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特殊三角形 单元综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026八上·余姚期末） 若等腰三角形的顶角为，则它的底角为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·北海期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·潮阳期末）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·东莞期末）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·罗湖月考）在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026八上·常宁期末）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
7．（2026八上·宽城期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·杭州月考）下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·安州月考）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026·北川模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·名山模拟）如图，在中，点D在边上，若，，则　 　．
12．（2026·成都模拟）如图，已知，点D恰好在边上，若，则的度数为　 　．
13．（2026·邵阳模拟）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为　 　．
14．（2026八上·成华期末） “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC= 　 　.
15．（2026八上·安州期末） 如图，，点E在BC边上，AC与EF相交于点G. ，，则　 　．
16．（2026八上·越秀月考）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P为OC上一点，点D，E分别为射线OA，OB上的点，且∠PEO=120°，若PD=PE，则∠PDO的度数为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026八上·宁波期末）（1）如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接．求证：．
（2）如图2，和都是等边三角形，，连接．求的长．
18．（2026八上·织金期末） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？
19．（2026八上·遵义期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接．
（1）求的度数；
（2）若的面积为，，求的长度．
20．（2026八上·天河期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（-1，2），B（2，1）.
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1；
（2）连接AB1和A1B，求证
21．（2026八上·泸县期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分.
（1） 求、的度数；
（2） 连接CE，且，求证：是等边三角形.
22．（2026八上·宁波期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD 是∠CAB 的角平分线， 于E，点F在边AC上，连接DF，若DF=DB.
（1） 试说明∠B 与∠CFD 的数量关系；
（2） 若AB=8， AF=5， 求BE的长.
23．（2026八上·海珠期末） 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为　 　.
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
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特殊三角形 单元综合达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026八上·余姚期末） 若等腰三角形的顶角为，则它的底角为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为8
∴底角
故选： B.
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数.
2．（2026八上·北海期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设为x尺，则尺，依题意得：
，
故选：D．
【分析】设为x尺，则尺，根据勾股定理建立方程即可求出答案.
3．（2026八上·潮阳期末）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作，使得，连接，，如图1：
是等边三角形，，，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
当B、N、H共线时，有最小值，
如图2中，当B、N、H共线时，
，且，
，
，
，
，
故选C
【分析】作，使得，连接，，根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当B、N、H共线时，有最小值，当B、N、H共线时，根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．（2026八上·东莞期末）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由作图过程可得：，
∵，，
∴是的角平分线，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】由作图过程可得：，根据角平分线判定定理可得是的角平分线，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．（2026八上·罗湖月考）在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
故A符合题意，
选项、、均无法通过几何角度直接验证，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理与垂线段最短性质的结合应用。解题的核心是构造出三边长为1、、2的三角形，先通过勾股定理的逆定理验证，确定该三角形为直角三角形，再利用直角三角形中垂线段最短的性质，找到对应线段和2的位置关系，从而直接验证大小关系。
6．（2026八上·常宁期末）如图，已知BC＝BD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【答案】D
【解析】【解答】解：在与中，，，
A、根据边边边可得两个三角形全等；
B、根据边角边可得两个三角形全等；
C、根据直角三角形的特殊判定方法（直角边斜边）可得两个三角形全等；
D、不能判定两个三角形全等；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定方法可知没有ASS方法，因此D项无法判定全等
7．（2026八上·宽城期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，，
，
的垂直平分线交于点，
，
；
故答案为：D．
【分析】首先在Rt△ADC中，用勾股定理算出CD的长，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AD=BD，最后根据线段构成，由BC=BD+CD可算出答案.
8．（2026八上·杭州月考）下列尺规作图中，一定能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意；
B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意；
C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意；
D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
由于BC＝BD+CD，若AD+BD＝BC，则有AD＝CD，即点D在线段AC的垂直平分线，故应利用基本尺规作图作线段AC的垂直平分线即可．
9．（2025八上·安州月考）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是含直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的外角，
∴；
故答案为：A．
【分析】先根据45°直角三角形得到∠BAD=90°，∠D=45°，求出∠EAF=60°，结合AE=AF判定等边三角形，再利用三角形外角性质求出∠FED=15°．
10．（2026·北川模拟）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
图形由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，
，AF=CE=BD，S△ACF=S△ABD=S△BCE，
又，
，
，，
，
又空白部分面积为，
则图中阴影部分与空白部分面积之比为．
故答案为：B.
【分析】由全等三角形的对应边相等得出AD=CF=BE，AF=CE=BD，由等边三角形的三边相等得出DF=DE=EF，结合DF=3AF可推出EF=3CE，由同高三角形的面积之间的关系就是对应底的关系得出，，则空白部分的面积为12S△ACE，从而即可求出图中阴影部分与空白部分面积之比.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·名山模拟）如图，在中，点D在边上，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
因为在三角形中等边对等角，结合三角形内角和定理可以得到，同时，再根据三角形外角的性质可知，通过计算即可得到对应角的度数，完成求解.
12．（2026·成都模拟）如图，已知，点D恰好在边上，若，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
先根据全等三角形对应角相等、对应边相等的性质，得到，进一步推导可以得到，再结合等边对等角的性质，就可以求出的度数。
13．（2026·邵阳模拟）如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题综合考查尺规作图-角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定. 解题时需先根据作图步骤，明确AG是的角平分线，再结合的平行性质，推出内错角相等，进而判定为等腰三角形，得到，最后结合BC的长度求出CG的数值.
14．（2026八上·成华期末） “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC= 　 　.
【答案】12
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=BA=x+1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（x+1）2=52+x2，
解得x=12，
即BC=12，
故答案为：12．
【分析】设BC=x，则BD=BA=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程，求出x的值解答即可．
15．（2026八上·安州期末） 如图，，点E在BC边上，AC与EF相交于点G. ，，则　 　．
【答案】64°
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=32°
∵GC=GE，
∴∠C=∠GEC=32°，
∴∠1=∠C+∠GEC=64°
故答案为：64°.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠F=∠C，再根据等边对等角可得∠C=∠GEC，最后结合三角形外角的定理即可解答.
16．（2026八上·越秀月考）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P为OC上一点，点D，E分别为射线OA，OB上的点，且∠PEO=120°，若PD=PE，则∠PDO的度数为　 　．
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
在Rt△PND和Rt△PME中，
∴Rt△PND≌Rt△PME（HL），
∴∠PEM＝∠PDN，
∵∠OEP＝120°，
∴∠PEM＝∠PDN＝60°，
∴∠ODP＝120°，
当点D'在点N的上方时，∠OD'P＝60°，
综上所述，∠ODP＝120°或60°．
故答案为：120°或60°．
【分析】过点P作PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N．证明Rt△PND≌Rt△PME（HL），利用全等三角形的性质可得∠PEM＝∠PDN，再分两种情况计算求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026八上·宁波期末）（1）如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接．求证：．
（2）如图2，和都是等边三角形，，连接．求的长．
【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，
∵点B，C，D在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得，，利用平角推出，从而利用“SAS”证明△BCE≌△ACD，由全等三角形的对应边相等得出AD=BE；
（2）连接BE，同（1）证得AD=BE，由等边三角形性质得AB=AC=4，∠BAC=60°，由角的和差求出∠BAE=90°，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出BE，即可得出答案.
18．（2026八上·织金期末） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度．
（2）如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？
【答案】（1）解：在中，，
由勾股定理得：（米）．
，米，
（米），
答：风筝的垂直高度为米．
（2）解：解：如图，设回收后风筝位于点F，
回收后风筝线长为（米），
在中，（米）．
风筝下降高度（米）．
答：风筝的垂直高度下降米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设回收后风筝位于点F，根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）在中，，
由勾股定理得：（米）．
，米，
（米），
答：风筝的垂直高度为米．
（2）解：如图，设回收后风筝位于点F，
回收后风筝线长为（米），
在中，（米）．
风筝下降高度（米）．
答：风筝的垂直高度下降米．
19．（2026八上·遵义期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接．
（1）求的度数；
（2）若的面积为，，求的长度．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，是中线，
∴，，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，，，则，根据等角对等边可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，是中线，
∴，，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
20．（2026八上·天河期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（-1，2），B（2，1）.
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1；
（2）连接AB1和A1B，求证
【答案】（1）解：如图 △A1OB1 即为所求，

（2）解：如图所示，连接 和，
证明：由（1）得：△AOB≌△A1OB1，
∴OA=OA1，OB=OB1，
∵
∴
【解析】【分析】
(1)根据点的对称性，作出 △AOB关于x轴对称的△A1OB1 解答即可；
（2）根据轴对称的性质得到△AOB≌△A1OB1，，再根据全等三角形的性质得到OA=OA1，OB=OB1，再利用角度的和差运算得到，即可利用SAS证明，再根据全等三角形的性质解答即可.
21．（2026八上·泸县期末）如图，在中，，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分.
（1） 求、的度数；
（2） 连接CE，且，求证：是等边三角形.
【答案】（1）解： ∵B的垂直平分线交 AC于点 D。
平分
在中，，即
解得 ，；
（2）解： ∵AB的垂直平分线交AC于点D
∴
∴△BCE是等腰三角形
由(1)知，，即
∴△BCE是等边三角形.
【解析】【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可证，结合三角形内角和定理求解；
(2)利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得，结合(1)中即可证明是等边三角形.
22．（2026八上·宁波期末） 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD 是∠CAB 的角平分线， 于E，点F在边AC上，连接DF，若DF=DB.
（1） 试说明∠B 与∠CFD 的数量关系；
（2） 若AB=8， AF=5， 求BE的长.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是的角平分线，，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∵，，
∴.
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解；
（2）证得，结合可得即可求解．
23．（2026八上·海珠期末） 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为　 　.
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
【答案】（1）4
（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下，
∵点E为线段CB，BD的垂直平分线的交点，
∴EC=EB=ED，
∴∠ECB=∠EBC，∠EBD=∠EDB.
∵∠CAB=90°，∠ACB=60°，
∴∠CBA=90°-60°=30°，
∴∠CBD=180°-30°=150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠EDB=300°
∴∠CED=360°-300°=60°，
又∵EC=ED，
∴△CED为等边三角形
（3）解：连接CD，由(2)得，△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°， CD=DE，
如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.
∴PD=PD'，
∴ PE-PD=PE-PD'∵∠BFD+∠BFE=180°， ∠BFD=∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE=180°，
∴∠CBF+∠CEF=180°.
∵∠CED=60°，
∴∠CBF=120°，
∴∠CBA=∠FBD=30°，
∴∠DBF=∠FBD'=30°，
∴∠DBD'=60°.
∵BD=BD'，
∴△BDD'是等边三角形，
∴ DB=DD' ， ∠BDD'=∠CDE=60°，
∴∠CDB=∠EDD'.
∴△CDB≌△EDD'(SAS)，
∴CB=ED'.
∵∠A=90°，∠CBA=30°，
∴CB=2CA，
∴ PE-PD=2CA=4.
【解析】【解答】解：（1）在中， ∠A=90°，AC=2，∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
故答案为： 4；
【分析】（1）首先根据直角三角形的性质得出∠ABC=30°，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出BC=2AC=4；
（2）△CDE为等边三角形，首先根据线段垂直平分线的性质得出EC=EB=ED，进而再根据四边形内角和求得∠CED=60°，即可得出△CED为等边三角形；
（3）如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.可得出PD=PD'，则点P在ED'的延长线上时， PE-PD的值最大， 此时PE-PD=ED'.进而根据SAS证得△CDB≌△EDD'，即可得出ED'=CB=4.
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