资源简介

浙江省湖州市2024--2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列代数式中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．近年来，乡村旅游成为备受瞩目的新兴项目．潞村，这个被誉为“世界乡村旅游小镇”的特色景区位于湖州市的八里店镇，它的建设总花费约为3630000000元，它以其独特的水乡风光给游客留下深刻印象．请将“3630000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合用抽样调查方式的是（　　）
A．了解某校七年级学生的主要娱乐方式
B．某公司对退休职工进行健康检查
C．检查“神舟二十号”载人飞船各零部件
D．旅客乘坐飞机时进行安检
4．如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　）
A． B．
C． D．
8．如表是当x取不同值时对应的整式的值，小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则a，b的值分别为（　　）
x 　 1 2
7 　 3 1
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，已知直线，点E，F分别是，上的两点．点H在直线的上方，，平分，当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式解
（说明：a，b均为不等于零的常数）
有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：　 　．
12． 在“Deep Seek”的所有字母中，字母“e”出现的频率为　 　.
13．若关于x的分式方程有增根，则增根是　 　．
14．一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，则的值为　 　．
15．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是　 　度．
16．为了激发学生的数学兴趣，某学校七年级举办了“数学挑战”大赛，现有小吴、小兴、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第，，名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（且，，均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况（为正整数）．根据题中所给信息，　 　，小奕同学第六轮的得分为　 　分．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小吴
小兴
小奕
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
20．如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，且，与互补．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的度数．
21．如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙．
（1）若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示）
（2）若猜测a与b之间的数量关系，说明理由．
22．电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军．小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
收集数据
（1）小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________．
A．抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B．抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C．抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
整理、描述数据
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分（满分10分）情况如下：
5.5，6.5，6.1，7.7，8.0，8.4，8.2，8.0，9.1，8.3，4.5，7.3，9.9，9.5，8.6，8.1，8.38，8，9.5，8.7，6.3，7.5，8.0，8.1，8.5，9.7，7.4，9.1，9.3，8.7，8.9，7.2，9.8，8.4，9.0，7.1，7.0，9.1，6.6，6.5
分成五组整理数据（每组都包含最小值，不包含最大值），如表所示：
《哪吒之魔童闹海》观众评分情况统计图
组别 观众人数 A组（6分以下） 2 B组（分） C组（分） 7 D组（分） 16 E组（分）
《哪吒之魔童降世》观众评分情况直方图
（2）为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数．
分析数据、得出结论：
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况（右上方直方图）进行对比分析．
（3）若评分8分及以上表示受观众喜爱．从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
23．如图，、和被所截，已知，平分交于点G．
（1）如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由；
（2）如图2，已知．
①若，，求的度数；
②试探索、与之间的数量关系．
24．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m
120
长方形木板
300
（1）请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
（2）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
（3）该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、的分母是数字3，不含字母，属于整式；
B、的分母是字母，符合分式的定义；
C、是多项式，没有分母，属于整式；
D、的分母是数字7，不含字母，属于整式；
综上，只有B选项是分式.
故答案为：B．
【分析】分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、七年级学生人数较多，全面调查耗时耗力，且娱乐方式可通过抽样推断整体，适合抽样调查，A正确；
B、健康检查需每个个体的准确数据，且退休职工人数有限，适合全面调查，B错误；
C、涉及航天安全，每个零件必须严格检查，适合全面调查，C错误；
D、航空安全要求每位旅客必须接受检查，适合全面调查，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据抽样调查适用于调查对象数量大、具有破坏性或不需要全面检查的情况，而全面调查适用于要求数据准确或对象较少的情况，逐一分析即可.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，与不平行，
∴，
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同位角相等写出即可．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据合并同类项可判断B；根据同底数幂的除法可判断C；根据幂的乘方可判断D；
6．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，A错误；
B、左边可提取公因式，得到，符合因式分解的定义，B正确；
C、右边为乘积与常数项的和，未完全转化为乘积形式，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式乘积的形式，逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1的面积为：，
图2的面积为：，
∵两个图形面积相等，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据两个图形面积相等，得出结果即可．
8．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由表格中数据可知，当时，，
当时，，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据表格中数据，列出二元一次方程组求解即可．
9．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，设，，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】过作，过作，设，，根据角的关系得到，再根据平行线的性质和角的运算求解即可.
10．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵因式分解为
∴，
第二个多项式：，
∴，
①当时，代入得，此时，，则，正确；
②当时，由和，解得，正确；
③当时，，得，正确；
④当时，设，则，，得，错误；
故答案为：A.
【分析】先令二次多项式和其因式分解的展开式，系数对应相等得到关系式，再逐一代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】此题二项式的各项都含有相同的因式a，故利用提取公因式法分解即可.
12．【答案】0.5
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：Deep Seek”的所有字母中，字母“e”出现的次数为4次，总的字母数8；
字母“e”出现的频率=
故答案为：0.5 .
【分析】先求出字母“e”出现的次数为4次，总的字母数8；根据频率公式计算即可解答.
13．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
得，
∴最简公分母为，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在一个分式方程中，使其最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根，据此求出x的值即可．
14．【答案】240
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据长方形的周长公式和面积公式求出与，再提公因式整体代入即可．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；镜面对称；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于，
∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为，
∴，
∵与平行的光线，
∴，，，
由镜面反射可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠AFH和∠GDC，根据两直线平行，同位角相等得到∠DFB，再根据镜面反射和三角形的内角和定理求解即可．
16．【答案】；
【知识点】推理与论证；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
若，则，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴，，，
∵小兴同学最后得分为，次第一得6分，次第二得2分，
∴剩下4轮的总分数为分，
∴次第三，
∵小吴同学最后得分为，
∴小吴同学得次第一，次第二，即第三轮得第二，
∴，解得：
∴小奕同学第六轮的得分为分，
故答案为：，．
【分析】先根据三人总得分得到，进而得到，再根据a的值讨论即可．
17．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】单项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式运算法则计算求解即可；
（2）先计算零指数幂与负整数指数，再进行加减计算即可．
（1）解：；
（2）解：．
18．【答案】（1）解：
经检验，是原方程的解；
（2）解：
解：由①得，
把代入②，解得，
把代入①，解得，
方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤：先去分母，再移项，系数化为1求解即可；
（2）根据代入消元法求解即可．
（1）解：
经检验，是原方程的解；
（2）解：由①得，
把代入②，解得，
把代入①，解得，
方程组的解为：．
19．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分；分式的加减法；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先对分子分母因式分解，化简括号内式子，再将出发转化为乘法进行约分，最后根据分母不为零确定x的取值并代入求值即可．
20．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
．
与互补，
，
，
∴；
（2）解：，，
∵，
，
，
．
【知识点】平行线的应用-求角度；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到∠1=∠DCB，再根据角的关系和同位角相等，两直线平行证出即可；
（2）先根据垂直和角的运算关系计算求解即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
．
与互补，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∵，
，
，
．
21．【答案】（1）
（2）解：a=3b，理由如下：
，即．
【知识点】单项式乘多项式；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，
∴大长方形的长为：，宽为：，
∴乙的周长可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据图形得到大长方形的长和宽，再求出周长即可；
（2）先分别求出甲、乙的面积，再根据面积比求解即可．
（1）解：根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，
∴大长方形的长为：，宽为：，
∴乙的周长可表示为：，
故答案为：；
（2）
，即．
22．【答案】解：（1）C；
（2）根据题意得：；
（3）魔童闹海：
魔童降世：
，
故魔童闹海更受欢迎．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，应该抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本，
故答案为：C；
【分析】（1）根据样本抽选的要求分析即可；
（2）根据C组所占比例乘以360度计算即可；
（3）分别求出两部电影8分及以上的比例，再进行比较即可．
23．【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
．
（2）解：①，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
②证明：，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；数形结合
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，进而根据两直线平行，同旁内角互补和角的关系得到∠AEG，再根据角平分线的定义可得，进而可得，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可．
（2）①根据同位角相等，两直线平行得到，再根据角的关系和得到∠FEC，最后根据平行的传递性和两直线平行的性质证出即可．
②据同位角相等，两直线平行得到，再由角平分线的定义可得∠GEC，最后根据平行线的传递性和平行线的性质证出即可．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
．
（2）①解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
②证明：，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
24．【答案】（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
∵都是非负整数，
∴或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
∴第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
∴废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程计算求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据木箱的制作方法列出二元一次方程组求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，列出二元一次方程，求解即可；
②根据 制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完计算求解即可．
（1）解：填写表格如下：
采购清单
　 单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
1 / 1浙江省湖州市2024--2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列代数式中，属于分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、的分母是数字3，不含字母，属于整式；
B、的分母是字母，符合分式的定义；
C、是多项式，没有分母，属于整式；
D、的分母是数字7，不含字母，属于整式；
综上，只有B选项是分式.
故答案为：B．
【分析】分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义逐一判断得出答案.
2．近年来，乡村旅游成为备受瞩目的新兴项目．潞村，这个被誉为“世界乡村旅游小镇”的特色景区位于湖州市的八里店镇，它的建设总花费约为3630000000元，它以其独特的水乡风光给游客留下深刻印象．请将“3630000000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．下列调查中，最适合用抽样调查方式的是（　　）
A．了解某校七年级学生的主要娱乐方式
B．某公司对退休职工进行健康检查
C．检查“神舟二十号”载人飞船各零部件
D．旅客乘坐飞机时进行安检
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、七年级学生人数较多，全面调查耗时耗力，且娱乐方式可通过抽样推断整体，适合抽样调查，A正确；
B、健康检查需每个个体的准确数据，且退休职工人数有限，适合全面调查，B错误；
C、涉及航天安全，每个零件必须严格检查，适合全面调查，C错误；
D、航空安全要求每位旅客必须接受检查，适合全面调查，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据抽样调查适用于调查对象数量大、具有破坏性或不需要全面检查的情况，而全面调查适用于要求数据准确或对象较少的情况，逐一分析即可.
4．如图，当，与不平行时，则下列角中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，与不平行，
∴，
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同位角相等写出即可．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据合并同类项可判断B；根据同底数幂的除法可判断C；根据幂的乘方可判断D；
6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，A错误；
B、左边可提取公因式，得到，符合因式分解的定义，B正确；
C、右边为乘积与常数项的和，未完全转化为乘积形式，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式乘积的形式，逐一判断即可.
7．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1的面积为：，
图2的面积为：，
∵两个图形面积相等，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据两个图形面积相等，得出结果即可．
8．如表是当x取不同值时对应的整式的值，小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则a，b的值分别为（　　）
x 　 1 2
7 　 3 1
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由表格中数据可知，当时，，
当时，，
∴，
解得：．
故答案为：C．
【分析】根据表格中数据，列出二元一次方程组求解即可．
9．如图，已知直线，点E，F分别是，上的两点．点H在直线的上方，，平分，当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，设，，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】过作，过作，设，，根据角的关系得到，再根据平行线的性质和角的运算求解即可.
10．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式解
（说明：a，b均为不等于零的常数）
有学生探究得到以下四个结论：①当时，则；②当时，则；③时，则；④当时，，以上结论中正确的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵因式分解为
∴，
第二个多项式：，
∴，
①当时，代入得，此时，，则，正确；
②当时，由和，解得，正确；
③当时，，得，正确；
④当时，设，则，，得，错误；
故答案为：A.
【分析】先令二次多项式和其因式分解的展开式，系数对应相等得到关系式，再逐一代入计算即可.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】此题二项式的各项都含有相同的因式a，故利用提取公因式法分解即可.
12． 在“Deep Seek”的所有字母中，字母“e”出现的频率为　 　.
【答案】0.5
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：Deep Seek”的所有字母中，字母“e”出现的次数为4次，总的字母数8；
字母“e”出现的频率=
故答案为：0.5 .
【分析】先求出字母“e”出现的次数为4次，总的字母数8；根据频率公式计算即可解答.
13．若关于x的分式方程有增根，则增根是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
得，
∴最简公分母为，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在一个分式方程中，使其最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根，据此求出x的值即可．
14．一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，则的值为　 　．
【答案】240
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据长方形的周长公式和面积公式求出与，再提公因式整体代入即可．
15．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；镜面对称；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于，
∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为，
∴，
∵与平行的光线，
∴，，，
由镜面反射可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠AFH和∠GDC，根据两直线平行，同位角相等得到∠DFB，再根据镜面反射和三角形的内角和定理求解即可．
16．为了激发学生的数学兴趣，某学校七年级举办了“数学挑战”大赛，现有小吴、小兴、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第，，名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（且，，均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况（为正整数）．根据题中所给信息，　 　，小奕同学第六轮的得分为　 　分．
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小吴
小兴
小奕
【答案】；
【知识点】推理与论证；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
若，则，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴，，，
∵小兴同学最后得分为，次第一得6分，次第二得2分，
∴剩下4轮的总分数为分，
∴次第三，
∵小吴同学最后得分为，
∴小吴同学得次第一，次第二，即第三轮得第二，
∴，解得：
∴小奕同学第六轮的得分为分，
故答案为：，．
【分析】先根据三人总得分得到，进而得到，再根据a的值讨论即可．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】单项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式运算法则计算求解即可；
（2）先计算零指数幂与负整数指数，再进行加减计算即可．
（1）解：；
（2）解：．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
经检验，是原方程的解；
（2）解：
解：由①得，
把代入②，解得，
把代入①，解得，
方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤：先去分母，再移项，系数化为1求解即可；
（2）根据代入消元法求解即可．
（1）解：
经检验，是原方程的解；
（2）解：由①得，
把代入②，解得，
把代入①，解得，
方程组的解为：．
19．先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分；分式的加减法；分式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】先对分子分母因式分解，化简括号内式子，再将出发转化为乘法进行约分，最后根据分母不为零确定x的取值并代入求值即可．
20．如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，且，与互补．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
．
与互补，
，
，
∴；
（2）解：，，
∵，
，
，
．
【知识点】平行线的应用-求角度；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到∠1=∠DCB，再根据角的关系和同位角相等，两直线平行证出即可；
（2）先根据垂直和角的运算关系计算求解即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
．
与互补，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∵，
，
，
．
21．如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙．
（1）若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示）
（2）若猜测a与b之间的数量关系，说明理由．
【答案】（1）
（2）解：a=3b，理由如下：
，即．
【知识点】单项式乘多项式；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，
∴大长方形的长为：，宽为：，
∴乙的周长可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据图形得到大长方形的长和宽，再求出周长即可；
（2）先分别求出甲、乙的面积，再根据面积比求解即可．
（1）解：根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，
∴大长方形的长为：，宽为：，
∴乙的周长可表示为：，
故答案为：；
（2）
，即．
22．电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军．小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．
收集数据
（1）小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________．
A．抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B．抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C．抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
整理、描述数据
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分（满分10分）情况如下：
5.5，6.5，6.1，7.7，8.0，8.4，8.2，8.0，9.1，8.3，4.5，7.3，9.9，9.5，8.6，8.1，8.38，8，9.5，8.7，6.3，7.5，8.0，8.1，8.5，9.7，7.4，9.1，9.3，8.7，8.9，7.2，9.8，8.4，9.0，7.1，7.0，9.1，6.6，6.5
分成五组整理数据（每组都包含最小值，不包含最大值），如表所示：
《哪吒之魔童闹海》观众评分情况统计图
组别 观众人数 A组（6分以下） 2 B组（分） C组（分） 7 D组（分） 16 E组（分）
《哪吒之魔童降世》观众评分情况直方图
（2）为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数．
分析数据、得出结论：
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况（右上方直方图）进行对比分析．
（3）若评分8分及以上表示受观众喜爱．从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
【答案】解：（1）C；
（2）根据题意得：；
（3）魔童闹海：
魔童降世：
，
故魔童闹海更受欢迎．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，应该抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本，
故答案为：C；
【分析】（1）根据样本抽选的要求分析即可；
（2）根据C组所占比例乘以360度计算即可；
（3）分别求出两部电影8分及以上的比例，再进行比较即可．
23．如图，、和被所截，已知，平分交于点G．
（1）如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由；
（2）如图2，已知．
①若，，求的度数；
②试探索、与之间的数量关系．
【答案】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
．
（2）解：①，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
②证明：，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；数形结合
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，进而根据两直线平行，同旁内角互补和角的关系得到∠AEG，再根据角平分线的定义可得，进而可得，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可．
（2）①根据同位角相等，两直线平行得到，再根据角的关系和得到∠FEC，最后根据平行的传递性和两直线平行的性质证出即可．
②据同位角相等，两直线平行得到，再由角平分线的定义可得∠GEC，最后根据平行线的传递性和平行线的性质证出即可．
（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
．
（2）①解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
②证明：，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
24．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m
120
长方形木板
300
（1）请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
（2）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
（3）该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？
【答案】（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
∵都是非负整数，
∴或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
∴第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
∴废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；长方体纸盒的制作
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程计算求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据木箱的制作方法列出二元一次方程组求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，列出二元一次方程，求解即可；
②根据 制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完计算求解即可．
（1）解：填写表格如下：
采购清单
　 单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
1 / 1

展开更多......

收起↑