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16.3 乘法公式 课时新知巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列各式可以利用平方差公式计算的是( )
A． B．
C． D．
2．等于（ ）
A． B． C． D．
3．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则（ ）．
A． B．24 C． D．12
5．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（ ）
A． B． C．x D．
6．已知，，则的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
7．如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（ ）
A． B．
C． D．
8．若多项式是一个多项式的平方，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
10．计算：，则________．
11．一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________．
12．若多项式是一个完全平方式，则_____．
13．如图，对该正方形的面积进行表达时能体现的乘法公式是______．
14．若，则________．
三、解答题
15．计算
(1)；
(2)：
(3)先化简，再求值：，其中，
16．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．
(1)①用含，的式子分别表示图1的面积为____________，图2的面积为___________；
②由此能验证的等式是________________；
(2)请你利用（1）中得出的等式计算：．
17．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）①______；②______；
(2)若图中满足，求的值．
18．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的
(1)用含a，b的代数式分别表示小卧室和大卧室的面积；
(2)当，时，求大小卧室的面积差（先化简再求值）．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D D C B B C A C
1．【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意．
选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
2．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用．通过连续应用平方差公式简化表达式．
【详解】解：
故选：D．
3．【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图、右图的涂色部分的面积是正确解答的关键．用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．
【详解】解：左图，涂色部分的面积为，
将剩余的部分拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故选：D．
4．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴，
∴，
故选：C．
5．【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可．
【详解】∵在公式中，对应，有，，
∴，
故公式中的对应的是，
故选B．
6．【答案】B
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】该题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开已知等式，通过相减消去平方项，直接求解的值．
【详解】解：∵，且，
∴ ，
即，
化简得，
∴．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；根据题意直接得出两个图形的面积，然后问题可求解．
【详解】解：由图1可知：该图形面积为，由图2可知：该图形的面积为，
∴；
故选C．
8．【答案】A
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键．
将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值．
【详解】解：∵完全平方公式为，
已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致，
∴对应项可得，，
∴，代入得，
∴，
∴．
故选：．
9．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查代数式的运算与等式推导，解题的关键是通过对已知条件进行变形、运算来推导结论．
由已知条件，，，通过代数推导和构造特例验证各结论是否成立．
【详解】（1）由和，结合，可构造，或，．此时，故结论（1）恒成立．
（2）将代入，若，，则；若，，则．因此结论（2）恒成立．
（3）取，，，，满足已知条件，但，故结论（3）不一定成立．
综上，结论（1）和（2）一定成立，正确命题个数为2，
故选C．
10．【答案】1
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解．
【详解】解：，
又 ，
∴ ，解得 ．
故答案为1．
11．【答案】9
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，根据该公式，由已知条件求出的值即可．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∴．
故该长方形的面积为9．
故答案为：9．
12．【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【详解】因为多项式是一个完全平方式，且，
所以．
所以．
所以．
13．【答案】
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了利用几何图形面积推导乘法公式．通过大正方形的面积两种表示方法进行求解即可得解．
【详解】解：根据题意，大正方形的面积为，
也可以表示为
则可以得到的乘法公式是，
故答案为：．
14．【答案】2
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】先利用平方差公式化简，再求解平方根，即可.
【详解】解：
，
，
，
，
，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了数的平方根，平方差公式，正确化简是解题的关键.
15．【答案】(1)
(2)
(3)11
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，
对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算；
对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可；
对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，时，
原式．
16．【答案】(1)；；
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）①根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出图1的面积；根据梯形的面积公式即可得出图2的面积；②令图1阴影部分的面积等于图2阴影部分的面积即可得出答案；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①图1的面积为，图2的面积为，
②由①得能验证的等式是，
故答案为：；；；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据平方差公式进行计算，根据图形用不同的方式表示相应图形的面积是解本题的关键．
17．【答案】(1)，；
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式．
（1）依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积；
（2）由（1）可得：，即可得出的值；
【详解】（1）解：①该图形阴影部分的面积，
②该图形阴影部分的面积；
（2）由（1）可得：，
，，
，
，
；
18．【答案】(1)，
(2)，
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式在几何图形中的应用，已知字母的值求代数式的值，解题关键是理解题意，列出代数式．
（1）先根据题意，求出阳台的宽度，再根据大卧室的边长和小明房间的长都是a，求出小卧室的边长，最后根据正方形的面积公式求出答案即可；
（2）先列出算式求出大小卧室的面积差，再把a，b的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
小卧室的面积为：，大卧室的面积为：；
（2）当，时，大小卧室的面积差为：
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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