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18.3 分式的加法与减法 课时巩固卷2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：的结果为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（ ）
嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
4．已知，则分式的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．-
5．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（ ）
甲同学： 乙同学：
A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错
6．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
二、填空题
9．计算：______．
10．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果）
11．是物理学中的一个公式，请用表示，则______．
12．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”．
13．已知，则的值为_____________.
三、解答题
14．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
15．我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
例；
例2：．
解决下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)假分式可化为带分式______的形式；
(3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值．
16．列式计算：
(1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？
(2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？
(3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
17．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）．
(1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克；
(2)求出乙两次所购大米的平均单价？
(3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D B B D
1．【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∴关于的“和约分式值”是，
故选：．
2．【答案】C
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加法，关键是将两个分式进行通分，然后，分母不变，分子相加即可得出结果．
【详解】解：原式
．
故选：．
3．【答案】B
【知识点】整式与分式相加减
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键．
根据分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母．
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键．
5．【答案】D
【知识点】分式加减混合运算
【解析】根据分式的运算法则求解．
【详解】解：∵
=
=，
∴甲乙两人都做错了，
故选：D ．
【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
6．【答案】B
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】此题考查了分式的加减运算的应用，
根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数．
【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天．
实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天．
∴推迟天数为实际时间减去原计划时间，
∴
．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可．
【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则，
∴，，
∴，
，
∴
．
故选：B．
8．【答案】D
【知识点】用数轴上的点表示有理数、分式化简求值
【分析】将原式化简后，将代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴表示的点落在④段．
9．【答案】/
【知识点】同分母分式加减法
【详解】解：．
10．【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键；
根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可．
【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，
所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升．
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据等式的性质把变形，即可用s、、t表示．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可．
【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：，
故答案为：
13．【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、分式加减混合运算
【分析】将两边平方求出，进一步可得，即可求出．
【详解】解：∵，∴，即，
∴
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查分式加减运算，平方根，算术平方根，解题的关键是掌握运算法则．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】整式四则混合运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）根据整式的混合运算，同底数幂的乘除法法则即可求解；
（2）根据分式的加减法，因式分解，化简即可求解；
（3）根据实数的运算律，整式的混合运算即可求解；
（4）根据同底数幂的乘除法，分式的性质化简即可求解；
（5）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；
（6）运用乘法公式因式分解，分式的性质化简即可求解；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查整式、分式、因式分解，乘法公式的综合运算，掌握整式的混合运算，分式的性质，因式分解的方法，乘法公式是解题的关键．
15．【答案】(1)真
(2)
(3)1，2，4或5
【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据定义进行化简即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值．
【详解】（1）解：根据“真分式”的定义可知分式是真分式，
故答案为：真
（2）
（3），
为整数，
为整数，
当的值为整数时，分式的值为整数，
或，
的值为1，2，4或5．
16．【答案】(1)
(2)
(3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍
【知识点】列代数式、分式加减的实际应用
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解；
（2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可；
（3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果．
【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有
，
解得，
故调制这种混合饮料需甲种饮料；
（2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字，
则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即．
（3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：，
乙工程队修600米所用时间为：，
则其比值为：，
∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍．
17．【答案】(1)
(2)
(3)乙所购买的大米的平均单价较低
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键．
（1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价；
（3）二者相减比较大小即可．
【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴甲的平均单价为：；
故答案为：；
（2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克，
∴乙的平均单价为：；
（3）解：乙所购买的大米的平均单价较低．
理由：，
因为是正数且，
所以，，
故，
即甲的平均单价大于乙的平均单价．
答案第1页，共2页
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