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有理数的运算 单元同步测试提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·长沙期中） 下列各组中，数值相等的是（　　）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．（2025七上·镇海区期中） 已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是(　　)
A． B． C．p+q=0 D．p-q=0
3．（2025七上·深圳月考）如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点分别为A，B，C，D，若，则a，b，c，d四个数中，绝对值最大的一个数是（　　）
A．a B．b C．c D．d
4．（2025七上·鄞州期中）2025年国庆中秋8天假期，宁波东钱湖旅游度假区共接待游客91.8万人次，同比增长．数据91.8万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七上·杭州期中）杭州市某天的最低气温为-2℃，最高气温为6℃，则这天的温差为 (　　)
A．- 2℃ B．6℃ C．4℃ D．8℃
6．（2025七上·苍南期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2025七上·秀洲月考）如下图是制作果冻的食谱，傅妈妈想根据此食谱内容制作六份果冻．若她加入50克砂糖后，不足砂糖可依比例换成糖浆，则她需再加糖浆（　　）
果冻食谱（1份） 果冻粉—30克 砂糖—20克 咖啡粉—70克 注：20克砂糖可以换6匙糖浆
A．15匙 B．18匙 C．21匙 D．24匙
8．（2025七上·定州月考）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（　　）
A．10 B． C．20 D．
9．（2026·宜宾）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边现有的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
10．（2024·罗湖区校级开学）游泳馆收取门票，一次30元.现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元；B卡收费200元，办理后每次门票20元；C卡收费400元，办理后每次门票15元.某人一年游泳次数45~55次，他选择下列(　　)方案最合算.
A．不办理会员年卡 B．办理A卡
C．办理B卡 D．办理C卡
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·通州月考）数轴上点A表示，那么到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是　 　．
12．（2025七上·顺德月考）绝对值不小于4，且不大于9的所有整数的和为 　 　．
13．（2025七上·嵊州期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求　 　．
14．（2025七上·成都期中）若规定，例如 ，则　 　．
15．（2025七上·武安月考）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：）：①44.9；②45.02；③44.98；④45.1．其中不合格的是　 　．（填写序号）
16．（2024七上·天津市期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·海珠月考）计算：
（1）
（2）
18．（2025七上·观山湖期末）如图，一辆货车从超市出发，向东走了2到达小彬家，继续走了2.5到达小颖家，最后回到超市．
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？
（2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？
19．（2025七上·横州月考）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
路程（） 0
（1）该汽车行驶路程最多的一天是 ，这一天的实际行驶路程是 ．
（2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费．
20．（2025七上·钱塘期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样两道题目：
计算：
有两位同学的解法如下：（1）97×11=（100-3)×11=1100-33=1067。（2）-15×33+16×33=（-15+16)×33=33。
请参考上述解法，计算下面两题：
（1）
（2）
21．（2025七上·永康期中） 定义一种新运算“#”， 对任意两数x， y， 当x>y时， x#y=|x+y|： 当x≤y时， x#y= |x-y|
（1） 当x=4， y=7时， 求x#y的值；
（2） 当 时，求(x#y) #z的值：
（3） 当x=2， x#y=1时， 求y的值.
22．（2025七上·湖州期中）小华在课外书中看到这样一道题：
计算
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题：
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分；
（3）根据以上分析，求出原式的结果．
23．（2024七上·天津市期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组．
例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组．
（1）求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数．
（2）若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数．
（3）当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________．
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有理数的运算 单元同步测试提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·长沙期中） 下列各组中，数值相等的是（　　）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【解析】【解答】解：
不符合题意；
符合题意；
不符合题意；
不符合题意.
故选： B.
【分析】根据绝对值、相反数和乘方求出各选项中两式的结果，即可做出判断.
2．（2025七上·镇海区期中） 已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是(　　)
A． B． C．p+q=0 D．p-q=0
【答案】C
【解析】【解答】解： p与q互为相反数，且p≠0
故答案为：C .
【分析】一对相反数的和为0，特别地，0的相反数也为0，若这一对相反数都不为0，则商为-1.
3．（2025七上·深圳月考）如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点分别为A，B，C，D，若，则a，b，c，d四个数中，绝对值最大的一个数是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，且数轴上B、D不重合，
∴b和d互为相反数，
∴原点在线段的中点处，
∴绝对值最大的是点A表示的数a．
故答案为：A．
【分析】先求出原点在线段的中点处，再利用绝对值的定义（表示数到原点的距离）分析求解即可.
4．（2025七上·鄞州期中）2025年国庆中秋8天假期，宁波东钱湖旅游度假区共接待游客91.8万人次，同比增长．数据91.8万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：91.8万，
.
故答案为：B．
【分析】先恢复原数，再根据用科学记数法表示较大的数，即可得出答案.
5．（2025七上·杭州期中）杭州市某天的最低气温为-2℃，最高气温为6℃，则这天的温差为 (　　)
A．- 2℃ B．6℃ C．4℃ D．8℃
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得．
即这天的温差是，
故答案为：D .
【分析】根据温差最高温度最低温度，求值即可．
6．（2025七上·苍南期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上可知，，，中正数的个数为2个，
故选：C．
【分析】由已知条件得出，再分、、三种情况讨论，分别求解．
7．（2025七上·秀洲月考）如下图是制作果冻的食谱，傅妈妈想根据此食谱内容制作六份果冻．若她加入50克砂糖后，不足砂糖可依比例换成糖浆，则她需再加糖浆（　　）
果冻食谱（1份） 果冻粉—30克 砂糖—20克 咖啡粉—70克 注：20克砂糖可以换6匙糖浆
A．15匙 B．18匙 C．21匙 D．24匙
【答案】C
【解析】【解答】解：6÷20×（6+20-50）
=0.3*70
=21（匙）
故选：C.
【分析】一份果冻需要砂糖20克，则六份果冻需要砂糖克，加入50克砂糖后，则还少70克，已知20克砂糖可以换6匙糖浆，则一克砂糖需6÷20=0.3匙，换算70克砂糖就需要21匙．
8．（2025七上·定州月考）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（　　）
A．10 B． C．20 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：题目中被污损的数是．
故答案为：D．
【分析】
根据有理数的加减混合运算：被减数等于差加上减数，计算即可解答．
9．（2026·宜宾）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边现有的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】【解答】分三种情况讨论：
只使用一个砝码，共3种；
使用两个砝码，两砝码放在异侧：
3-1=2，9-1=8，9-3=6；
两砝码放在同侧：
1+3=4，1+9=10，3+9=12；
使用两个砝码共6种；
使用三个砝码，
放同侧：9+3+1=13，
放异侧：9+3-1=11，9+1-3=7，9-3-1=5，
共4种.
综上所述，能称出的整数克质量有：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，共13种．
故答案为：C.
【分析】 根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可.
10．（2024·罗湖区校级开学）游泳馆收取门票，一次30元.现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元；B卡收费200元，办理后每次门票20元；C卡收费400元，办理后每次门票15元.某人一年游泳次数45~55次，他选择下列(　　)方案最合算.
A．不办理会员年卡 B．办理A卡
C．办理B卡 D．办理C卡
【答案】D
【解析】【解答】解：分别计算不同方案在游泳次数区间内的总费用：
不办卡：最少费用元，最多费用元；
办理 A 卡：总费用 = 办卡费 + 单次门票 × 次数，最少元，最多元；
办理 B 卡：最少元，最多元；
办理 C 卡：最少元，最多元。
对比可知，45~55 次区间内，C 卡的总费用始终最低
故答案为：D
【分析】先明确每种方案的总费用构成：不办卡仅需单次票价乘次数，办卡方案需加上固定办卡费用再叠加单次优惠票价乘次数。分别计算四种方案在游泳次数 45 次和 55 次时的总费用，得到各方案的费用范围，再横向对比四个范围的数值，找出全程费用最低的方案即为最合算的选择。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·通州月考）数轴上点A表示，那么到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：当到点A的距离是3个单位长度的点在点A右边时，则该点表示的数为，
当到点A的距离是3个单位长度的点在点A左边时，则该点表示的数为，
综上所述，到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是或，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当到点A的距离是3个单位长度的点在点A右边时，②当到点A的距离是3个单位长度的点在点A左边时，再利用数轴上两点之间的距离公式求出点表示的数即可.
12．（2025七上·顺德月考）绝对值不小于4，且不大于9的所有整数的和为 　 　．
【答案】0
【解析】【解答】解：根据题意得：绝对值不小于4，且不大于9的整数的绝对值等于：4、5、6、7、8、9，
∴这些整数为：，
∴它们的和为：．
∴绝对值不小于4，且不大于9的所有整数的和为0．
故答案为：0．
【分析】根据绝对值不小于4，且不大于9的所以整数的绝对值4、5、6、7、8、9，据此求出所有整数，再求和即可.
13．（2025七上·嵊州期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：．
【分析】
根据有理数的混合运算法则按照新定义的要求列式计算即可．
14．（2025七上·成都期中）若规定，例如 ，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题可根据绝对值得性质对进行化简，再分别计算不同取值范围下的值，最后求和即可.
15．（2025七上·武安月考）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：）：①44.9；②45.02；③44.98；④45.1．其中不合格的是　 　．（填写序号）
【答案】①④
【解析】【解答】解：∵，，
∴零件直径的合格范围是：零件的直径，
∵45.1不在该范围之内，
∴不合格的是①④，
故答案为：①④．
【分析】
根据正负数的意义：先算零件直径的合格范围是零件的直径，在判断即可解答.
16．（2024七上·天津市期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，
，
，
有三个字母的值分别为，，，其余个字母的值的和为，
这个字母的值分别为：，，，，或，，，，，
当这个字母的值分别为，，，，时，
，
当这个字母的值分别为，，，，时，
，
或，
故答案为：或．
【分析】先根据题干分析出这个字母的值分别为：，，，，或，，，，，再分类讨论：当这个字母的值分别为，，，，时；当这个字母的值分别为，，，，时，再利用绝对值的性质化简并求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·海珠月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，
【解析】【分析】（1）先计算乘方和化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七上·观山湖期末）如图，一辆货车从超市出发，向东走了2到达小彬家，继续走了2.5到达小颖家，最后回到超市．
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？
（2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？
【答案】（1）解：∵从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，1个单位长度表示，
∴小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为2，4.5.
（2）解：由题意得：（千米）．
【解析】【分析】（1）先求出小彬家、小颖家在数轴上的点，再利用有理数在数轴上的表示方法分析求解即可；
（2）根据数轴并结合实际列出算式求解即可.
（1）解：∵从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，1个单位长度表示，
∴小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为2，4.5；
（2）解：由题意得：（千米）．
19．（2025七上·横州月考）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
路程（） 0
（1）该汽车行驶路程最多的一天是 ，这一天的实际行驶路程是 ．
（2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费．
【答案】（1）星期六，
（2）解：元，
答：小明家这一星期的汽车的电费为元．
【解析】【解答】（1）解：七天中，行驶路程最多的一天是星期六，
这一天的实际行驶路程是：，
故答案为：星期六，.
【分析】（1）结合表格中的数据分别求出每一天的路程，再求解即可；
（2）先求出总路程，再结合“ 每行驶耗电量为15度 ”求出总耗电量，再结合“ 每度电约为0.5元 ”列出算式求解即可.
（1）解：七天中，行驶路程最多的一天是星期六，
这一天的实际行驶路程是：，
故答案为：星期六，；
（2）解：元，
答：小明家这一星期的汽车的电费为元．
20．（2025七上·钱塘期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们出了这样两道题目：
计算：
有两位同学的解法如下：（1）97×11=（100-3)×11=1100-33=1067。（2）-15×33+16×33=（-15+16)×33=33。
请参考上述解法，计算下面两题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=（100-2）×（-15）
=-100×15+2×15
=-1500+30
=-1470；
（2）解：
=2025×（）
=2025×1
=2025.
【解析】【分析】（1）首先把98改写成（100-2），然后根据乘法分配律，进行简便运算即可；
（2）根据乘法分配律进行简便运算即可。
21．（2025七上·永康期中） 定义一种新运算“#”， 对任意两数x， y， 当x>y时， x#y=|x+y|： 当x≤y时， x#y= |x-y|
（1） 当x=4， y=7时， 求x#y的值；
（2） 当 时，求(x#y) #z的值：
（3） 当x=2， x#y=1时， 求y的值.
【答案】（1）解：∵x=4，y=7，
∴x∴x#y=|4-7|=|-3|=3；
（2）解：∵x=2，y=-1，
∴x>y，
∴x#y=|2+(-1)|=|1|=1，
，
∴1∴；
（3）解：∵x=2， x#y=1，
当x>y， 即2>y时， |2+y|=1，
∴2+y=1或2+y=-1，
∴y=-1或y=-3，y的值符合2>y；
当x≤y， 即2≤y时， |2-y|=1，
∴2-y=1或2-y=-1，
∴y=1 (舍去) 或y=3，
∴y的值为-1或-3或3.
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算，由x，y的大小关系，可知x#y=|x-y|，代入值计算即可；
（2）由有理数的混合运算法则，可知有括号的先算括号，则式子(x#y) #z，由新定义的运算，先算x#y，算出的结果，再与z作新定义运算即可；
（3）由新定义运算可知x与y的大小关系不同，运算过程就不同，则需要按x>y，x≤y分类讨论，列出方程解出y的值，并舍去不符合题意得值即可.
22．（2025七上·湖州期中）小华在课外书中看到这样一道题：
计算
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题：
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分；
（3）根据以上分析，求出原式的结果．
【答案】（1）解：前后两部分互为倒数
（2）解：先计算后一部分比较方便．
＝9+3﹣14﹣1
＝﹣3
（3）解：根据以上分析，可知原式
【解析】【分析】( 1 )根据倒数的概念作答即可；
( 2 )先计算后一部分比较方便，根据乘法的分配律计算即可；
( 3 )根据倒数的概念可得前一部分的值，再前后两部分相加即可.
23．（2024七上·天津市期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组．
例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组．
（1）求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数．
（2）若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数．
（3）当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________．
【答案】（1）解：，，，，，，
∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32.
（2）解：∵二维数组中有0，
∴这几个有理数中必定有一个数为0，
假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，
∴一定有一个数满足，一定有一个数满足，
∴一定是二维数组中的每个数，
∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，
∴这几个有理数都是整数；
若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24和18，
∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾，
∴没有有理数1，
当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
∴此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24和18，
∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾；
当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
∴此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24，且，
∴此时必有有理数4和6，
∵，
∴这时有理数满足题意，
同理有理数也满足题意.
（3）5；
【解析】【解答】（3）解：∵0乘以任何数为0，
∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，
∵4个数两两相乘一共有6种结果，
∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，
∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，
∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，
综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为，
故答案为：5；．
【分析】（1）利用有理数的乘法的计算方法求解并结合题干分析求解即可；
（2）分类讨论：①若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，②当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，③当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，再分别求解即可；
（3）利用“4个数两两相乘一共有6种结果”可得当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，再求解即可.
（1）解：，，，，，，
∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32；
（2）解：∵二维数组中有0，
∴这几个有理数中必定有一个数为0，
假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，
∴一定有一个数满足，一定有一个数满足，
∴一定是二维数组中的每个数，
∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，
∴这几个有理数都是整数；
若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24和18，
∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾，
∴没有有理数1，
当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
∴此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24和18，
∴ 此时必有有理数为和，这与假设矛盾；
当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，
∵，
∴此时必有一个有理数为，
∵二维数组中有24，且，
∴此时必有有理数4和6，
∵，
∴这时有理数满足题意，
同理有理数也满足题意；
（3）解：∵0乘以任何数为0，
∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，
∵4个数两两相乘一共有6种结果，
∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，
∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，
∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，
综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为，
故答案为：5；．
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