资源简介

14.3 角的平分线 课时提升作业2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（ ）
A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
3．如图，在中，点到的三边距离相等，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．垂直平分线的性质
C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等
5．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（ ）
A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点
C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点
6．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．14
8．如图，在中，、的平分线、交于点P，延长至E，至F，于点M，于点N，下列结论：①平分；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就________，只要是到角两边距离相等的点，都应在角的________．
10．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______．
11．如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________
12．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．
13．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边，分别交于点E，D ；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为_____．
三、解答题
14．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）．
15．已知，如图，于点于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
16．我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．

(1)直接写出与的数量关系__________；
(2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
17．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
18．阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．
求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，
∴（依据1）．
同理．
∴．
∵是的平分线，
∴点在上（依据2）．
∴，，交于一点．
请解答问题：
(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C C B B D
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点、的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：过点D作，交于点E，
∵平分，，
∴，
所以点D到的距离是3．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据点到的三边距离相等，可得点是三个内角的角平分线的交点，根据，可得，进而可得，最后根据三角形内角和定义即可求解．
【详解】解：点到的三边距离相等，
点是三个内角角平分线的交点，
即、分别是、的角平分线，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等，以及三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查了角平分线的判定，理解图形是解题的关键．
根据图形可得，再根据角平分线的判定即可．
【详解】解：根据题意可得，
则为的角平分线，
故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：C．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键．
根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，
又点P在上，
∴P点是与的平分线的交点，
故选：C．
6．【答案】B
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于点E，
由作图方法可知平分，
∵，，
∴，
∵，
∴．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质可得，，再证明，即可判断①；同理证明，可证明，进而可表示出、的数量关系，根据三角形的内角和为，利用、这两个三角形，即可判定②；根据，，即可证明③，问题得解．
【详解】解：过点P作于点D，如图，
∵，，平分，
∴，，
∵，，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即平分，即①正确；
同理证明，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，即②正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，即③正确，
即正确的结论有3个．
9．【答案】 相等 平分线上
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】根据角平分线的性质和判定直接写出答案即可．
【详解】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
角平分线的判定：角内部到角两边距离相等的点在角平分线上；
故答案为：相等；平分线上
【点睛】此题考查角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
10．【答案】/25度
【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)
【详解】解：由尺规作图可知是的角平分线，
．
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】过点分别作于，于，于，可得，进而得到.
【详解】解：过点分别作于，于，于，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴.
12．【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】根据角平分线性质定理求解即可．
【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键．
13．【答案】5
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解题的关键．
根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过F作于H，
由作图过程可得：是的平分线，
∵，，
∴，
∵的面积为9，，
∴，
解得．
故答案为：5．
14．【答案】如图，即为所作．（作法不唯一）
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据角平分线的作图方法作图即可．
【详解】略
15．【答案】(1)
证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
；
(2)
证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证．
【详解】（1）略
（2）略
16．【答案】(1)
(2)
，理由：
如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．

∵平分，，
∴．
同理可得．
∴．
∴平分．
∴．
又，
∴．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（1）根据和即可求得答案．
（2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
（2）略
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键．
17．【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）略
【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．
18．【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
(2)相等
(3)
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）结合（1）可得答案；
（3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中，
依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等．
故答案为：相等；
（3）∵，，，，
∴，
∴
，
即的面积表示为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑