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15.3 等腰三角形 课时新知巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（ ）度．
A． B． C． D．
2．如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．等边对等角
C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3．下列说法：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；②有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．其中正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）

A．3种 B．5种 C．7种 D．9种
5．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
10．如图，中，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________．
12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
13．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________．
14．如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则____________．
15．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为________；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为________．
三、解答题
16．如图，在中，，，求证：．
17．如图，在中，点D在边上，．
(1)写出以点B为顶点的三角形；
(2)写出以为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形．
18．如图，一轮船由西向东以海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，航行小时后，轮船在处测得小岛在北偏东方向，已知小岛周围海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？
19．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N．
(1)当时， ；
(2)求证：．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C C A C C B
1．【答案】A
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案．
【详解】解：∵等腰的顶角为度，
∴度．
2．【答案】C
【知识点】三线合一
【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系．
【详解】解：已知，所以是等腰三角形．
又因为，所以是等腰底边上的中线．
根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即．
因为点在路灯上，所以．
因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”．
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查角平分线的判定性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，根据相关知识点逐一判断各说法即可．
【详解】解：∵ 等腰三角形顶角外角的一半与底角相等，形成同位角或内错角，所以顶角的外角平分线与底边平行，∴ ①正确；
∵ 两边和一角对应相等可能为，不一定全等，∴ ②错误；
∵ 等腰三角形顶角平分线平分顶角，由可证全等，∴ ③正确；
∵ 角的内部到两边距离相等的点必在角平分线上，∴ ④正确.
∴ 正确说法有3个，
故选B．
4．【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，共有中拼法：

故选：C．
5．【答案】C
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个，
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
6．【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键．
根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．【答案】C
【知识点】找出图中的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形．
【详解】解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝36°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
9．【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
10．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定定理，灵活运用平行线的性质定理是解题的关键．先根据角平分线定义和两直线平行内错角相等可证和为等腰三角形，然后求的周长时，结合等腰三角形的性质将所求三角形的周长转化为求即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长．
故选：．
11．【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质、两点之间线段最短
【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
平分，，
点是的中点，垂直平分，
点是的中点，
，平分，
，
当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长，
，
垂直平分，
，
，
即．
12．【答案】
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：①当或时，
∵，
∴，即是等边三角形；
②当或或时，
∵，
∴是等边三角形；
故答案为：（答案不唯一）
14．【答案】3
【知识点】利用平移的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到，即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，，
∵将沿方向向右平移，得到，
∴是等边三角形，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
15．【答案】 3
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；．
16．【答案】见解析
【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角；根据得出，进而根据平行线的性质，得出，等量代换，即可得证．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】(1)、
(2)、
(3)等腰三角形有、；等边三角形有：．
【知识点】等腰三角形的定义、三角形的识别与有关概念、找出图中的等腰三角形
【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键．
（1）根据三角形的相关定义进行求解即可；
（2）根据三角形的相关定义进行解答即可；
（3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可．
【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、；
（2）解：以为边的三角形有：、；
（3）解：，，
∴等腰三角形有、；
，
∴等边三角形有：．
18．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作，利用直角三角形性质求出长，再和海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【详解】解：作于，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∵在处测得小岛在北偏东方向，
∴，
∴，
∴，
∵海里，
∴海里，
∴海里，
∵，
∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险．
19．【答案】(1)，
(2)见解析
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意补全即可；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可．
【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置，
故答案为：，，；
（2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
20．【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果；
（2）证明为等边三角形，即可．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵对称，
∴；
（2）证明：∵为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
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