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14.3 角的平分线 课时巩固卷2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．无法确定
3．如图，在中，是高，是角平分线．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条角平分线交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
5．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（ ）
A．点在的平分线上
B．点在的平分线上
C．点在的平分线上
D．是的平分线的交点
6．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A． B． C．5 D．4
8．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）．
①；②平分，③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是__________（选填“真命题”或“假命题”）．
10．如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________
11．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择．
12．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为________．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交
于点；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；
③作射线，交于点， 若，则___．
三、解答题
14．如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
15．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：．
16．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
17．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
18．阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．
求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，
∴（依据1）．
同理．
∴．
∵是的平分线，
∴点在上（依据2）．
∴，，交于一点．
请解答问题：
(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B A D B A C
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质．点P到点，的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点，的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于E，
是的平分线，，，
，
即点C到边的距离为3．
3．【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是的角平分线，，从而得，进而可求的度数．
【详解】解：是的高，，
，
，
是的角平分线，，
，
．
故选：B．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可．
【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线，的距离相等，
∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
5．【答案】D
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可．
【详解】解：∵点到，的距离相等，
∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上，
∴是的平分线的交点；
故选D．
6．【答案】B
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个．
【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，

∴，
即和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于E，如图，
由作法得平分，
，，
，
，
的面积．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确．
【详解】解：①∵平分，，，
∴，故结论①正确；
②过点D作于点H，如图所示：
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴点D在的平分线上，
∴平分，故结论②正确；
③∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，故结论③正确；
④在和中，
，
∴，
∴，
根据题意，无法得到与的大小关系，
∴无法得到和的大小关系，故结论④错误；
⑤在和中，
，
∴，
∴，
同理证明：，
∴，
∴，
即，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个．
故选：C．
9．【答案】真命题
【知识点】角平分线的判定定理、判断命题真假
【分析】本题考查了判断命题真假、角平分线的判定定理，根据角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题，
故答案为：真命题．
10．【答案】
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】过点分别作于，于，于，可得，进而得到.
【详解】解：过点分别作于，于，于，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴.
11．【答案】4
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
12．【答案】/69度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解．
【详解】解：由作法得平分，
，
，
，
故答案为：．
13．【答案】65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了角平分线的定义、尺规作图、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由三角内角和定理可得，由尺规作图可得平分，即，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，在中，，，
∴
由作图可得：平分，即，
∴．
故答案为：65．
14．【答案】见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【详解】解：如图，即为所求．
15．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
16．【答案】小聪的做法可行，
理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴OP平分∠AOB；
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，准确证明是解题的关键．
通过已知条件证明，得到，，再根据已知条件证明，再根据角平分线的判定证明即可；
【详解】略
17．【答案】，
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可．
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
18．【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
(2)相等
(3)
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）结合（1）可得答案；
（3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中，
依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等．
故答案为：相等；
（3）∵，，，，
∴，
∴
，
即的面积表示为．
答案第1页，共2页
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