资源简介

18.5 分式方程 课时新知巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．在一次活动中，小明需要将一段长度为x米的绳子进行处理．他发现如果按照某种方式将绳子分成若干段，其中一种分式关系可以表示为．然而，在实际操作过程中，小明发现这个分式关系无解，那么a的值为（　　）
A．和 B．
C． D．和
5．甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
二、填空题
11．请写出一个解为4的分式方程：___________．
12．若与的值相等，则___________．
13．题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．
解：设张老师骑车的速度为． 依题意，得
14．已知是关于的方程．
（1）若方程有增根，则的值为________，方程的增根为________；
（2）若方程无解，则的值为________．
15．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元．
三、解答题
16．解分式方程：
(1)；
(2)．
17．已知方程．
(1)若是方程的解，求m的值；
(2)若，解方程．
18．在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程．
例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度． 小明： 小颖：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；
②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________；
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．
19．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
【采购清单】
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m ① 150
长方形木板 ② 390
(1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A D A C B A B
1．【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键．
分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可．
【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数，
选项A：，分母无未知数，不是分式方程；
选项B：，分母x是未知数，是分式方程；
选项C：，分母2是常数，不是分式方程；
选项D：，分母无未知数，不是分式方程．
故选：B．
2．【答案】C
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【详解】解：
方程两边同时乘以去分母，得．
3．【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
即可得，
解得
故选：B．
4．【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，然后分两种情况，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
即，
当时，，
当时，，
∵原方程无解，
∴或，
∴或，
∴；
综上所述，a的值为或．
故选：A
5．【答案】D
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：12分钟，
设乙的速度为，则甲的速度为，
根据题意，得：．
故选：D．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程．
【详解】解：∵设第一批柑橘单价为元，
∴第一批购进的数量为箱，
又∵第二批单价比第一批便宜4元，
∴第二批单价为元，购进的数量为箱，
∵第二批数量与第一批数量一样多，
∴可列方程，
故选A．
7．【答案】C
【知识点】分式方程和差倍分问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据计划每名员工分若干个，结果多出5个可知每人分个，根据每名员工多分1个，则差9个可知每人分个，据此列出方程即可．
【详解】解：设有x名员工，
由题意得，，
故选：C．
8．【答案】B
【知识点】分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键，
根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故选：B．
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．
10．【答案】B
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的应用，设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案．
【详解】解：设改造后每天生产的机器台数为，则改造前每天生产台，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
∴改造后每天生产的机器台数为150.
故选：B．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式方程的定义、根据分式方程解的情况求值
【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可．
【详解】解：写出一个解为4的分式方程为：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】负整数指数幂、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了负整数指数幂，解分式方程．
根据与的值相等建立方程，然后解分式方程，注意分母不为零的条件．
【详解】解：∵与的值相等，
∴，
两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
13．【答案】其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据方程中左右两个代数式的含义即可解答．
【详解】解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，
∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间，
∴被墨迹弄污的条件应是其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．
14．【答案】 0 0或2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键．
（1）根据分式方程有增根的情况求解即可；
（2）根据分式方程无解的情况求解即可．
【详解】解：（1）去分母得，，
方程有增根，
或，
当时，；当时，整式方程无解，
方程的增根为，的值为0，
故答案为：0；；
（2）关于的方程无解，
整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解．
，，
当整式方程的解是分式方程的增根时，或，
当时，，当时，整式方程无解，
当整式方程无解时，，
，故分式方程无解时的值为0或2，
故答案为：0或2．
15．【答案】150
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用．
设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．
【详解】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元，
∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒．
∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
故答案为：150．
16．【答案】(1)方程无解．
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【详解】（1）解：
解得
经检验，是增根，
∴原方程无解；
（2）解：
解得
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
17．【答案】(1)
(2)
【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，
对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可；
对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验．
【详解】（1）解：∵是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，，
去分母，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
经检验，.是原方程的根．
18．【答案】(1)①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
(2)若选小明的方法，乙队每天修路
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的工程问题，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键．
（1）小明的方法是：设甲队每天修的路为x米，则甲队修路与乙队修路所用时间相等；小颖的方法是：设甲队修路所用时间为y天，乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出两个分式方程；
（2）解出分式方程即可．
【详解】（1）解：①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用的时间相等；
②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修；
（2）解：若选小明的方法，设甲队每天修，
则有，
解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：乙队每天修路．
19．【答案】(1)；；10
(2)制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用：
（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解；
（2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量．
【详解】（1）解：①处为：；②处为：；
由题意得：，
解得：，
经检验可知：是原分式方程的解，
的值为10
（2）解：由（1）可知，；
即正方形木板有15块，长方形木板共有30块，
设制作竖式木箱个，横式木箱个，
由题意得：，
解得：，
答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑