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13.2 与三角形有关的线段 课时新知巩固2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列各组线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，10 C．4，5，6 D．3，8，5
2．三角形的角平分线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对
3．如图，在中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，分别是，，的中线，若，则（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
5．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点
A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④
6．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
7．中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（ ）
A．5 B．8或10 C．12 D．8或12
8．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（ ）
A．平分 B．
C．平分 D．
9．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
二、填空题
11．小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度．由于米尺长度有限，小刚测得米，米．根据小刚的测量，他______完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”）
12．如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________．
13．物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为_____．
14．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________．
15．如图，点是的边上一点，，点是线段上一点，，若，则阴影部分的面积为_____．
三、解答题
16．一个缺角的三角形木板，不恢复三角形，请你画出边上的高所在的直线．你是怎样画的？请说明理由．
17．某木材市场上的木棍规格与价格如表：
规格（m） 1 2 3 4 5 6
价格（元/根） 5 10 15 20 25 30
小明现有两根长度为和的木棍，
(1)现再从该市场上购买一根木棍，钉成一个三角形支架，若接头忽略不计，问有几种购买方案？
(2)若想花费最少的钱，则他应该选择的规格是哪种？
18．把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，在中，，，垂足为，求证：．

证明：在中，
∵（ ），
∴（ ）．
∵______（已知），
∴（ ）．
∴是直角三角形（直角三角形的定义）．
∴______（直角三角形的两个锐角互余）．
∴（ ）．
19．课题学习：三角形的中线
在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积．
(1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则：
… … … …
… … … …
所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．
请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整．
(2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题
如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离．
如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案．
试卷第1页，共2页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A D D A B A
1．【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形；
B．∵，∴不能构成三角形；
C．∵，∴能构成三角形；
D．∵，∴不能构成三角形．
2．【答案】C
【知识点】三角形角平分线的定义
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线，
∴三角形的角平分线是线段．
故选：C．
3．【答案】A
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．
【详解】解：根据三角形的高的定义，在中，边上的高是，
故选：A．
4．【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
故选：B．
5．【答案】A
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题．
分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确；
③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确．
故选：A．
6．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解．
【详解】解：∵ ，为边上的中线，
∴ ，
设，
则的周长为：，
的周长为：，
两部分的周长差为，
∴，
即或，
解得或．
∴ 的长为8或12．
故选：D．
8．【答案】A
【知识点】重心的概念
【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键．
【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，
∴、、均为的中线，
∴平分，故A选项结论成立，符合题意；
故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意；
故选：A．
9．【答案】B
【知识点】几何体展开图的认识、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，，，求得的取值范围，根据此范围即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，，
∴，
∴的长度可能是4，
故选：B．
10．【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答．
【详解】解：如图：连接AF
∵BE=3，AE=6，
∴AB=9，
∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，
∴，即
同理可得：，即
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键．
11．【答案】能
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用．根据，可得答案.
【详解】解：由题意可知，，
∴小刚能完成这项训练挑战．
故答案为：能．
12．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答．
【详解】解：工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13．【答案】E
【知识点】重心的概念
【分析】本题考查了三角形重心的概念，解决本题的关键是找到三角形三边的中点
根据三角形重心的概念，即为三角形三边中线的交点，由此求解即可
【详解】解：在中，点D与点E为边的中线上的点，
点G与点E为边的中线上的点，
点E为边的中线上的点，
由此可知，点E为三角形三边中线的交点，
∴点E为该三角形的重心，
∴若要使三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点E．
故答案为：E ．
14．【答案】 30 4
【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为；
∵分别是、的中线，，
∴，；
故答案为30；4．
15．【答案】7
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，同高的两个三角形的面积之比等于底边之比，据此根据可求出，再根据求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】画图见解析
【知识点】画三角形的高
【分析】分别过点A和点B画出三角形的两条高线，然后过两条高线的交点作AB的垂线，该直线即是AB边上的高所在的直线．
【详解】解：如图，直线OE即为所求．
步骤：①分别过点A、点B画三角形的高线AC、BD，AC与BD相交于点O；
②过点O作OE⊥AB，垂足为E；
③OE即为AB边上的高所在的直线．
理由：∵AC、BD是三角形的高线，锐角三角形的三高线相交于一点，
∴点O在AB边的上高线上．
∵过点O有且只有一条直线与AB垂直，
∴OE为AB边上的高所在的直线．
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，理解三角形的三条高线所在的直线相交于一点是解题的关键．
17．【答案】(1)四种
(2)
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，即可求解；
（2）根据第三根木棍时，花费最少，即可求解．
【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，
根据三角形的三边关系可得：，
解得，
，4，5，6，共4种，
一共有四种方案．
（2）解：∵规格为的木棍价格最低，
∴应该选择的规格是．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
18．【答案】已知，直角三角形的两个锐角互余，，垂直的定义，，同角的余角相等．
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】此题考查了直角三角形的性质，三角形的高，同角或等角的余角相等，根据知识即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】证明：在中，
∵（已知），
∴（直角三角形的两个锐角互余）．
∵（已知），
∴（ 垂直的定义 ）．
∴是直角三角形（直角三角形的定义）．
∴ （直角三角形的两个锐角互余）．
∴（同角的余角相等）．
19．【答案】(1)见解析
(2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4；见解析
【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积
【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到；
（2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可；
根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可．
【详解】（1）如图所示，过点A作边上的高，
∵是边边上的中线
∴
∴
∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．
（2）如图所示，过点E作于点F，
∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，即
∴，
∴点E到的距离为4．
如图所示（取各边中点或中线的中点）
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