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第三十章　30.3　正多边形与圆
第1课时　正多边形与圆
学习目标
1.理解正多边形和圆的有关概念.
2.在正多边形和圆中，掌握半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系的应用.(重点)
3.灵活应用正多边形与圆的性质进行有关的计算，渗透“由特殊到一般”和“由一般到特殊”的观点.(难点)
情境引入
我们知道，三角形既有外接圆也有内切圆，多边形是否也既有外接圆也有内切圆呢，正多边形呢？
正多边形的概念与相关的计算
问题　阅读教材，完成下列填空.
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，以各
　 　为顶点的多边形就是这个圆的　 　，这个圆就是这个正多边形的　　 ；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的　　 为顶点的多边形就是这个圆的　 　，这个圆就是这个正多边形的　 　 .
分点
内接正多边形
外接圆
交点
外切正多边形
内切圆
知识梳理
1.正多边形的中心：正多边形的 的圆心叫作正多边形的中心.
2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径.
3.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角.
4.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.
外接圆
例　(课本P162例题)延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形(如图).求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位).
解　如图，连接OA，OB，作AP⊥OB，垂足为P.
∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m的正八边形，
∴OA=OB=6，∠AOB==45°.
又△APO为直角三角形，
∴∠OAP=∠AOB.
例　(课本P162例题)延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形(如图).求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位).
解　∴AP=OP.
在Rt△APO中，由勾股定理，得AP2+OP2=OA2，
∴AP=OA=3.
因此，宝塔地基的面积
S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m2).
反思感悟
通过本题的求解过程可以看出，在解决正多边形问题时，基本方法是运用转化的思想，即把正多边形问题转化为三角形问题，其中求三角形的角或边长等，可利用圆心角和圆的半径等知识.
跟踪训练　(1)如图，☉O是正方形ABCD的外接圆，若☉O的半径为4，则正方形ABCD的边长为
A.4 B.8
C.2 D.4
√
解析　如图，连接BD.
由题意，得△BCD是等腰直角三角形，BD=8，
∵∠CBD=45°，∠BCD=90°，
∴BC=4.
(2)如图，圆内接正九边形两条对角线AB，CD相交，则∠1的度数是
A.45° B.54°
C.60° D.72°
√
解析　如图，设这个正九边形的外接圆为☉O，
连接AO，BO，CO，DO，AD，
则∠BOD==40°，∠AOC=2∠BOD=80°，
∴∠BAD=∠BOD=20°，∠ADC=∠AOC=40°，
∴∠1=∠BAD+∠ADC=20°+40°=60°.
课堂小结
1.若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个正多边形的边数是
A.10 B.9
C.8 D.6
√
随堂演练
解析　设这个多边形的边数是n，
由题意得=40°，
解得n=9，
∴这个正多边形的边数是9.
2.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，连接OA，OB，若OA=3，则AB的长为
A.3 B.2
C.1 D.
√
随堂演练
解析　∵正六边形ABCDEF内接于☉O，∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3.
3.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径为2，则边心距OM的长为　　　　.
随堂演练
解析　∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=2，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=1，∴OM==.
4.半径为2的正十二边形中心角的度数是　　　 ，每一个内角的度数是　　　　 ，面积是　　　.
随堂演练
30°
150°
12
解析　正十二边形中心角的度数=外角的度数=360°÷12=30°，
∴每个内角的度数为180°-30°=150°，
过点A作AP⊥OB于点P，如图，
由题意得，OA=OB=2，∠AOB=30°，∴AP=OA=1，
∴S△AOB=×2×1=1，∴正十二边形的面积=12S△AOB=12×1=12.
5.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.(直接写出结果)
随堂演练
边长 边心距 周长 面积
圆内接正三角形
圆内接正方形
圆内接正六边形
R
R
3R
R2
R
R
4R
2R2
R
R
6R
R2
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