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13.3 三角形的内角与外角 课时新知巩固2026-2027学年
人教版八年级数学上册
一、单选题
1．在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
2．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短
7．如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
8．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________．
10．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
11．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则______．

12．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
13．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为___________度．

三、解答题
14．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F．
，
_______，_______．
，
_______．
，
_______，
_______．
，
_______．
15．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______，______；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______．
16．如（图1）是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，（图2）是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数．
17．【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．
【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究．
【解决问题】
(1)探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
(2)探究二：如图②，的数量关系为 ；
如图③，已知，则 °
(3)利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数．
18．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．

(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　；
(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；
(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D B D D
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
2．【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
3．【答案】D
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
是的平分线，
，
∵是边上的高，
∴，
∴，
．
故选：D．
4．【答案】A
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿着折叠，使点与点重合，
∴，
∴．
故选：A．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了直角三角形的定义． 根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：A、，而，
则，所以A选项错误；
B、，而，
则，不能确定为直角三角形，所以B选项错误；
C、，而，则，所以C选项错误；
D、，而，
则，所以D选项正确．
故选：D．
6．【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假、三角形内角和定理的应用
【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质，∴A是真命题；
∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项未说明两条直线平行，∴B是假命题；
∵三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，∴C是真命题；
∵两点之间线段最短是几何基本事实，∴D是真命题．
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出 ，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴与互余，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
8．【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
9．【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【解析】略
11．【答案】/度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论．
【详解】解：，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．

12．【答案】 减少 10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
13．【答案】
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠
∴，
在中，，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵折叠，
∴
又
∴
解得：
故答案为：
14．【答案】；；；；；
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可．
【详解】解； ，
，．
，
．
，
，
．
，
．
15．【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)或或或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：，，
．
平分，
．
，
，．
平分，
．
；
，
．
平分，平分，
，．
，
，即，
．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
，
．
，
，．
平分，平分，
，．
．
，
，
，
．
当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）解：设，
．
，
，，
平分，平分，
，，
．
．
平分，平分，
，，
，
，
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当时，，
解得：
②当时，，
解得：
③当时，，
解得：
④当时，，
解得：
综上可知，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
16．【答案】．
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了平行线的性质的应用．过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
17．【答案】(1)
，理由如下：
如图①，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)，145；
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题．
探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题；
探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到；
如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到；
如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到．
【详解】（1）略
（2）如图②，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
如图③，延长交于L，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）∵射线分别平分和，
∴，
如图④，
由探究一的结论得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
18．【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可；
（2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可；
（3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由折叠得：
.
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
由折叠得：
∴，
∴的度数为；
（3）解：如图：

∵，
∴，
由折叠得：
，
∴
，
∴与x，y之间的数量关系：．
答案第1页，共2页
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