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18.5 分式方程 课时提升作业2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程中是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．将方程去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
3．若是分式方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若解分式方程会产生增根，那么的值是（ ）
A．或 B．或2 C．1或2 D．1或
5．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
7．某学校预计购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进篮球的数量相等，设篮球的单价是元，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
9．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．新考法 数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（），则的值是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．10
二、填空题
11．有下列方程：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是____________；是分式方程的是____________．（填序号）
12．下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第_____（填序号）步开始出现错误的．
解：方程两边同乘， 得，，① 解得，② 经检验，是原分式方程的解．③
13．若关于x的方程有增根，则_____．
14．一艘轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同，若水流速度为，则静水速度为_____．
15．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若该分式方程无解，求的值．
18．某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式：
甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天．
乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且．
(1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？
(2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？
19．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角．
(1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B B C D A B
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程．
【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求；
C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义，
2．【答案】C
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【详解】解：
方程两边同时乘以去分母，得．
3．【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】是分式方程的解，
将代入原方程，可得，
整理得，
解得．
4．【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出；
【详解】解：∵ 原方程：，且 ，
∴ 公分母为 ；
两边乘 得：
，
即 ，
整理得：；
增根为 或 ，代入方程：
当 时：，解得 ；
当 时：，即 ，解得 ；
故选：D
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，绫布每尺价格与罗布每尺价格之和为120文，由此列方程即可．
【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，由题意可列方程为；
故选B．
6．【答案】B
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可．
【详解】解：设通过的速度是，
根据题意可列方程： ，
解得，
经检验：是原方程的解且符合题意．
∴通过时的速度是1米/秒
故选B．
7．【答案】C
【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，篮球单价为x元，则足球单价为元，用360元购进的足球数量为，用480元购进的篮球数量为，两者相等，故得方程，然后问题可求解．
【详解】解：∵篮球单价为元，
∴足球单价为元，
∵购进足球数量为，购进篮球数量为，且数量相等，
∴；
故选C．
8．【答案】D
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
9．【答案】A
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天，从而表示出甲、乙两人的效率，再根据合作10天和乙单独6天完成总工作量1列方程即可．
【详解】解：设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天，
∴甲效率为，乙效率为，
∴合作10天完成的工作量为，乙单独6天完成的工作量为，总工作量为1，
∴列方程，
故选：A．
10．【答案】B
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解调和数的定义是解题的关键．根据调和数的定义，列出分式方程，解方程即得答案．
【详解】x，5，3（）是一组调和数，
，
解得，
经检验是方程的解，
x的值是15．
故选：B．
11．【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【知识点】判断各式是否是方程、分式方程的定义
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程．
12．【答案】②
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先写出解分式方程的正确步骤，再对比嘉嘉同学的错误过程，即可得出答案．
【详解】解：正确解答为：方程两边同乘，
得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
∴该解答过程是从第②步开始出现错误的．
故答案为：②．
13．【答案】
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根的可能值，让最简公分母即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
，
解得，
∵分式方程的最简公分母是，原方程有增根，
∴，
∴增根是，
∴，
故答案为：．
14．【答案】28
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解决此题的关键是读懂题意找准等量关系；设静水速度为，则根据轮船顺水航行所用的时间与逆水航行所用的时间相同列出分式方程求解即可得到答案．
【详解】解：设静水速度为，则顺水航行速度为，逆水航行，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴静水速度为，
故答案为：28．
15．【答案】
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的应用．设B型号毛笔单价为x元/支，则A型号毛笔单价为元/支；根据总花费和单价，可求出A、B型号毛笔的数量，再根据总数量为500支列方程．
【详解】解：A型号毛笔数量为，B型号毛笔数量为，总数量为500支，
故列分式方程为．
故答案为：．
16．【答案】(1)无解
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可；
（2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入，得，
是分式方程的增根，
分式方程无解；
（2）解：，即，
方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：把代入，得，
分式方程的解为．
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义．
（1）将代入分式方程，再解方程即可；
（2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：当时，分式方程为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
∵原分式方程无解，
∴分式方程产生增根，增根为，
∴，
∴．
18．【答案】(1)甲工程队完成施工任务用了5天
(2)应选B方案
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用和分式的大小比较，解题关键是理解题意，找出相等关系．
（1）利用时间关系列出方程即可求解．
（2）分别求出两种方案的时间，再利用作差法比较大小即可求解．
【详解】（1）解：（1）根据题意，得
解得
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∵（天），
所以，甲工程队完成施工任务用了5天．
（2）解：由题意，得
，
．
由题意，得，则，
，
，
应选B方案．
19．【答案】(1)
(2)人
【知识点】含30度角的直角三角形、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用；
（1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于，
由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，，
所以的长度就是与之间的距离，
在中，，，
∴，
同理可得，
∴，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人．
答案第1页，共2页
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