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13.3 三角形的内角与外角 课时提升作业2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，直线a平移后得到直线b，则的度数比的度数大（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短
7．一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
9．如图，，，垂足为点，如果，那么______

10．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______．

11．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，则的度数为__________．
12．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．
13．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF，．设，，则α与β之间的数量关系是________．
三、解答题
14．在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
15．如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．

(1)若，则的度数为______°；
(2)若，试判断与的数量关系，并说明理由．
16．已知，，．
(1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
(2)如图2，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数；
(3)在（2）的条件下，点为射线上一动点，交直线于点，若，，直接写出的度数．
17．如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点．
(1)的度数是___________．
(2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当时，求的度数：
②当时，则时间的值为___________．
18．中，内角和外角和的角平分线交于点P，交于D．过B作于G．若，求的度数．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C B A D
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意；
D、如图，
∵，∴，，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，
故选： B．
3．【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，结合角平分线求出，根据三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余的性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
根据直角三角形两锐角互余得出，利用平角的定义得出，根据平行线的性质即可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵重力的方向竖直向下，，
∴，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴．
故选：B．
5．【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、利用平移的性质求解
【分析】由对顶角相等可得，由平移的性质可得，从而得出，由三角形外角的定义及性质可得，即可得出结果．
【详解】解：如图：
由对顶角相等可得，
∵直线a平移后得到直线b，
∴，
∴，
∵，
∴．
6．【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假、三角形内角和定理的应用
【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质，∴A是真命题；
∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项未说明两条直线平行，∴B是假命题；
∵三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，∴C是真命题；
∵两点之间线段最短是几何基本事实，∴D是真命题．
7．【答案】A
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
8．【答案】D
【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的是①②③④．
9．【答案】
【知识点】两直线平行同旁内角互补、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
10．【答案】/度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论．
【详解】解：，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．

11．【答案】/40度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和．
先根据平行线的性质得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故答案为：．
12．【答案】三角形内角和等于180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
13．【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】由折叠的性质可知：，再利用三角形内角和定理及角之间的关系证明，，即可找出α与β之间的数量关系．
【详解】解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质求出，根据角之间的关系求出，．
14．【答案】见详解
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出．
【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴,
∵，
∴．
15．【答案】(1)100
(2).理由见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形折叠中的角度问题
【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题；
（2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
【详解】（1）∵,
∴.
∵是由翻折得到,
∴.
∴.
∵,
∴，
故答案为：.
（2）.理由如下:
∵是由翻折得到，
∴.
∵,
∴.
∴.
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
16．【答案】(1)
(2)的度数为
(3)的度数为或
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）首先构造，根据，得到，再根据得到，再利用得到即可求解的度数；
（2）首先构造，根据的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点得到，，再根据，得到，，即可求解的度数；
（3）分为点K在角平分线上和点K在角平分线的反向延长线上两种情况进行讨论，当点K在角平分线上时，根据（1）（2）中的结论得到，，
再根据和对顶角相等得到，进而结合三角形的内角和定理得到即可求解的度数；当点K在角平分线的反向延长线上时，根据得到，进而得到结合三角形的内角和定理即可求解的度数．
【详解】（1）解：如图，过点E作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点G作，
由（1）得：，
∵的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①：如图，当点K在角平分线上时，设交于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
②：如图，当点K在角平分线的反向延长线上时，
由①得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理，构造辅助线、分类讨论是解题的关键．
17．【答案】(1)
(2)①或；②秒或秒或秒
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、行程问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可；
（1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①第一种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
第二种情况，如图，
∵，，
∴，
∴射线的运动时间为，
∴射线旋转的角度为，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或；
②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动，
根据题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键．
18．【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先求出，再由推导出，又由推导得，则，则可得．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系，熟练掌握以上知识，且推导出是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
．
，
即，
，
．
又，
，
，
，
即，
，
．
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