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有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·织金期末）下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七上·中山期末）若，， 且，则的值是（　　）
A． B．15 C．1或15 D．或
3．（2025七上·上城期中） 10月27 日， 受冷空气影响， 东北、华北等地气温下降， 哈尔滨(-5.7℃) 、太原(-2.6℃)、天津(-1.2℃) 、西宁 (-1.2℃) 、兰州(1.5℃) 、成都(10.8℃) 等6个城市气温创立秋后新低，太原和西宁为立秋后首次跌破冰点。则这6个城市气温最高与最低相差(　　)℃
A．12 B．5.1 C．16.5 D．9.6
4．（2025七上·涪城期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（　　）
A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟
5．（2025七上·东阳月考）已知，则的值不可能等于（　　）
A． B． C．0 D．2
6．（2025七上·拱墅开学考）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（　　）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样．
A． B．
C． D．
7．（2025七上·安州期中）把(＋5)－(＋3)－(－1)＋(－5)写成省略括号的和的形式是（　　）
A．－5－3＋1－5 B．5－3－1－5
C．5＋3＋1－5 D．5－3＋1－5
8．（2025七上·武汉月考）我们常用的十进制数，如2639=2×103＋6×102＋3×10 ＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制(如2513=2×73＋5×72＋1×7 ＋3)，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天
9．（2025七上·潮南月考）若 ，且 ，则 的值为（　　）
A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断
10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·娄底模拟）计算：　 　．
12．（2025七上·瑞安期中）已知一个数与3的和是，则这个数是　 　．
13．（2025七上·海曙期中） 定义一种新运算， a※b=(a+2)×3-b， 例如： 3※5=(3+2)×3-5=15-5=10， 则7※(-3)的值是　 　.
14．（2025七上·鄞州期中）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为　 　．
15．（2025七上·廉江期末）计算：　 　．
16．（2025七上·杭州期中）计算的值　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·兰州期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七上·新华期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负）
（1）这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
19．（2025七上·柯桥期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝ab﹣a﹣b，如2*3＝2×3﹣2﹣3＝6﹣5＝1．求：
（1）3*（﹣5）的值．
（2）（﹣2）*（5*4）的值．
20．（2025七上·台山期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示．
（1）化简_________，________，________，______
（2）如果，求的值．
21．（2025七上·东阳期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 2.1 0 1 1.2 2
箱数 1 2 4 5 3 4 1
（1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？
22．（2025七上·东莞期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
里程
载客 x O O x O
（1）王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？
（2）已知出租车每千米耗油约升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油．
（3）已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？
23．（2024七上·岳阳期中）月日国庆放假，明明一家三口一起乘自家小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆，早上从家里出发，向东走了千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，中午吃过饭后从爷爷家出发向西走了千米到外公家，晚上返回家里．
（1）若以家为原点，向东为正方向，用个单位长度表示千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、、表示出来；
（2）问超市A和外公家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量．
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有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·织金期末）下列计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，故此选项不正确，符合题意；
C、，故此选项正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用有理数的除法、有理数乘除法、有理数的加法和有理数的减法的计算方法逐项分析判断即可.
2．（2025七上·中山期末）若，， 且，则的值是（　　）
A． B．15 C．1或15 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，；，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为或，
故选：D．
【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的加减运算，先根据绝对值求出p、q的所有可能值。绝对值为7的数有两个，即；绝对值为8的数有两个，即。再根据的条件筛选符合的组合，即：当时，q只能取-8（因为7>-8，7<8不满足）；当时，q只能取-8（因为-7>-8，-7<8不满足）。分别计算两种组合的：，，因此的值为-1或-15。
3．（2025七上·上城期中） 10月27 日， 受冷空气影响， 东北、华北等地气温下降， 哈尔滨(-5.7℃) 、太原(-2.6℃)、天津(-1.2℃) 、西宁 (-1.2℃) 、兰州(1.5℃) 、成都(10.8℃) 等6个城市气温创立秋后新低，太原和西宁为立秋后首次跌破冰点。则这6个城市气温最高与最低相差(　　)℃
A．12 B．5.1 C．16.5 D．9.6
【答案】C
【解析】【解答】解：10.8-(-5.7)=16.5℃，
故答案为：C.
【分析】找出最高气温和最低气温，然后求差解答即可.
4．（2025七上·涪城期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（　　）
A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟
【答案】B
【解析】【解答】解： 小王从便利店出发，到家后又返回便利店，按照便利店的时间，这一过程共用时4：15-3：55=20分钟
所以小王从便利店到家的单程时间为 20 ÷ 2=10分钟，
所以小王离开便利店时，便利店的时钟指向3点55分，加上10分钟的行程时间，小王到家的时间应该是4点5分，
而小王家准确时间是4点10分，且（分钟），
所以便利店的时间比准确时间慢了5分钟.
故答案为：B．
【分析】按照便利店的时间，计算出小王从便利店到家用时10分钟，从而确定小王到家的时间，与小王家准确时间对比，即可判断便利店的时钟的走时情况．
5．（2025七上·东阳月考）已知，则的值不可能等于（　　）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当四个数均为时：；
当四个数均为时：；
当四个数中有1个时：；
当四个数中有2个时：；
当四个数中有3个时：；
故的值不可能等于：；
故选B．
【分析】
先由平方根的概念可得，再分类讨论并计算即可．
6．（2025七上·拱墅开学考）分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（　　）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
A、，此方法是根据乘除法的互逆关系，想哪个数乘以等于2，通过乘法来解除法的结果，不是“经分术”先通分，再分子相除的方法，故该选项不符合题意；
B、，此方法运用的商不变得性质，即被除数与除数同时乘以3，商不变，将分数除法转变为整数除法6÷2来计算，不是“经分术”先通分，再分子相除的方法，故该选项不符合题意；
C、，此方法是根据分数除法计算法则，除以一个分数等于乘以它的倒数，不是“经分术”先通分，再分子相除的方法，故该选项不符合题意；
D、，把被除数2转化为，相当于2与进行了通分，然后就可以用分子6除以分子2得到结果，符合《九章算术》的“经分术”要求将分数除法转化为同分母分数后，直接分子相除，故此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】《九章算术》中的“经分术”，分数除法需先将两数通分，再用分子相除，据此逐一判断可得答案.
7．（2025七上·安州期中）把(＋5)－(＋3)－(－1)＋(－5)写成省略括号的和的形式是（　　）
A．－5－3＋1－5 B．5－3－1－5
C．5＋3＋1－5 D．5－3＋1－5
【答案】D
【解析】【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．
【解答】原式=（+5)+（-3)+（+1)+（-5)=5-3+1-5．
故选D．
【点评】必须统一成加法后，才能省略括号和加号．
8．（2025七上·武汉月考）我们常用的十进制数，如2639=2×103＋6×102＋3×10 ＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制(如2513=2×73＋5×72＋1×7 ＋3)，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天
【答案】B
【解析】【解答】解：1×73+3×72+2×7+6
=1×343+3×49+2×7+6
=343+147+14+6
=510
故答案为：B .
【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”， 可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数.
9．（2025七上·潮南月考）若 ，且 ，则 的值为（　　）
A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：∵|abc|=-abc，且abc≠0，
∴a，b，c中负数有1个，正数有2个或3个都是负数，
①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，
则 =-1+1+1=1；
②当a，b，c中3个都是负数时，
则 =-1-1-1=-3.
故 =1或-3.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论，①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，②当a，b，c中3个都是负数时，然后去绝对值，再化简即可得出结果.
10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴
故选：D
【分析】先根据新定义：，把新定义进行化简得到：，再把各项代入计算，再根据相反数结合法进行计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·娄底模拟）计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先把除法化成乘法，然后约分解题．
12．（2025七上·瑞安期中）已知一个数与3的和是，则这个数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：．
【分析】根据题意这个数为与3的差，列示计算即可．
13．（2025七上·海曙期中） 定义一种新运算， a※b=(a+2)×3-b， 例如： 3※5=(3+2)×3-5=15-5=10， 则7※(-3)的值是　 　.
【答案】30
【解析】【解答】解：
∵ 7※(-3)
=(7+2)×3-(-3)
=9×3+3
=27+3
=30，
故答案为：30.
【分析】根据 ，可以求得所求式子的值.
14．（2025七上·鄞州期中）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为　 　．
【答案】18
【解析】【解答】解：用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为18．
故答案为：18．
【分析】
由于要精确到个位，则需要对十分位的数字进行四舍五入即可．
15．（2025七上·廉江期末）计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由
故答案为：．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则，根据题意，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同时同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算，据此作答，即可得到答案．
16．（2025七上·杭州期中）计算的值　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】设，等式两边同时乘以2可得，然后将两个等式相减得出，然后将待求式子利用加法交换律变形后整体代入，将式子中前一百个加数利用等差数列求和公式计算后，再计算有理数减法即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·兰州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七上·新华期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负）
（1）这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
【答案】（1）解：（），
上升记为正，下降记为负，
这架飞机比起飞点高了千米．
（2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升），
飞机下降消耗的燃油为：（升），
（升），
这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油．
【解析】【分析】（1）本题考察正负数的实际意义以及有理数加法的应用。根据题目描述，将给出的数据直接相加即可得出结果。
（2）本题考察绝对值的概念以及有理数加法的实际应用。燃油总消耗量等于飞机上升时消耗的燃油加上下降时消耗的燃油，列出算式计算即可。
（1）解：（），
上升记为正，下降记为负，
这架飞机比起飞点高了千米．
（2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升），
飞机下降消耗的燃油为：（升），
（升），
这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油．
19．（2025七上·柯桥期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝ab﹣a﹣b，如2*3＝2×3﹣2﹣3＝6﹣5＝1．求：
（1）3*（﹣5）的值．
（2）（﹣2）*（5*4）的值．
【答案】（1）解：原式＝3×（﹣5）﹣3﹣（﹣5）
＝﹣15﹣3+5
＝﹣13；
（2）解：5*4
＝5×4﹣5﹣4
＝20﹣5﹣4
＝11，
（﹣2）*11
＝﹣2×11﹣（﹣2）﹣11
＝﹣22+2﹣11
＝﹣31．
【解析】【分析】(1)直接根据新定义的计算规则进行计算即可；
(2)根据运算规则，先计算5*4，再计算后面的（﹣2）*11，即可得结果.
20．（2025七上·台山期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示．
（1）化简_________，________，________，______
（2）如果，求的值．
【答案】（1），，，；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：由数轴可知，
则，，，
故答案为：，，，.
【分析】（1）先结合数轴判断出，再利用绝对值的性质分析求解即可；
（2）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将其代入计算即可.
（1）解：由数轴可知，
则，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
21．（2025七上·东阳期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 2.1 0 1 1.2 2
箱数 1 2 4 5 3 4 1
（1）在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？
【答案】（1）解：根据表格数据，（千克），
最重的一箱比最轻的一箱重千克；
（2）解：由表格数据，得
（千克），
∴与标准质量比较，20箱苹果总计超过千克．
【解析】【分析】
（1）由题意，用最大的2.1减去最小的并结合有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求解；
（2）将表格中的20个数据相加，和为正，表示总计超过标准质量，和为负，则表示总计不足标准质量．
（1）解：根据表格数据，（千克），
最重的一箱比最轻的一箱重千克；
（2）解：由表格数据，得
（千克），
∴与标准质量比较，20箱苹果总计超过千克．
22．（2025七上·东莞期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从M地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；x表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
里程
载客 x O O x O
（1）王师傅走完第5次里程后，他在M地的什么方向？离M地有多少千米？
（2）已知出租车每千米耗油约升，王师傅开始营运前油箱里有16升油，若少于5升，则需要加油，请通过计算说明王师傅这天上午中途是否需要加油．
（3）已知载客时3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米后每千米收费2元，问王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为多少元？
【答案】（1）解：千米，
即他在M地南方，离M地有30千米．
（2）解：千米，
，
∴王师傅这天上午中途需要加油；
（3）解：
元，
即王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为132元．
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减计算，再根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
（2）根据有理数的加法，结合绝对值性质求出总路程，再求出总耗油量，作差求出剩余油量，再比较大小即可求出答案.
（3）根据题意列式计算即可求出答案.
（1）解：千米，
即他在M地南方，离M地有30千米．
（2）解：千米，
，
∴王师傅这天上午中途需要加油；
（3）解：
元，
即王师傅这天上午走完5次里程后的营业总额为132元．
23．（2024七上·岳阳期中）月日国庆放假，明明一家三口一起乘自家小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆，早上从家里出发，向东走了千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，中午吃过饭后从爷爷家出发向西走了千米到外公家，晚上返回家里．
（1）若以家为原点，向东为正方向，用个单位长度表示千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、、表示出来；
（2）问超市A和外公家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量．
【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：因为（千米），
超市A和外公家相距 ： 千米 ；
（3）解：小明一家走的路程：（千米），
共耗油：（升）
答：小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量为1.76升．
【解析】【分析】（1）根据题意，确定A、、的位置，在数轴上表示出来即可；
（2）根据点A、点表示的数，求出的长；
（3）根据：总耗油量小明一家走过的路程小轿车每千米耗油量，列出算式计算．
（1）解：由题意得：
（2）解：因为（千米），
故答案为：；
（3）解：小明一家走的路程：（千米），
共耗油：（升）
答：小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量为1.76升．
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