
C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3．下列说法：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；②有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．其中正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在中，，则对的形状判断最准确的一项是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
6．如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．如图，是等边三角形，若，，，则_____．
12．在中，若，请你补充一个条件使得为等边三角形________．
13．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）．
14．如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米．
15．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________．
三、解答题
16．如图，在和中，，．求证：．
17．如图，在中，于点是上一点，．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
18．如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
19．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长；
(3)求证：．
20．在平面直角坐标系中，直线m为经过且垂直于y轴的直线，直线n为经过且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形，图形关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形．
根据定义，回答下列问题：
(1)点的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________．
(2)点在第三象限，，分别是点B的一次对称点与二次对称点，为等腰直角三角形．
①求y与x之间满足的数量关系；
②已知，，写出的最小值为_______；
(3)已知点，，若以为边的正方形（P、Q在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A B B D C C
1．【答案】D
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键．
由全等三角形的性质，可得，，确定，结合图形求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，点在上，
∴，
∴．
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】三线合一
【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系．
【详解】解：已知，所以是等腰三角形．
又因为，所以是等腰底边上的中线．
根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即．
因为点在路灯上，所以．
因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”．
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查角平分线的判定性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，根据相关知识点逐一判断各说法即可．
【详解】解：∵ 等腰三角形顶角外角的一半与底角相等，形成同位角或内错角，所以顶角的外角平分线与底边平行，∴ ①正确；
∵ 两边和一角对应相等可能为，不一定全等，∴ ②错误；
∵ 等腰三角形顶角平分线平分顶角，由可证全等，∴ ③正确；
∵ 角的内部到两边距离相等的点必在角平分线上，∴ ④正确.
∴ 正确说法有3个，
故选B．
4．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故选：C．
5．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴的周长是，
故选：A．
6．【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题．
根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解．
【详解】解：如图所示：
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
则一共有5个等腰三角形，
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】找出图中的等腰三角形、两直线平行内错角相等、折叠问题
【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形；
【详解】解：由对折后重合得，，，
，，
和为等腰三角形，
，
，
，，
，，
和为等腰三角形，
因此共有个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键．
9．【答案】C
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆，
以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆，
以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，
再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点的个数为8，
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键．
根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得．
本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
12．【答案】，答案不唯一
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握有一个角为的等腰三角形是等边三角形或两个角的三角形是等边三角形；由，想要使为等边三角形可添加或即可得到答案．
【详解】解：根据等边三角形的性质可得：
∵，
∴或都可以使为等边三角形，
故答案为：，答案不唯一．
13．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答．
【详解】解：在中，是的对边，是的对边，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【答案】4
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质
【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解．
【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，
，，，，，，
的周长为，
当最小时，的周长最小，
，
，
，
，
当时，最小，即最小，
点到的距离为，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
15．【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质
【分析】通过轴对称的性质，分别作点关于、的对称点，将转化为两点之间的线段，结合已知最小值与的长度，利用等边三角形的判定与性质求出的度数．
【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交于，交于，此时取得最小值．
∵点关于、的对称点为、，
∴，，，，．
∵的最小值为，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
16．【答案】
证明： ，，，
．
．
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先根据，，，证明，故，最后由等角对等边，得，即可作答．
【详解】略
17．【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和
(2)直角三角形有和；等腰三角形有
【知识点】三角形的分类、找出图中的等腰三角形、三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键：
（1）写出图中三角形，即可得出结果；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和；
（2）∵，
∴，
∴直角三角形有和，
∵，
∴是等腰三角形．
18．【答案】（1）70°；（2）15km/h
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题
【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
19．【答案】(1)证明：∵，，
，
，
，
，
是等边三角形．
(2)4
(3)证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解；
（3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵是等边三角形，
，
，
，
又，
．
（3）略
20．【答案】(1)；
(2)①；②
(3)
【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解；
（2）①根据一次对称和二次对称的定义得到，，推出，再根据为等腰直角三角形得到，整理即可得出答案；②过点作垂直于轴的直线，过点作于点，易证是等腰直角三角形，则有，得出，再计算出当三点共线时的长度，即可得出答案；
（3）求出正方形的二次对称图形的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于的不等式，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线，直线n为直线，
点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为，
∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：①∵点在第三象限，
∴，，
∵点关于直线m对称的点为，点关于直线n对称的点为，
∴点的一次对称点的坐标为，二次对称点的坐标为，
∴，，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
整理得：，
∴y与x之间满足的数量关系为；
②如图，过点作垂直于轴的直线，过点作于点，
则直线为直线，
由①得，点的坐标为，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为，
此时为点到直线的距离，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵点，，正方形（P、Q在线段的上方），
∴，，
∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，，
∵二次对称图形与过且垂直于y轴的直线有公共点，
∴，
解得，
∴a的取值范围为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质与判定，最短路径问题，求不等式的解集，理解一次对称图形与二次对称图形的新定义是解题的关键．本题属于坐标与图形综合题，需要较强的几何推理和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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