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17.2 用公式法分解因式 课时思维作业2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，贵，州，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．贵州爱学 B．我爱贵州 C．贵州学校 D．我爱学校
5．对多项式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将因式分解，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．设，则与最接近的正整数是( )
A． B． C． D．
8．已知，，为的三边长，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
9．若，，则的值为________．
10．当_______时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解．
11．小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为______．
12．如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________．
13．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______．
三、解答题
14．计算、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
15．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
16．小莉做了4道因式分解题，题目如下：
①
②
③
④
(1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ；
(2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果．
17．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示：
这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______．
18．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：
【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：
由于即能被4整除；
而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确．
（1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；
【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明：
（2）是4的倍数；
（3）可以表示为两个正整数的平方差．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B B C D A C
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式法进行因式分解成为解题的关键．
运用公式法和提取公因式法逐项判断即可．
【详解】解：A． ，能分解因式，符合题意；
B． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意；
C． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意；
D． ，既不含公因式，也不符合公式特征，不能因式分解，不符合题意．
故选A．
2．【答案】A
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键．
3．【答案】B
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，代入已知条件即可计算出的值．
【详解】解：，，，
，
．
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查分解因式，利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因式对应的汉字，再判断符合的选项即可．
【详解】解：原式，
∴分解后的因子为，，，，
对应汉字为：贵、州、爱、我，
组合后可能为“我爱贵州”，
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是关键．利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：．
故选：C．
6．【答案】D
【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式．
【详解】解：原式
，
故选：D．
7．【答案】A
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果．
【详解】
因为
所以与最接近的正整数为25．
故选：A．
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定
【分析】对已知等式变形配方，利用平方数的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵，，，
∴，
可得 ，
∴是等边三角形．
9．【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查的是平方差公式，灵活运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．根据平方差公式得到，将已知条件代入，进而求出式子的值．
【详解】解：根据平方差公式，得，
将，代入上式，得，
两边同时除以，得．
故答案为：．
10．【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键．
多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可．
【详解】完全平方公式的形式为，
多项式需与该形式匹配，
，
解得，
代入一次项系数关系，得或；
当时，多项式为，符合题意；
当时，多项式为，符合题意；
故答案是：．
11．【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
12．【答案】
【知识点】平方差公式与几何图形、因式分解的应用
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，即可解答．
【详解】解：图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为，
则．
故答案为：．
13．【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键．
（1）利用单项式的除法和乘法计算即可；
（2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）
15．【答案】（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【知识点】分组分解法
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）
=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1
=a2-1+4a+4
=（a+1）（a-1）+4（a+1）
=（a+1）（a-1+4）
=（a+1）（a+3）
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键．
16．【答案】(1)②③
(2)②；③
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
（1）根据题意判断即可；
（2）根据提取公因式和公式法因式分解即可．
【详解】（1）解：小莉做错的或过程不完整的题目是②③，
故答案为：②③；
（2）解：② ；
③ ．
17．【答案】(1)
(2)7，，2，
【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查的是因式分解的应用，
（1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可；
（2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）若可分解为两个一次因式的积，
则整数p的所有可能值是．
18．【答案】
解：（1）即能被4整除，
结果是4的倍数，
又，
可以表示为3和1的平方差，
故验证结论正确；
（2）证明：，
且均为正整数，
是4的倍数；
（3）由（2）可知，，
的奇偶性相同，不妨设，
都是正偶数，
和都是正整数，
一定能表示为两个正整数的平方差．
【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用
【分析】（1）根据题目模仿即可解答；
（2）运用平方差公式求出结果即可得证；
（3）由（2）可得，再进行说明即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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