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13.3 三角形的内角与外角 课时思维作业2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．同角（或等角）的余角相等 B．三角形的内角和为
C．两直线平行，同旁内角相等 D．三角形的任意两边之和大于第三边
4．如图，在中，．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．具备下列条件的中，不为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，按规定，，时才合格．而且为了舒适，可以根据需求调整大小，调整时，，保持不变．嘉琪躺在躺椅上时，测得，，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：该躺椅合格；
结论Ⅱ：若的度数减少，的度数会增加．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都正确
7．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（）
A． B． C．° D．
二、填空题
9．如图，在中，若，则________°．

10．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

11．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．
12．如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．
13．如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有______．（填序号）
三、解答题
14．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
15．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
16．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
17．如图，，平分，平分，．求的度数．
18．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C C D C C A
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意；
D、如图，
∵，∴，，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【答案】C
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴；
故选C
3．【答案】C
【知识点】两直线平行同旁内角互补、构成三角形的条件、求一个角的余角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及余角、三角形内角和、平行线的性质和三角形三边关系等知识点，掌握上述知识点是解题的关键．
【详解】 A选项：同角（或等角）的余角相等，是真命题；
B选项：三角形的内角和为，是真命题；
C选项：两直线平行，同旁内角互补，但不一定相等，是假命题；
D选项：三角形的任意两边之和大于第三边，是真命题．
故选：C．
4．【答案】C
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案．
【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，
∴∠DBC=180°-90°-70°=20°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角和定理，判断三角形是否为直角三角形．通过代入内角和公式或设未知数求解各角度数，判断是否有度角即可．
【详解】解：∵ 在中，，
对于A：∵ ，∴ ，即，∴ ，是直角三角形．
对于B：∵ ，设，则，，
∴，即，，，是直角三角形．
对于C：∵ ，∴ ，∴ ，是直角三角形．
对于D：∵ ，∴ （因为），则为钝角，无度角，故不是直角三角形．
故选：D．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据三角形内角和定理和三角形外角的性质逐项判断即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
按规定，，，
，
该躺椅不合格，
故结论Ⅰ不正确；
，
，
若的度数减少，的度数也会减少，
故结论Ⅱ不正确；
综上，结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
故选：C ．
7．【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解．
【详解】解：如图所示：
重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
∵，
∴．
摩擦力的方向与斜面平行，
．
8．【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键．
运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵在中，°，且，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴．
故选A．
9．【答案】/55度
【知识点】邻补角的定义理解、两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．【答案】//．
【知识点】与余角、补角有关的计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
11．【答案】三角形内角和等于180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
12．【答案】/度
【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
13．【答案】①②④
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确；
【详解】解：①∵平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确；
②由（1）可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③若平分，
∴，
∵，
∴，
∴，与题干条件矛盾．故③错误.
④在中，，
∵平分的外角，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.
14．【答案】见详解
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出．
【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴,
∵，
∴．
15．【答案】
证明：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】略
16．【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
17．【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
如图，连接，首先根据三角形内角和定理求出，然后结合平行线的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵
∴
∵
∴
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∴．
18．【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，；
（2）解：，理由如下：
如图：
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，．
答案第1页，共2页
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