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全等三角形（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·江油月考）如图，已知，，，则（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
2．（2025八上·义乌月考）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△BPC的面积为3 cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．9cm2 B．7.5cm2 C．6cm2 D．4.5cm2
3．（2025八上·江油月考）如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
4．（2025八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．（2025八上·镇海区开学考）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
6．（2025八上·镇海区开学考）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
7．（2025八上·路南期中）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
8．（2025八上·海宁期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．（2025八上·东阳月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·诸暨期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·慈溪期中）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有　 　对全等三角形.
12．（2025八上·渭源月考）如图，点A在上，，，，则的度数为　 　．
13．（2025八上·杭州月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　 　cm.
14．（2025八上·绵阳期中）如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是　 　
16．（2025八上·嘉陵期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·苍南期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
18．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
19．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
20．（2024八上·璧山期末）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第　 　步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
21．（2024八上·杭州期中）在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
22．（2026八上·龙湖期末）如图，在中，AD是角平分线，，，．
（1）求的度数．
（2）若，求点D到AB的距离．
23．（2024八上·温州期中）如图，四边形ABCD中，AC是对角线，∠D=90°，∠B=∠BCD，AE⊥BC，AD=AE，AB=AF.
（1）求证：∠BCD=∠AFD
（2）若AB=3，求FC的长，
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全等三角形（B卷·综合能力培优卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·江油月考）如图，已知，，，则（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得，，再用三角形内角和定理即可求解．
2．（2025八上·义乌月考）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△BPC的面积为3 cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．9cm2 B．7.5cm2 C．6cm2 D．4.5cm2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图， 延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
故选： C.
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP， 推出AP =PE， 得出， 推出 代入计算即可.
3．（2025八上·江油月考）如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】B
【解析】【解答】解：①，，，
平分，
，
在与中，
，
，
，
∴结论正确，
②，
，
，
，
，
∴结论正确，
③在与中，只有条件，不能判断三角形全等；
综上可得，正确的结论是①②，
故答案为：B.
【分析】①由题意，用角角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②由等边对等角和等量代换可得，然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可求解；
③由题意，用一边一角对应相等不能判断两个三角形全等.
4．（2025八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
5．（2025八上·镇海区开学考）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选：D ．
【分析】根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图求解．
6．（2025八上·镇海区开学考）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】【解答】如图：
共有7个点符合，
所以 图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 7个，
故选：C．
【分析】分别以、、为公共边，根据全等三角形判定，找出与全等的格点三角形即可．
7．（2025八上·路南期中）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
【答案】A
【解析】【解答】解：过点作，
则：，
∴，
∵点为直线上的一个动点，
∴当时，最短，
∵是的平分线，
∴当时，，
∴线段的长不可能是2；
故答案为：A．
【分析】过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，可得到DP的长，据此可作出判断.
8．（2025八上·海宁期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【解析】【解答】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】利用尺规作图可知，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
9．（2025八上·东阳月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据题意可知，是的角平分线，因此可以得到，再结合条件，由平行线的内错角相等可以推出，之后借助三角形内角和定理计算出的度数，最终利用平角为180°的性质就可以直接算出所求角的度数。
10．（2025八上·诸暨期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
作于点F，
∵、的角平分线、交于点P，，，
∴，，，
∴，
∴点P在的平分线上，
∴平分，故①正确．
在和中，
∴，同理，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②错误．
∵，，
∴，故③正确．
∵，且（平分），
∴，故④正确．
故选：D．
【分析】①作，由角平分线上的点，到角两边的距离相等，得，证平分（①对）；
②用AAS证明，， 利用全等三角形的性质得，结合，证②错；
③借，，将、转化为、，得（③对）；
④由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，角平分线的定义，得（④对）．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·慈溪期中）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有　 　对全等三角形.
【答案】3
【解析】【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理得出PE=PF，∠1=∠2，从而利用SAS判断出△AOP≌△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BP，进而利用AAS判断出△EOP≌△FOP，接着利用HL判断得出Rt△AEP≌Rt△BFP，综上所述即可得出答案。
12．（2025八上·渭源月考）如图，点A在上，，，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设、相交于点，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 由 则，，则，对顶角相等则，，.
13．（2025八上·杭州月考）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝7cm，BD＝4cm，则点D到AB的距离为　 　cm.
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝7-4＝3cm，
又∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝3cm，
∴点D到AB的距离为3cm.
故答案为：3．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，由已知条件求出CD的长，再根据角平分线的性质定理可得DH＝CD，即可求解.
14．（2025八上·绵阳期中）如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　．
【答案】25
【解析】【解答】解：延长交于，如下图，
∵平分，垂直于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：25．
【分析】延长交于，由证明，得出，可得BD、CD分别是△ABE、△ACE的中线，根据中线平分面积可得出，，进一步即可得出的面积 ．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是　 　
【答案】30
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于M，
由作图可知，AG平分
由角平分线性质可知
，
故答案为：30.
【分析】过点D作于M，由作图可知平分 ，进而由角平分线的性质可得 再根据三角形的面积公式计算即可求解.
16．（2025八上·嘉陵期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②只有当是的中线时，，故②错误；
③如图，作的平分线交于点，
由①得，
，
，
，
，，，，
∴，，
，，
，故③正确；
④过作，于点，，
由③知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠ACB+∠CAB的度数，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可求出∠AFC的度数，可对①作出判断；若，则可知AD是BC的中线才能成立，可对 ②作出判断；作的平分线交于点，利用ASA可证得，，利用全等三角形的性质可证得，，据此可对③作出判断；过作，于点，，利用角平分线的性质可证得GH=GM，由此可推出，再利用全等三角形的性质，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·苍南期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
（2）解：∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠A+∠B=∠BEC，
∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°，
∴∠B=30°.
∵∠B=∠C，
∴∠C的度数为30°．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C；
（2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数.
18．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，，
即，
，，
，
，
在和中，
，
≌
（2）解：≌，
，，
在中，，
，
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，根据三角形的内角和，则，根据等角对等边，可得，进而根据“角边角”即可证明≌ ；
（2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可．
19．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
20．（2024八上·璧山期末）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第　 　步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵SSA不能证明两三角形全等，
∴小虎同学的证明过程中，第二步出现错误.
故答案为：二.
【分析】（1）由证明过程可知SSA不能证明两三角形全等，即可作出判断.
（2）利用邻补角的定义可知∠BDC=∠CEB，利用AAS证明△DOB≌△EOC，利用全等三角形的对应边相等可证得OD=OE，再利用HL证明△ADO≌△AEO，利用全等三角形的性质可证得结论.
21．（2024八上·杭州期中）在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
【答案】（1）10
（2）解：由作图可知，平分，过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用勾股定理进行计算可求出AB的长.
（2）利用尺规作图可知，平分，因此过点作于点，利用角平分线的性质可证得，再利用的面积求解即可．
（1）解：，，，
，
故答案为：10；
（2）解：由作图可知，平分，
过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得．
22．（2026八上·龙湖期末）如图，在中，AD是角平分线，，，．
（1）求的度数．
（2）若，求点D到AB的距离．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵AD是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示，
∵AD是的角平分线，且，，
∴，
即点D到AB的距离为3．
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和可得出．进而根据角平分线的定义得出．再根据直角三角形的性质，即可得出；（2）过点D作于点F，根据 AD是角平分线， 即可得出。
（1）解：∵，，
∴．
∵AD是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示，
∵AD是的角平分线，且，，
∴，
即点D到AB的距离为3．
23．（2024八上·温州期中）如图，四边形ABCD中，AC是对角线，∠D=90°，∠B=∠BCD，AE⊥BC，AD=AE，AB=AF.
（1）求证：∠BCD=∠AFD
（2）若AB=3，求FC的长，
【答案】（1）证明： .
.
（2）解：
平分 .
【解析】【分析】(1)本题考察三角形全等的判定，根据已知条件可得，再根据全等三角形中对应角的关系即可证明 ∠BCD=∠AFD ；
（2）本题考查平行线的判定以及角平分线的性质，根据同位角相等，两直线平行可知AF∥BC，再根利用角平分线的性质即可求得FC的长度.
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