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第一章 1 因式分解 单元测试卷
（考试时间：90分钟 满分：100分）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1) = x2 - 1 B. x2 - 1 = (x+1)(x-1)
C. x2 - 1 + 2x = (x+1)(x-1) + 2x D. x2 + 2x + 1 = x(x+2) + 1
2. 下列各式从左到右的变形，是整式乘法的是（ ）
A. a2 - b2 = (a+b)(a-b) B. x2 + 2x + 1 = (x+1)2
C. (m+2)(m-2) = m2 - 4 D. x2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)
3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. 3x + 3y - 5 = 3(x+y) - 5 B. (a+b)(a-b) = a2 - b2
C. 4x2 - 4x + 1 = (2x-1)2 D. x2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) +3x
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. x2 - 9 = (x-3)2 B. x2 + 2x + 1 = (x+1)2
C. x2 - 2x - 1 = (x-1)2 D. x2 + xy + y2 = (x+y)2
5. 若多项式 x2 + mx + n 可以分解为 (x+2)(x-3)，则 m、n 的值分别为（ ）
A. m = 1，n = 6 B. m = -1，n = -6
C. m = 1，n = -6 D. m = -1，n = 6
6. 因式分解与整式乘法的关系是（ ）
A. 二者没有关系
B. 二者是互逆的恒等变形
C. 二者是相同的运算
D. 整式乘法是因式分解的逆运算，但因式分解不是整式乘法的逆运算
7. 下列变形：① x2 - y2 = (x+y)(x-y)；② x(x+1) = x2 + x；③ x2 + 2x + 1 = (x+1)2；④ x2 - 1 = x(x - )。其中是因式分解的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若 x2 + kx - 15 = (x+3)(x-5)，则 k 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D. -3
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 因式分解的结果可以是几个整式的和
B. 因式分解的结果必须是几个整式的积
C. 整式乘法与因式分解方向相同
D. 因式分解的对象是单项式
10. 若 x2 + ax + b = (x-1)(x+4)，则 a + b 的值为（ ）
A. -3 B. 3 C. -5 D. 5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 把一个多项式化成几个________的________的形式，这种变形叫做因式分解。
12. 因式分解与整式乘法是________的恒等变形。
13. 若 x2 + mx - 6 = (x+2)(x-3)，则 m = ________。
14. 若 x2 + 2x + k = (x+1)2，则 k = ________。
15. 检验因式分解是否正确，可以将分解后的几个整式________，看结果是否等于原多项式。
16. 若 x2 - mx + 9 = (x-3)2，则 m = ________。
17. 多项式 x2 - 4 分解因式的结果是________。
18. 若 x2 + ax + b = (x+1)(x-2)，则 a + b = ________。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分8分，每小题2分）判断下列从左到右的变形是否为因式分解，是的打“√”，不是的打“×”：
(1) x2 - 4 = (x+2)(x-2) （ ）
(2) (x+3)(x-3) = x2 - 9 （ ）
(3) x2 + 2x + 1 = x(x+2) + 1 （ ）
(4) x2 - xy = x(x - y) （ ）
20.（本题满分8分，每小题4分）检验下列因式分解是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”并改正：
(1) x2 - 9 = (x-3)2 （ ）
(2) x2 + 4x + 4 = (x+2)2 （ ）
21.（本题满分8分，每小题4分）指出下列变形从左到右是因式分解还是整式乘法：
(1) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
(2) 4x2 - 1 = (2x+1)(2x-1)
22.（本题满分8分，每小题4分）
(1) 若 x2 + mx - 12 = (x+3)(x-4)，求 m 的值；
(2) 若 x2 + kx + 16 = (x+4)2，求 k 的值。
23.（本题满分6分）
已知 x2 + ax + b 分解因式的结果为 (x+2)(x-5)，求 a + b 的值。
24.（本题满分8分）
两位同学将同一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成
2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成 2(x-2)(x-4)。
(1) 求原二次三项式；（4分）
(2) 将原二次三项式进行正确的因式分解。（4分）第一章 1 因式分解 单元测试卷
——答案解析版（含知识点标注与详细解析）——
说明：本试卷共24题，满分100分。每道题均标注了正确答案、对应知识点和详细解析，答案用红色加粗显示。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. (x+1)(x-1) = x - 1
B. x - 1 = (x+1)(x-1)
C. x - 1 + 2x = (x+1)(x-1) + 2x
D. x + 2x + 1 = x(x+2) + 1
【正确答案】B
【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式
【解析】因式分解的结果必须是“几个整式的积”的形式。A选项从积到多项式，是整式乘法；B选项从多项式到整式的积，符合因式分解定义；C、D选项右边都不是纯积的形式，还有和差项，不是因式分解。
2. 下列各式从左到右的变形，是整式乘法的是（ ）
A. a - b = (a+b)(a-b)
B. x + 2x + 1 = (x+1)
C. (m+2)(m-2) = m - 4
D. x - 4x + 3 = (x-1)(x-3)
【正确答案】C
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：二者方向相反，互为逆运算
【解析】整式乘法是从“整式的积”到“多项式”的变形（积化和差）。A、B、D选项都是从多项式到积，属于因式分解；C选项左边是积，右边是多项式，是整式乘法。
3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. 3x + 3y - 5 = 3(x+y) - 5
B. (a+b)(a-b) = a - b
C. 4x - 4x + 1 = (2x-1)
D. x - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x
【正确答案】C
【知识点】因式分解的定义：结果必须是几个整式的积的形式
【解析】A选项右边还有-5，不是纯积的形式；B选项从积到多项式，是整式乘法；C选项左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；D选项右边还有+3x，不是纯积的形式。
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. x - 9 = (x-3)
B. x + 2x + 1 = (x+1)
C. x - 2x - 1 = (x-1)
D. x + xy + y = (x+y)
【正确答案】B
【知识点】因式分解的检验：将分解后的式子展开，看是否等于原式
【解析】检验方法：将右边展开与左边比较。A：(x-3) = x - 6x + 9 ≠ x - 9，错误；B：(x+1) = x + 2x + 1 = 左边，正确；C：(x-1) = x - 2x + 1 ≠ x - 2x - 1，错误；D：(x+y) = x + 2xy + y ≠ x + xy + y ，错误。
5. 若多项式 x + mx + n 可以分解为 (x+2)(x-3)，则 m、n 的值分别为（ ）
A. m = 1，n = 6
B. m = -1，n = -6
C. m = 1，n = -6
D. m = -1，n = 6
【正确答案】B
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：利用整式乘法展开，比较对应项系数
【解析】将右边展开：(x+2)(x-3) = x - 3x + 2x - 6 = x - x - 6。与左边x + mx + n比较对应项系数，得m = -1，n = -6。
6. 因式分解与整式乘法的关系是（ ）
A. 二者没有关系
B. 二者是互逆的恒等变形
C. 二者是相同的运算
D. 整式乘法是因式分解的逆运算，但因式分解不是整式乘法的逆运算
【正确答案】B
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算，是互逆的恒等变形
【解析】因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形，二者互为逆运算。从多项式到积是因式分解，从积到多项式是整式乘法，二者方向相反但都成立。
7. 下列变形：① x - y = (x+y)(x-y)；② x(x+1) = x + x；
③ x + 2x + 1 = (x+1) ；④ x - 1 = x(x - )。其中是因式分解的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【知识点】因式分解的定义：结果必须是几个整式的积的形式
【解析】①是因式分解（多项式→整式的积）；②是整式乘法（积→多项式）；③是因式分解；④不是因式分解，因为右边的因式x - 不是整式（分母含字母）。所以是因式分解的有①③，共2个。
8. 若 x + kx - 15 = (x+3)(x-5)，则 k 的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D. -3
【正确答案】B
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开右边，比较一次项系数
【解析】将右边展开：(x+3)(x-5) = x - 5x + 3x - 15 = x - 2x - 15。与左边x + kx - 15比较一次项系数，得k = -2。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 因式分解的结果可以是几个整式的和
B. 因式分解的结果必须是几个整式的积
C. 整式乘法与因式分解方向相同
D. 因式分解的对象是单项式
【正确答案】B
【知识点】因式分解的定义：对象是多项式，结果是几个整式的积
【解析】A错误：因式分解的结果必须是积的形式，不能是和；B正确：这是因式分解的定义；C错误：二者方向相反，是互逆变形；D错误：因式分解的对象是多项式，不是单项式。
10. 若 x + ax + b = (x-1)(x+4)，则 a + b 的值为（ ）
A. -1 B.-3 C. -5 D. 3
【正确答案】A
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开右边，求出a、b的值再计算
【解析】将右边展开：(x-1)(x+4) = x + 4x - x - 4 = x + 3x - 4。与左边x + ax + b比较，得a = 3，b = -4。所以a + b = 3 + (-4) = -1。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 把一个多项式化成几个________的________的形式，这种变形叫做因式分解。
【正确答案】整式，积
【知识点】因式分解的定义
【解析】这是因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。两个关键词：“整式”和“积”。
12. 因式分解与整式乘法是________的恒等变形。
【正确答案】互逆
【知识点】因式分解与整式乘法的关系
【解析】因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形，二者互为逆运算。从多项式到积是因式分解，从积到多项式是整式乘法。
13. 若 x + mx - 6 = (x+2)(x-3)，则 m = ________。
【正确答案】-1
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开右边，比较一次项系数
【解析】将右边展开：(x+2)(x-3) = x - 3x + 2x - 6 = x - x - 6。与左边x + mx - 6比较一次项系数，得m = -1。
14. 若 x + 2x + k = (x+1) ，则 k = ________。
【正确答案】1
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：完全平方公式展开
【解析】将右边展开：(x+1) = x + 2x + 1。与左边x + 2x + k比较常数项，得k = 1。
15. 检验因式分解是否正确，可以将分解后的几个整式________，看结果是否等于原多项式。
【正确答案】相乘（展开）
【知识点】因式分解的检验方法
【解析】检验因式分解是否正确的方法：将分解后的几个整式相乘（即进行整式乘法运算），看展开后的结果是否等于原来的多项式。如果相等，说明因式分解正确。
16. 若 x - mx + 9 = (x-3) ，则 m = ________。
【正确答案】6
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：完全平方公式展开
【解析】将右边展开：(x-3) = x - 6x + 9。与左边x - mx + 9比较一次项系数，得-m = -6，即m = 6。
17. 多项式 x - 4 分解因式的结果是________。
【正确答案】(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解的定义：平方差公式
【解析】x - 4是两个数的平方差形式，即x - 2 ，根据平方差公式，分解为(x+2)(x-2)。检验：(x+2)(x-2) = x - 4，正确。
18. 若 x + ax + b = (x+1)(x-2)，则 a + b = ________。
【正确答案】-3
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开求a、b再计算
【解析】将右边展开：(x+1)(x-2) = x - 2x + x - 2 = x - x - 2。与左边比较得a = -1，b = -2。所以a + b = -1 + (-2) = -3。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分8分，每小题2分）判断下列从左到右的变形是否为因式分解，是的打“√”，不是的打“×”：
(1) x - 4 = (x+2)(x-2)
(2) (x+3)(x-3) = x - 9
(3) x + 2x + 1 = x(x+2) + 1
(4) x - xy = x(x - y)
【正确答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
【知识点】因式分解的定义判断：对象是多项式，结果是几个整式的积
【解析】(1) 左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解，打√；
(2) 左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，打×；
(3) 右边不是积的形式（还有+1），不是因式分解，打×；
(4) 左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解，打√。
20.（本题满分8分，每小题4分）检验下列因式分解是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”并改正：
(1) x - 9 = (x-3)
(2) x + 4x + 4 = (x+2)
【正确答案】(1)×，改正：x - 9 = (x+3)(x-3)；(2)√
【知识点】因式分解的检验：将右边展开与左边比较
【解析】(1) 检验：(x-3) = x - 6x + 9 ≠ x - 9，所以不正确。正确的因式分解应为：x - 9 = (x+3)(x-3)（平方差公式）；
(2) 检验：(x+2) = x + 4x + 4 = 左边，所以正确。
21.（本题满分8分，每小题4分）指出下列变形从左到右是因式分解还是整式乘法：
(1) (2x+1)(2x-1) = 4x - 1
(2) 4x - 1 = (2x+1)(2x-1)
【正确答案】(1)是整式乘法；(2)是因式分解
【知识点】因式分解与整式乘法的方向判断
【解析】(1) 左边是两个整式的积，右边是多项式，这是从积到多项式的变形，是整式乘法（积化和差）；
(2) 左边是多项式，右边是两个整式的积，这是从多项式到积的变形，是因式分解（和差化积）。
22.（本题满分8分，每小题4分）
(1) 若 x + mx - 12 = (x+3)(x-4)，求 m 的值；
(2) 若 x + kx + 16 = (x+4) ，求 k 的值。
【正确答案】(1) m = -1；(2) k = 8
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开右边，比较对应项系数
【解析】(1) 先将右边展开：(x+3)(x-4) = x - 4x + 3x - 12 = x - x - 12。与左边x + mx - 12比较一次项系数，得m = -1；
(2) 先将右边展开：(x+4) = x + 8x + 16。与左边x + kx + 16比较一次项系数，得k = 8。
23.（本题满分6分）
已知 x + ax + b 分解因式的结果为 (x+2)(x-5)，求 a + b 的值。
【正确答案】a + b = -13
【知识点】因式分解与整式乘法的关系：展开求a、b，再计算a+b
【解析】第一步：将右边展开：(x+2)(x-5) = x - 5x + 2x - 10 = x - 3x - 10；
第二步：与左边x + ax + b比较对应项系数，得a = -3，b = -10；
第三步：计算a + b = -3 + (-10) = -13。
24.（本题满分8分）
两位同学将同一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成
2(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成 2(x-2)(x-4)。
(1) 求原二次三项式；（4分）
(2) 将原二次三项式进行正确的因式分解。（4分）
【正确答案】(1) 2x - 12x + 18；(2) 2(x-3)
【知识点】因式分解与整式乘法的综合应用：根据“看错了哪个系数”反推正确系数
【解析】(1) 第一位同学看错了一次项系数，但常数项是对的：
2(x-1)(x-9) = 2(x - 10x + 9) = 2x - 20x + 18，所以常数项为18；
第二位同学看错了常数项，但一次项系数是对的：
2(x-2)(x-4) = 2(x - 6x + 8) = 2x - 12x + 16，所以一次项系数为-12；
因此原二次三项式为：2x - 12x + 18。
(2) 提取公因式后用完全平方公式：2x - 12x + 18 = 2(x - 6x + 9) = 2(x-3) 。
检验：2(x-3) = 2(x - 6x + 9) = 2x - 12x + 18，正确。鲁教版（五四制）八年级上册
第一章 因式分解
1 因式分解
知识点梳理
一、学习目标
1. 理解因式分解的意义，掌握因式分解的定义，能正确判断一个变形是否为因式分解；
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别，明确二者是互逆的恒等变形；
3. 能利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确；
4. 通过类比整式乘法与因式分解的互逆关系，发展观察、比较、归纳的数学思维能力；
5. 体会因式分解在数学中的应用价值，为后续学习提公因式法和公式法打下基础。
二、重点掌握方向
（一）学习重点
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。
2. 因式分解的三个特征：分解对象是多项式；分解结果必须是几个整式的积的形式；因式分解是恒等变形。
3. 因式分解与整式乘法的关系：二者是方向相反的互逆变形，因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”。
（二）学习难点
1. 准确判断一个变形是否为因式分解，尤其要注意结果必须是“整式的积”的形式，而不是和差形式；
2. 理解因式分解与整式乘法的联系与区别，明确二者的互逆关系，不能混淆；
3. 正确区分因式分解与整式化简，理解因式分解是恒等变形而非运算。
三、知识点清单总览
序号 知识点名称 核心内容
知识点一 因式分解的定义 把多项式化成几个整式的积的形式
知识点二 因式分解与整式乘法的关系 二者是互逆的恒等变形（和差化积 vs 积化和差）
知识点三 因式分解的判断与检验 根据定义判断变形是否为因式分解；用整式乘法检验
四、知识点详解与例题精讲
知识点一：因式分解的定义
【定义】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【三个特征】
1. 分解的对象是一个多项式（不是单项式）；
2. 分解的结果必须是几个整式的积的形式（不能是和或差的形式）；
3. 因式分解是一种恒等变形，即变形前后的值不变。
【关键词理解】
“几个整式的积”包含两层含义：一是结果中每个因式都必须是整式；二是这些因式之间必须是乘积关系，而不是加减关系。
【例题1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+3)(x-3) = x2 - 9 B. x2 - 9 = (x+3)(x-3) C. x2 - 9 + 2x = (x+3)(x-3) + 2x D. x2 + 1 = x(x + ) 【考点解析】本题考查因式分解的定义。 解题关键：因式分解的结果必须是“几个整式的积”的形式，且分解对象是多项式。逐一检查各选项是否满足三个特征。 【解答过程】 A. (x+3)(x-3) = x2 - 9：左边是积，右边是多项式，这是整式乘法，不是因式分解； B. x2 - 9 = (x+3)(x-3)：左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义； C. x2 - 9 + 2x = (x+3)(x-3) + 2x：右边不是积的形式，而是积与和的混合，不是因式分解； D. x2 + 1 = x(x +)：右边的因式x +不是整式（分母含字母），不是因式分解。 【答案】B
【例题2】下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？ (1) a2 - 2ab + b2 = (a-b)2 (2) m2 - 4 = (m+2)(m-2) (3) x2 + 2x + 1 = x(x+2) + 1 (4) 2x(x-3y) = 2x2 - 6xy (5) x2 - 16 + 3x = (x+4)(x-4) + 3x 【考点解析】本题考查因式分解定义的判断。 解题关键：严格按照因式分解的三个特征来判断——对象是多项式、结果是整式的积、是恒等变形。 【解答过程】 (1) a2 - 2ab + b2 = (a-b)2：左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； (2) m2 - 4 = (m+2)(m-2)：左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； (3) x2 + 2x + 1 = x(x+2) + 1：右边不是积的形式（还有+1），不是因式分解； (4) 2x(x-3y) = 2x2 - 6xy：左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； (5) x2 - 16 + 3x = (x+4)(x-4) + 3x：右边不是积的形式（还有+3x），不是因式分解。 【答案】(1)(2)是因式分解；(3)(4)(5)不是因式分解
【例题3】若多项式 x2 + mx - 15 可以分解为 (x+3)(x+n)，求 m、n 的值。 【考点解析】本题考查因式分解与整式乘法的关系，利用恒等变形求待定系数。 解题关键：因式分解与整式乘法是互逆的，将(x+3)(x+n)展开后与x2+mx-15比较对应项系数即可。 【解答过程】 因为 x2 + mx - 15 = (x+3)(x+n) 将右边展开：(x+3)(x+n) = x2 + nx + 3x + 3n = x2 + (n+3)x + 3n 左右两边恒等，对应项系数相等： 常数项：3n = -15，解得 n = -5 一次项系数：m = n + 3 = -5 + 3 = -2 【答案】m = -2，n = -5
知识点二：因式分解与整式乘法的关系
【关系概述】
因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形，二者互为逆运算。
【方向对比】
整式乘法：几个整式的积 → 多项式（积化和差），即把乘积形式展开成和差形式；
因式分解：多项式 → 几个整式的积（和差化积），即把和差形式分解成乘积形式。
【关系式】
多项式 几个整式的积（从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法）
【举例】
(x+1)(x-1) = x2 - 1：从左到右是整式乘法（积化和差）；
x2 - 1 = (x+1)(x-1)：从左到右是因式分解（和差化积）。
【例题1】比较下列两种变形，判断哪个是整式乘法，哪个是因式分解： (1) (a+b)(a-b) = a2 - b2 (2) a2 - b2 = (a+b)(a-b) 【考点解析】本题考查因式分解与整式乘法的方向判断。 解题关键：看变形的方向——从积到多项式是整式乘法，从多项式到积是因式分解。 【解答过程】 (1) (a+b)(a-b) = a2 - b2：左边是两个整式的积，右边是多项式， 这是从积到多项式的变形，是整式乘法（积化和差）； (2) a2 - b2 = (a+b)(a-b)：左边是多项式，右边是两个整式的积， 这是从多项式到积的变形，是因式分解（和差化积）。 【答案】(1)是整式乘法；(2)是因式分解
【例题2】下列变形：① (x+2)(x-2) = x2 - 4；② x2 - 4 = (x+2)(x-2)； ③ x2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x；④ x2 + 4x + 4 = (x+2)2。 其中是因式分解的有（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 【考点解析】本题综合考查因式分解与整式乘法的区分。 解题关键：只有从多项式到几个整式的积的变形才是因式分解；从积到多项式是整式乘法；结果不是纯积形式的也不是因式分解。 【解答过程】 ① (x+2)(x-2) = x2 - 4：从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解； ② x2 - 4 = (x+2)(x-2)：从多项式到整式的积，是因式分解； ③ x2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x：右边不是纯积的形式，不是因式分解； ④ x2 + 4x + 4 = (x+2)2：从多项式到整式的积，是因式分解。 所以是因式分解的有②④。 【答案】B
【例题3】若 x2 + ax + b 可以分解为 (x+1)(x-2)，求 a、b 的值，并说明变形方向。 【考点解析】本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系及待定系数法。 解题关键：将(x+1)(x-2)展开，与x2+ax+b比较对应项系数，求出a、b；再说明变形方向。 【解答过程】 (x+1)(x-2) = x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2 因为 x2 + ax + b = (x+1)(x-2) = x2 - x - 2 比较对应项系数得：a = -1，b = -2 从x2 - x - 2到(x+1)(x-2)的变形是因式分解（和差化积）； 从(x+1)(x-2)到x2 - x - 2的变形是整式乘法（积化和差）。 【答案】a = -1，b = -2；从多项式到积是因式分解，从积到多项式是整式乘法
知识点三：因式分解的判断与检验
【判断方法】
判断一个变形是否为因式分解，需要同时满足以下三个条件：
1. 变形的左边是一个多项式（分解对象）；
2. 变形的右边是几个整式的积的形式（结果形式）；
3. 变形前后式子的值相等（恒等变形）。
【检验方法】
检验一个因式分解是否正确，可以将分解后的几个整式相乘（即进行整式乘法运算），看展开后的结果是否等于原来的多项式。如果相等，说明因式分解正确；否则不正确。
【例题1】检验下列因式分解是否正确： (1) x2 - 4y2 = (x+4y)(x-4y) (2) x2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) 【考点解析】本题考查利用整式乘法检验因式分解是否正确。 解题关键：将分解后的式子乘开（整式乘法），看结果是否等于原式。 【解答过程】 (1) 将右边展开：(x+4y)(x-4y) = x2 - (4y)2 = x2 - 16y2 左边是x2 - 4y2，右边展开是x2 - 16y2，两者不相等， 所以该因式分解不正确。正确的应为：x2 - 4y2 = (x+2y)(x-2y) (2) 将右边展开：(x+3)(x-1) = x2 - x + 3x - 3 = x2 + 2x - 3 左边是x2 + 2x - 3，右边展开也是x2 + 2x - 3，两者相等， 所以该因式分解正确。 【答案】(1)不正确；(2)正确
【例题2】下列因式分解正确的是（ ） A. x2 - y2 = (x-y)2 B. x2 + 2x + 1 = (x+1)2 C. x2 - 2x - 1 = (x-1)2 D. x2 + xy + y2 = (x+y)2 【考点解析】本题考查因式分解的判断与检验。 解题关键：将各选项右边展开，与左边比较，看是否相等。 【解答过程】 A. 右边(x-y)2 = x2 - 2xy + y2 ≠ 左边x2 - y2，不正确； B. 右边(x+1)2 = x2 + 2x + 1 = 左边x2 + 2x + 1，正确； C. 右边(x-1)2 = x2 - 2x + 1 ≠ 左边x2 - 2x - 1，不正确； D. 右边(x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ≠ 左边x2 + xy + y2，不正确。 【答案】B
【例题3】一位同学分解因式 x2 + ax + b 时，看错了 a，分解结果为 (x+6)(x-1)； 另一位同学看错了 b，分解结果为 (x+2)(x-1)。求正确的 x2 + ax + b。 【考点解析】本题考查因式分解与整式乘法的综合应用，利用“看错了哪个系数”来反推正确的系数。 解题关键：第一位同学看错了a但b是对的（因为常数项不受a影响）；第二位同学看错了b但a是对的（因为一次项系数不受b影响）。 【解答过程】 第一位同学：(x+6)(x-1) = x2 + 5x - 6，看错了a，但b是对的，所以 b = -6； 第二位同学：(x+2)(x-1) = x2 + x - 2，看错了b，但a是对的，所以 a = 1； 所以正确的多项式为：x2 + x - 6 检验：(x+3)(x-2) = x2 - 2x + 3x - 6 = x2 + x - 6，正确。 【答案】正确的多项式为 x2 + x - 6

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