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15.3 等腰三角形 课时提升作业2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．等边对等角
C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
4．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
5．如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．下列命题是假命题的是（）
A．等腰三角形的两腰相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．对顶角相等
8．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
9．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题
11．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______．
12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
13．如图，，若________，则是等边三角形．
14．如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则____________．
15．如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米．
三、解答题
16．如图，D为内部一点，E为上一点，连接、，，于点D．求证：是等腰三角形．
17．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？
18．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．
(1)画出与关于轴对称的；
(2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ；
(3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹）
19．在中，，平分，平分，过O点作，使．
(1)图中共有几个等腰三角形？
(2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？
20．如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N．
(1)当时， ；
(2)求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B C C C C C
1．【答案】B
【知识点】等边对等角、折叠问题
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，
∴．
故选：B．
2．【答案】C
【知识点】三线合一
【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系．
【详解】解：已知，所以是等腰三角形．
又因为，所以是等腰底边上的中线．
根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即．
因为点在路灯上，所以．
因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”．
故选：C．
3．【答案】D
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意；
C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意．
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题
【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解．
【详解】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点
∴
∵四边形是长方形
∴
长方形的周长为16
的周长为
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
．
故选：B．
6．【答案】C
【知识点】格点图中画等腰三角形、坐标系中描点
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案．
【详解】如图所示，
当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；
当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
故符合条件的点一共个．
故选：C．
7．【答案】C
【知识点】判断命题真假、全等三角形的性质、等腰三角形的定义、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查几何命题的真假判断，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，对顶角相等．选项A、B、D均为真命题；选项C中，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而非顶角平分线本身（线段或射线），因此该命题错误．
【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等（定义），∴A选项是真命题；
∵全等三角形的对应边相等，周长相等，∴B选项是真命题；
∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线是线段，两者不同，∴C选项是假命题；
∵对顶角相等（定理），∴D选项是真命题．
综上，假命题是C．
故选：C．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解： 平分，
，
，
，
，
，
，，
，
故选C．
9．【答案】C
【知识点】三角形角平分线的定义、找出图中的等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵的平分线相交于点D，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴共有5个等腰三角形：．
故选：C．
10．【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
11．【答案】/75度
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
12．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解．
【详解】解：当或或或或时，是等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．【答案】3
【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到，即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，，
∵将沿方向向右平移，得到，
∴是等边三角形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
15．【答案】4
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质
【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解．
【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，
，，，，，，
的周长为，
当最小时，的周长最小，
，
，
，
，
当时，最小，即最小，
点到的距离为，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
16．【答案】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，则，整理得，运用等角对等边，即，进行作答即可．
【详解】略
17．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【详解】解：作于，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∴，
∴，
∵海里，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险．
18．【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、重心的概念、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
（1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可；
（2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、，与x轴的交点即为所求；
（3）分别求作各边上的中线，其中线交点即为所求作的点．
【详解】（1）解：如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图2，点Q即为所求，点Q的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图3，点G即为的重心．
19．【答案】(1)图中共有5个等腰三角形
(2)，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答；
（2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到．
【详解】（1）解：∵，
∴，即是等腰三角形．
∵，
∴，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，即，都是等腰三角形．
综上所述，图中共有5个等腰三角形．
（2）略
20．【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果；
（2）证明为等边三角形，即可．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵对称，
∴；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
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