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18.1 分式及其基本性质 课时提升作业2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．若分式无意义，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
5．分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．把分式方程变形为的形式，其依据为（ ）
A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则
8．如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍
9．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　）
A． B． C． D．
10．下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若整数m使为正整数，则m的值为____________．
12．将分式约分的结果是_______．
13．请你从，，，中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是_______________（写出一个即可）．
14．分式与的最简公分母是______．
15．把，通分，则=________， =__________.
三、解答题
16．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．下列通分是否合理？若不合理，请改正．
(1)；
解：，
．
(2)．
解 ，
．
18．仔细阅读下面例题，解答问题．
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意，得．
则有（1）或（2）
解不等式组（1），得；
解不等式组（2），得不等式组无解．
∴不等式的解集是．
∴当时，分式的值为正．
问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？
19．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B A B A A B
1．【答案】D
【知识点】分式的判断
【分析】分式定义为：两个整式，可写成的形式，若分母中含有字母，则该式是分式，本题根据分式的定义进行判断即可，特别注意是常数，不是字母．
【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，不是分式；
B、的分母是常数，不含字母，不是分式；
C、的分母是常数，不含字母，不是分式；
D、的分母含有字母，符合分式定义，是分式．
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义时分母不为0，可得关于的不等式，求解不等式即可．
【详解】∵分式有意义，
∴分母不为0，
即，
解得．
3．【答案】B
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可．
【详解】解：∵分式无意义当分母为零，
∴令，
解得，
∴当 时，分式无意义．
故选：B．
4．【答案】B
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
5．【答案】B
【知识点】分式值为零的条件
【分析】分式值为0需要满足分子为0，同时分母不为0，根据该条件求解即可．
【详解】解：∵分式的值为
∴，且
解方程得，
当时，，符合分母不为0的要求
∴的值为．
6．【答案】A
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集
【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为正数，，
∴，
解得：．
故选：A
7．【答案】B
【知识点】求使分式变形成立的条件、等式的性质
【分析】本题考查解分式方程，根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可．
【详解】分式方程等式两边同时乘以得到
∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意；
B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意；
C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意；
D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意；
故选：B．
8．【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】按照题意将、扩大3倍后代入新分式，化简后与原分式对比即可得到结果．
【详解】解：把分式中的和都扩大倍，得，
．
∴原分式的值不变．
9．【答案】A
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．
【详解】解：
．
故选：A．
10．【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，
∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意；
、，又，故该选项变形正确，符合题意；
、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意；
、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意；
故选：．
11．【答案】0，1，2，5
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键．
【详解】解：∵为正整数，
∴是6的正因数，
即，2，3，6．
解得，1，2，5，
故答案为：0，1，2，5．
12．【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分，先对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式．
【详解】
．
故答案为：．
13．【答案】（不唯一）
【知识点】最简分式
【分析】根据最简分式的定义即可求解，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：从，，，中选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式，那么这个最简分式可以是，
故答案为：（不唯一）．
【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键．
14．【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积．
【详解】解：∵，，
∴最简公分母为．
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】通分
【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可．
【详解】解：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键．
（1）直接约分即可得到答案；
（2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
17．【答案】(1)不合理，见解析
(2)不合理，见解析
【知识点】通分
【分析】此题考查了分式的通分，
（1）根据通分的方法求解判断即可；
（2）根据通分的方法求解判断即可．
【详解】（1）解：原式通分不合理，
改正：，；
（2）解：原式通分不合理，
改正：，．
18．【答案】当时，分式的值为负．
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．
【详解】解：依题意，得，
则有①或 ②
解不等式组①得：；
解不等式组②得：不等式组无解，
∴不等式的解集是：，
∴当时，分式的值为负．
19．【答案】(1)
(2)4，5，6，9
(3)；0；2
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求使分式值为整数时未知数的整数值、代入消元法、二元一次方程的解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键．
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；
（2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得： ，
∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，
∴，
∴，
∴方程的正整数解为；
故答案为：；
（2）解：∵为自然数，x为正整数，
∴取6或3或2或1，
∴x可取4或5或6或9．
故答案为：4，5，6，9；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，
∴8是的倍数，
∴或4或2或1，
∴k取或0或2或3，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为；0；2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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