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17.2 用公式法分解因式 课时新知巩固2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各式中不能进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．小红是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、邓、州、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．邓州美 B．爱邓州 C．我爱美 D．我爱邓州
5．计算 等于（ ）
A． B． C． D．
6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．分解因式后结果是的多项式是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
9．因式分解：_____．
10．小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为______．
11．如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________．
12．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____．
13．对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______．
三、解答题
14．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
16．下面是某同学把多项式分解因式的过程．
解：设，
则原式
．
(1)该同学对该多项式的因式分解是否彻底 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
(2)请你模仿以上方法尝试把多项式分解因式．
17．阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示：
这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______．
18．在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式．
(1)请将写成（是整数）的形式；
(2)已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由．
(3)已知整数满足，求的最小值．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A B A A
1．【答案】C
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解．
【详解】解：选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项 C：，不能进行因式分解，符合题意；
选项 D：，不符合题意；
故选：C．
2．【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：选项A：是因式分解，符合题意；
选项B：等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意；
选项D：，等式不成立，不是因式分解，不符合题意．
故选：A．
3．【答案】D
【知识点】综合运用公式法分解因式
【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．
【详解】a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选：D．
【点睛】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
4．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．先提取公因式并利用平方差公式，得到，再根据，，分别对应下列三个字：爱、邓、州，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
∵，，分别对应下列三个字：爱、邓、州、
∴结果呈现的密码信息可能是爱邓州，
故选：B．
5．【答案】A
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式．
直接提取公因式，进而得出答案．
【详解】解：
．
故选：A．
6．【答案】B
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得．
【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数，
∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，，
∴，，，，，，
∴，，，，，，
综上，整数的值有2个，
故选：B．
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意．
【详解】解：A、，此选项符合题意；
B、，无法分解为，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：A．
8．【答案】A
【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用
【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0，
∴，，
解得：，，
根据三角形三边关系，得：，
即，
∵是正整数
∴
∴的周长为：．
9．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
10．【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
11．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
12．【答案】或或
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，
解得，
∵三角形的三边为，满足，
∴，
∴，
∵c为最长边，
∴，
∵c为偶数，
故或或，
则或或，
∴该三角形的周长为或或，
故答案为：或或．
13．【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14．【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）用提取公因式法即可；
（2）用提取公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式法，再用平方差公式分解即可；
（4）先利用多项式乘式项式法则计算，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
15．【答案】(1)
(2)7
(3)
解：是等腰三角形，理由如下：
，即，
，
且，
，
是等边三角形．
【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义
【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可．
（2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可．
（3）由整理得，进而可得，由此可判断．
【详解】（1）解：
．
（2）
将，，代入．
（3）略
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
16．【答案】(1)不彻底，
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，再结合题干的过程，进行分析，即可作答．
（2）模仿题干的过程，设，故原式，即可作答．
【详解】（1）解：观察题干过程，得出该同学对该多项式的因式分解不彻底，
过程如下：
依题意，原式
；
（2）解：依题意，设，
原式
．
17．【答案】(1)
(2)7，，2，
【知识点】十字相乘法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查的是因式分解的应用，
（1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可；
（2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可．
【详解】（1）解：
；
（2）若可分解为两个一次因式的积，
则整数p的所有可能值是．
18．【答案】(1)
(2)，此时满足的形式；理由见解析
(3)的最小值为
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用．
（）找到两个平方数之和等于的组合，即可得到的形式；
（）先对的表达式进行配方，将其整理为两个完全平方式加常数项的形式，再让常数项为，即可确定的值，使符合的形式；
（）先从已知等式中用含的代数式表示，再代入得到关于的表达式，再通过配方得到，再由完全平方的非负性求解最值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：，此时满足的形式，
理由如下：
∵若能表示成（是整数）的形式，需要消去常数项，
∴，即，
此时满足的形式；
（3）解：，
整理得：
则
将其配方：
∵，
∴当，即时，
∴取得最小值：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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