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14.3 角的平分线 课时新知巩固2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．无法确定
3．如图，的外角的平分线与平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（ ）
A．点在的平分线上
B．点在的平分线上
C．点在的平分线上
D．是的平分线的交点
6．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．14
8．如图，在中，，平分，于点，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．到角的两边距离相等的点，在_______，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是______．
10．如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________．
11．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择．
12．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________．
13．如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点；
③连接．
若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________．
三、解答题
14．如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
15．已知：如图，，．求证：
(1)；
(2)（要求不用三角形全等证明）．
16．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数．
17．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
18．阅读下面材料：
直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．
方法一 利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二 利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求．
(1)请证明方法一中的是的平分线；
(2)直接写出方法二中的是的平分线的依据．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B D B B A
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点、的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于E，
是的平分线，，，
，
即点C到边的距离为3．
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了三角形外角定义和性质以及角平分线的定义，由三角形外角性质得：，，再由角平分线定理得，，等量代换得出，根据已知条件，即可得出的度数．
【详解】解：在中，，
在中，，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
4．【答案】B
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断即可．
【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
两把完全相同的长方形直尺，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故选：B．
5．【答案】D
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可．
【详解】解：∵点到，的距离相等，
∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上，
∴是的平分线的交点；
故选D．
6．【答案】B
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断．
【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等，
乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等．
∴甲、乙两个方案，只有乙对．
故选：B．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于点E，
由作图方法可知平分，
∵，，
∴，
∵，
∴．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】对于①，由角平分线的性质可得；对于②③，容易证明，则，，因此，故②③正确；对于④，利用同角的余角相等可证明；对于⑤，由，，结合，即可证明．
【详解】解：对于①：∵平分，
又∵，，
∴，，故①正确；
对于②：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
对于③：∵，
∴，
∴平分，故③正确；
对于④：∵，
∴，，
∴，故④正确；
对于⑤：∵，，
又∵，
∴，即，故⑤正确；
综上，正确的结论有个．
9．【答案】 这个角的平分线上 ∠AOB的平分线
【知识点】角平分线的判定定理
【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，由此解答即可．
【详解】解：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．如果∠AOB内一点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是∠AOB的平分线．
故答案为：这个角的平分线上，∠AOB的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定，解决此题的关键是要熟练掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
10．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键；
过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得到，表示面积，，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为点，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，，
∵cm，cm，
∴，
故答案为：．
11．【答案】4
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，
三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择．
故答案为：4．
12．【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得.
【详解】解：由作法得平分，平分，
∴，．
∵
∵，
∴．
故答案为：
13．【答案】1
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：由题意得：平分，
∴点P到的距离等于点P到的距离，
∵点到直线的距离为1，
∴点到直线的距离为1．
14．【答案】
【知识点】作角平分线(尺规作图)
【分析】根据题目可知，，所以射线为的角平分线．先以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接并延长，即可得到满足题目要求的射线．
【详解】略．
15．【答案】(1)
证明：∵，
∴与均为直角三角形，
在与中，
，
∴，
∴．
(2)
证明：∵，
∴平分，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】（1）证明，即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质，即可证得结论．
【详解】（1）略
（2）略
16．【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，，
，
，
，
，即为的平分线．
又，，
．
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分．
17．【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．
【知识点】角平分线性质的实际应用
【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）略
【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．
18．【答案】(1)
证明：∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
(2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线；
（2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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