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专题7 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.1、相交线
知识点梳理
1. 如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线相交，这个公共点叫做交点。
2. 两条直线相交形成四个角，其中有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角
3. 邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°。
4. 两条直线相交，没有公共边，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
5. 对顶角的性质：对顶角相等。
例如. 如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, 则 ∠AOC 的对顶角是_______, ∠AOD 的对顶角是_______, ∠BOD 的邻补角是_______.
例题讲解
考查点 邻补角及其性质
例题1. (★) 如图, 直线 AB, CD 相交所成的四个角中, ∠1 的邻补角为_______. 若 ∠1 : ∠2 = 2 : 3, 则 ∠1 的度数为_______.
1.1 下列各图中，∠1 和 ∠2 互为邻补角的是（　）
1.2如图，直线 AB，CD 相交于点 O，小明说：“若已知 ∠AOC 的度数，则可以求出 ∠BOC 的度数。”其中蕴含的数学道理是 ______。
1.3 已知 ∠B 与 ∠A 互为邻补角，且 ∠B = 4∠A，那么 ∠B 为 ______°。
考查点 对顶角及其性质
例题2. (★) 如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE 平分 ∠AOD，若 ∠1 = 36°，则 ∠COE 等于（　）
A. 72°　　B. 90°　　C. 108°　　D. 144°
例题2.1. (★) 如图, 直线 a, b 相交于点 O, 如果 ∠1+∠2=60°, 那么 ∠3 的度数为（ ）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
考查点 邻补角与对顶角的综合应用
1. (★) 下列说法正确的有 【 】
① 相等的角是对顶角; ② 相等且互补的两个角都是直角; ③ 一个角的两个邻补角是对顶角; ④ 若两个角不是对顶角, 则这两个角不相等.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2. (★)邻补角的概念及性质）给出下列关于邻补角的表述：
①如果两个角的度数之和为 150°，那么这两个角互为邻补角；
②若 ∠1 + ∠2 = 180°，则这两个角互为邻补角；
③互为邻补角的两个角有一条公共边，并且两个角的度数之和为 180°；
④互为邻补角与互为补角是同一个概念。
其中正确的有（　）
A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个
课堂练习
1. 下列说法正确的是（　）
A. 相等的角是对顶角
B. 邻补角一定互补
C. 互补的两个角一定是邻补角
D. 两个角不是对顶角，则这两个角不相等
2. 如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, OE 是射线.
(1) 图中对顶角有 ______ 对;
(2) 图中邻补角有 ______ 对;
(3) 若 OD 平分 ∠BOE, ∠BOC = 140°, 则 ∠AOE 的度数为 ______.
3. (★★) 如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, OE 把 ∠BOD 分成两部分.
(1) ∠AOD 的对顶角为 ______, ∠AOE 的邻补角为 ______;
（2）若 ∠BOE = 28°, 且 ∠AOC : ∠DOE = 5 : 3, 求 ∠COE 的度数。
5.(★★★) 如图, 直线 AB, CD 相交于点 O, OE 平分 ∠BOD, OF 平分 ∠COE。
（1）若 ∠AOC = 76°, 求 ∠BOF 的度数;
（2)若 ∠BOF = 36°, 求 ∠AOC 的度数;
(3) 若 ∠AOC = α, 请用含 α 的式子表示 ∠BOF 的度数。(直接写出结果)
7.1.2、垂线
知识点梳理
1.垂直定义：两条直线相交，若所成的四个角中有一个角是90°，则称这两条直线互相垂直。垂直是相交的一种特殊情况。记作“⊥”。
2. 基本事实在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
补充：这个点可以在已知直线上，也可以在已知直线外；必须加“同一平面内”，空间几何不成立。
94.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
4.(★)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
关键区分：垂线段是图形（线段），距离是数值（长度）。
易错表述：不能说“垂线段是距离”，只能说“垂线段的长度是距离”。
例题讲解
考查点　垂直的定义及性质
例题1．(★) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO ⊥ CD，垂足为 O．若 ∠1 = 54°，则 ∠2 的度数为　【　　】
A．26°　　　　B．36°
C．44°　　　　D．54°
1.1 小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段 AB 和 CD 相交于点 O，则下列条件中能说明 AB ⊥ CD 的是（　）
A. AO = OB　　B. CO = OD
C. ∠AOC = ∠BOD　　D. ∠AOC = ∠BOC
1.2(★) 若 AB ⊥ a，AC ⊥ a，则 A，B，C 三点共线，理由是____________________________．
考查点　垂线段的定义及性质
例题2(★) 如图，斑马线的作用是引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是　【　　】
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
2.1(★★)如图，点 A，O，B 在同一条直线上，∠COB = 20°。若从点 O 引出一条射线 OD，使 OD ⊥ OC，则 ∠AOD 的度数为 ______。
2.2．(★★) 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OM ⊥ AB。
若 ∠1 = ∠2，试说明：ON ⊥ CD；
（2）若 ∠1 = ∠BOD，求 ∠BOC 的度数。
课堂练习
1．(★★) 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，使含 45° 角的三角尺的最长边与含 30° 角的三角尺的较短直角边垂直，则 ∠1 的度数是　【　　】
A．65°　　　B．70°　　　C．75°　　　D．80°
2.(★★) 点 P 与 ∠A 的位置关系如图所示．
(1) 在图①、图②、图③中，分别以 P 为顶点向 ∠A 的两边作垂线，所形成的夹角记作 ∠α（0°＜∠α＜180°）．
(2) 量一量 ∠α 和 ∠A 的度数，分别写出 ∠α 与 ∠A 的数量关系：
　　在图①中，∠α = __________；
　　在图②中，∠α = __________；
　　在图③中，∠α = __________．
(3) 请你说明据图②所得的结论是正确的．
3．(★★) 如图，A 是直线 m 外一定点，B，C 是直线 m 上的两定点，P 是直线 m 上一动点．已知 AB = 6 cm，BC = 10 cm，当动点 P 移动到点 C 处时，PA 恰好垂直于 AB，且此时 PA = 8 cm，则当动点 P 在直线 m 上移动时，线段 PA 的最小值是　【　　】
A．4.5 cm　　B．6 cm　　C．4.8 cm　　D．2.4 cm
4．(★★) 和一条已知直线的距离等于 3 cm 的点有　【　　】
A．1 个　　　　B．2 个
C．3 个　　　　D．无数个
5．(★★) 如图，在平面内，两条直线 l ，l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p，q 分别是 M 到直线 l 和 l 的距离，则称 (p, q) 是点 M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是 (2, 1) 的点共有______个．
6．(★★★) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分 ∠BOC．
【基础尝试】(1) 如图①，若 ∠AOC = 40°，求 ∠DOE 的度数．
【画图探究】(2) 作射线 OF ⊥ OC，设 ∠AOC = x°，请你利用图②画出图形，探究 ∠AOC 与 ∠EOF 之间的关系，结果用含 x 的代数式表示 ∠EOF．
【拓展运用】(3) 在第 (2) 题中，∠EOF 可能和 ∠DOE 互补吗？请你作出判断并说明理由．
7.1.3、 两条直线被第三条直线所截
知识点梳理
如图，两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截，得到的八个角（简称“三线八角”）中：
两个角分别在两条直线的同一侧（上方或者下方），并且都在第三条直线的同侧（左边或者右边），具有这种位置关系的一对角叫作同位角．图中的同位角有∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7.
(2) 两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫作内错角．图中的内错角有∠2和∠8，∠3和∠5．
(3) 两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角．图中的同旁内角有∠2和∠5，∠3和∠8．
例题讲解
例题1．(★★) 如图，与 ∠B 是同旁内角的角有　【　　】
A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个
1.1．(★★)(1) 如图①，∠1 和 ∠B 是直线 ______ 和直线 ______ 被直线 ______ 所截而成的 ______ 角；∠A 和 ∠1 是直线 ______ 和直线 ______ 被直线 ______ 所截而成的 ______ 角；∠1 与 ∠2 是直线 ______ 和直线 ______ 被直线 ______ 所截而成的 ______ 角．
(2) 如图②，从标有数字的角中找出：直线 AD，BC 被直线 BD 所截而成的内错角是 ______；直线 AD，BD 被直线 AB 所截而成的同位角是 ______；直线 BC，BD 被直线 CD 所截而成的同旁内角是 ______．
课堂练习
1．(★) 如图，∠CDB 与 ∠DBE 是同旁内角，它们是由（　）
A. 直线 CD，AB 被直线 BD 所截形成的
B. 直线 AD，BC 被直线 AE 所截形成的
C. 直线 DC，AB 被直线 AD 所截形成的
D. 直线 DC，AB 被直线 BC 所截形成的
2．(★) 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，下列说法错误的是　【　　】
A．∠1 与 ∠2 是同旁内角　　B．∠1 与 ∠5 是对顶角
C．∠2 与 ∠5 是内错角　　　D．∠1 与 ∠3 是同位角
3．(★★) 如图，∠1 和 ∠2 是直线 ______ 与直线 ______ 被直线 ______ 所截得到的 ______ 角．∠1 的内错角有 ______ 个，∠3 的同位角有 ______ 个．
4．(★★) 如图，若 ∠1 = ∠2，请你说明下列各对角的数量关系，能说明理由的尽量说明理由．
∠3 和 ∠4；　　
∠2 和 ∠3；　　
(3） ∠3 和 ∠5．
课后练习
7.1.1 相交线
1.（对顶角、邻补角的概念）(2022 广西钦州四中月考) 下列说法中错误的是（） A. 同一个角的两个邻补角是对顶角 B. 对顶角相等，相等的角是对顶角 C. 对顶角的平分线在一条直线上 D. ∠α 的补角与∠α 的和是 180°
2.（邻补角的概念及性质）给出下列关于邻补角的表述： ①如果两个角的度数之和为 150°，那么这两个角互为邻补角； ②若∠1+∠2=180°，则这两个角互为邻补角； ③互为邻补角的两个角有一条公共边，并且两个角的度数之和为 180°； ④互为邻补角与互为补角是同一个概念。 其中正确的有（） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3.（对顶角的概念）如图所示，∠1 和∠2 是对顶角的图形共有（）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
5.（对顶角、邻补角的性质）如图，直线 AB,CD 交于点 O，OE 平分∠AOD，若∠1=36°，则∠COE （ ）
A.72° B.90° C.108° D.144°
96.如图，l ,l ,l 交于点 O，∠1=∠2，∠3:∠1=8:1，则∠4 的度数是______。
（角平分线，相交线）(2022 陕西咸阳渭城区期中) 将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，直线 AB,CD 相交于点 O，OE,OF 为射线，OE 平分∠AOF，∠COE=90°。试说明：∠FOB=2∠AOC。 解：因为 OE 平分∠AOF， 所以∠AOE=∠EOF.() 因为∠COE=90°， 所以∠AOC+∠AOE=90°. 因为直线 AB,CD 相交于点 O， 所以∠EOD=180° ∠COE=90°， 所以∠EOF+∠FOD=90°. 所以∠AOC=________(). 因为直线 AB,CD 相交于点 O， 所以____=____(______________)， 所以∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC。
7.（相交线中的角度计算）如图，直线 AB 与 CD 交于点 O，OE 平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF 的度数。
7.1.2 垂线
1.（点到直线的距离，垂线段、垂直的定义）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，结论有：①BC 与 AC 互相垂直； ②AC 与 CD 互相垂直； ③点 A 到 BC 的垂线段是线段 BC； ④点 C 到 AB 的垂线段是线段 CD； ⑤线段 BC 是点 B 到 AC 的距离； ⑥线段 AC 的长度是点 A 到 BC 的距离。正确的有（）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2.（点到直线的距离）(2022 河北石家庄新华区模拟) 到直线 l 的距离等于 5 cm 的点有（） A.0 个 B.1 个 C. 无数个 D. 无法确定
3.“玉兔” 在月球表面行走的动力主要来自于太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上。某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点 A 逆时针旋转的最小角度为（）
A.44° B.46° C.36° D.54°
（实际应用）如图所示，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M,N 分别是位于公路 AB 两侧的学校，设汽车行驶到点 P 位置时，离学校 M 最近，行驶到点 Q 位置时，离学校 N 最近，请你在 AB 上分别画出 P,Q 两点的位置，并写出找到点 P,Q 的理论依据。
（利用垂直求角度）已知：如图，直线 AB,CD 相交于点 O，OF⊥AB，垂足为 O，且 OF 平分∠COE，若∠BOC:∠BOD=5:1.
求∠AOC 的度数；
(2) 求∠EOF 的度数。
6.（利用垂直求角度，垂直的证明）(2022 湖南长沙期中) 如图，已知直线 AB,CD 相交于点 O，OE,OF 为射线，OE 平分∠AOC.
(1) 若∠AOE=25°，求∠BOD 的度数.
(2) 若∠AOE=α，且∠DOF ∠AOE=90°，试说明 OF⊥OE。
7.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1.（识别位置角）如图，直线 AD,BE 被直线 BF 和 AC 所截，下面哪个选项中的三个角分别是∠1 的同位角、∠2 的同旁内角和∠3 的内错角（）
A.∠2,∠3,∠6 B.∠2,∠6,∠4 C.∠4,∠3,∠2 D.∠4,∠6,∠2
2.（识别位置角）如图，图中同位角的对数、内错角的对数、同旁内角的对数分别是（）
A.10,8,4 B.11,7,5 C.12,6,6 D.13,5,7
3.（角度计算）如图，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3 的同位角等于______，∠3 的内错角等于______，∠3 的同旁内角等于______.
4.（识别 “三线”）如图，根据图形填空： (1)∠FAD 和∠___是___与___被___所截形成的同位角； (2)∠FAC 和∠___是___与___被___所截形成的同位角； (3)∠CAD 和∠___是___与___被___所截形成的内错角； (4)∠FAC 和∠___是___与___被___所截形成的内错角； (5)∠BAD 和∠___是___与___被___所截形成的同旁内角； (6)∠CAD 和∠___与___被___所截形成的同旁内角.
5.（规律探究）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想. (1) 如图①，直线 l ,l 被直线 l 所截，在这个基本图形中，形成了____对同旁内角. (2) 如图②，平面内三条直线 l ,l ,l 两两相交，交点分别为 A,B,C，图中一共有____对同旁内角. (3) 平面内四条直线两两相交，最多可以形成____对同旁内角. (4) 平面内 n 条直线两两相交，最多可以形成________对同旁内角.
7.1 相交线 参考答案与解析
（人教版七年级下册·第七章 相交线与平行线）
7.1.1 相交线
【例如】
∠AOC 的对顶角是 ∠BOD；∠AOD 的对顶角是 ∠BOC；∠BOD 的邻补角是 ∠AOD 和 ∠BOC。
例题讲解
例题1：∠1 的邻补角为 ∠2 和 ∠4；∠1 的度数为 72°。
解析：∠1 与 ∠2 互为邻补角，故 ∠1＋∠2＝180°。又 ∠1∶∠2＝2∶3，所以 ∠1＝180°×2/5＝72°。
1.1 答案：B。
解析：邻补角须有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线（两角和为 180°）。只有 B 满足。
1.2 答案：邻补角互补（互为邻补角的两个角和为 180°）。
1.3 答案：144°。
解析：∠A＋∠B＝180°，∠B＝4∠A，得 5∠A＝180°，∠A＝36°，故 ∠B＝144°。
例题2：答案 C（108°）。
解析：∠1＝∠BOD＝36°，所以 ∠AOD＝180°－36°＝144°。OE 平分 ∠AOD，得 ∠EOD＝72°。因 C、O、D 共线，∠COE＝180°－∠EOD＝180°－72°＝108°。
例题2.1：答案 A（150°）。
解析：∠1 与 ∠2 是对顶角，∠1＝∠2，由 ∠1＋∠2＝60° 得 ∠1＝30°。∠3 与 ∠1 互补，∠3＝180°－30°＝150°。
考查点 邻补角与对顶角的综合应用
1. 答案：B。
解析：① 错，相等的角不一定是对顶角；② 对；③ 对，一个角的两个邻补角互为对顶角；④ 错。共 2 个正确。
2. 答案：A（1 个）。
解析：只有 ③ 正确。①② 缺少“有一条公共边、另一边互为反向延长线”的条件；④ 邻补角与补角不是同一概念。
课堂练习
1. 答案：B（邻补角一定互补）。
2. (1) 2 对；(2) 6 对；(3) 100°。
解析(3)：由 ∠BOC＝140° 得 ∠BOD＝180°－140°＝40°。OD 平分 ∠BOE，所以 ∠DOE＝∠BOD＝40°，∠BOE＝80°。因 A、O、B 共线，∠AOE＝180°－∠BOE＝100°。
3. (1) ∠AOD 的对顶角为 ∠BOC；∠AOE 的邻补角为 ∠BOE。
(2) 设 ∠AOC＝5k，∠DOE＝3k。因 ∠AOC＝∠BOD（对顶角），且 ∠BOD＝∠BOE＋∠DOE＝28°＋3k，所以 5k＝28°＋3k，k＝14°，∠DOE＝42°。因 C、O、D 共线，∠COE＝180°－∠DOE＝138°。
5. (1) 33°；(2) 72°；(3) ∠BOF＝90°－3α/4。
解析(1)：∠BOD＝∠AOC＝76°，OE 平分得 ∠EOD＝38°，∠COE＝180°－38°＝142°，OF 平分 ∠COE 得 ∠COF＝71°，又 ∠BOC＝104°，故 ∠BOF＝∠BOC－∠COF＝33°。
解析(2)(3)：设 ∠BOE＝x，可推得 ∠BOF＝90°－3x/2，而 ∠AOC＝2x。故 (2) 中 36°＝90°－3x/2 得 x＝36°，∠AOC＝2x＝72°；(3) 中 α＝2x，∠BOF＝90°－3α/4。
7.1.2 垂线
例题讲解
例题1：答案 B（36°）。
解析：∠1＝∠EOB＝54°，所以 ∠EOA＝180°－54°＝126°。因 EO⊥CD，∠EOC＝90°，故 ∠2＝∠AOC＝∠EOA－∠EOC＝126°－90°＝36°。
1.1 答案：D（∠AOC＝∠BOC）。
解析：∠AOC 与 ∠BOC 是邻补角，和为 180°；若二者相等则各为 90°，即 AB⊥CD。
1.2 答案：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
例题2：答案 B（垂线段最短）。
2.1 答案：110° 或 70°。
解析：OD⊥OC，∠COD＝90°。若 OD 在 ∠BOC 外侧，∠AOD＝180°－20°－90°＝70°；若 OD 在另一侧，∠AOD＝90°＋20°＝110°。
2.2 (1) 因 OM⊥AB，∠AOM＝∠BOM＝90°，即 ∠1＋∠AOC＝90°。若 ∠1＝∠2，则 ∠2＋∠AOC＝90°，即 ∠CON＝90°，故 ON⊥CD。
(2) 因 OM⊥AB，∠1＋∠AOC＝90°。若 ∠1＝∠BOD，而 ∠BOD＝∠AOC（对顶角），所以 2∠1＝90°，∠1＝45°，∠AOC＝45°，∠BOC＝180°－45°＝135°。
课堂练习
1. 答案：C（75°）。
2. (2) 图①：∠α＝180°－∠A；图②：∠α＝∠A；图③：∠α＝180°－∠A。
(3) 以图②为例：以 P 为顶点作两边垂线，两条垂线与 ∠A 的两边构成含两个直角的图形，利用“同角的余角相等”（或四边形内角和 360°），可得 ∠α＝∠A。
3. 答案：C（4.8 cm）。
解析：当 P 在 C 时 PA⊥AB，AC＝8，AB＝6，BC＝10（直角三角形）。点 A 到直线 m 的垂线段最短，即 PA 的最小值。由等面积： ·AB·AC＝ ·BC·h，得 h＝6×8÷10＝4.8 cm。
4. 答案：D（无数个）。
解析：到已知直线距离等于 3 cm 的点分布在直线两侧的两条平行线上，有无数个。
5. 答案：4 个。
解析：到 l 距离为 2 的点在两条平行线上，到 l 距离为 1 的点在另两条平行线上，两组线最多交于 4 个点。
6. (1) ∠BOC＝180°－40°＝140°，OE 平分 ∠BOC 得 ∠COE＝70°，∠DOE＝180°－70°＝110°。
(2) ∠EOF＝x/2 或 180°－x/2（OF⊥OC 有两种位置，对应两种结果）。
(3) 可能。当 ∠EOF＝x/2 时，∠DOE＝90°＋x/2，令二者之和为 180°，解得 x＝90°，即当 ∠AOC＝90° 时 ∠EOF 与 ∠DOE 互补。
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
例题讲解
例题1：答案 C（3 个）。
解析：与 ∠B 成同旁内角的角有 ∠DAB、∠BAC、∠C，共 3 个。
1.1 (1) ∠1 和 ∠B 是直线 DE 与 BC 被直线 AB 所截而成的同位角；∠A 和 ∠1 是直线 DE 与 AC 被直线 AB 所截而成的同位角；∠1 与 ∠2 是直线 AC 与 BC 被直线 DE 所截而成的同位角。
(2) 直线 AD、BC 被 BD 所截的内错角是 ∠3 与 ∠4；直线 AD、BD 被 AB 所截的同位角是 ∠1 与 ∠2；直线 BC、BD 被 CD 所截的同旁内角是 ∠4 与 ∠C（∠BCD）。
课堂练习
1. 答案：A（直线 CD、AB 被直线 BD 所截形成的）。
2. 答案：D（∠1 与 ∠3 是同位角说法错误，应为对顶角关系不对应）。
3. ∠1 和 ∠2 是直线 AB 与直线 CD 被直线 EF 所截得到的同位角；∠1 的内错角有 1 个，∠3 的同位角有 1 个。
4. 因 ∠1＝∠2，所以两直线平行。
(1) ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）；(2) ∠2＝∠3（等量代换）；(3) ∠3＋∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。
课后练习
7.1.1 相交线
1. 答案：B（“相等的角是对顶角”错误）。
2. 答案：A（1 个，只有③正确）。
3. 答案：B（1 个，只有图③中 ∠1 与 ∠2 两边互为反向延长线）。
5. 答案：C（108°，与例题2相同）。
6. 答案：∠4＝36°。
解析：设 ∠1＝∠2＝x，则 ∠3＝8x。∠4 与 ∠1＋∠2 为对顶角，∠4＝2x，且 ∠3＋∠4＝180°，得 8x＋2x＝180°，x＝18°，∠4＝2x＝36°。
6.（角平分线填空）
∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）；∠BOD＝∠AOC（对顶角相等）。
7. ∠BOF＝72°。
解析：∠BOD＝∠AOC＝36°，OE 平分 ∠BOD 得 ∠BOE＝18°。又 ∠EOF＝90°，所以 ∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝90°－18°＝72°。
7.1.2 垂线
1. 答案：B（正确的有 3 个：①④⑥）。
解析：②中 AC 与 CD 不一定垂直；③点 A 到 BC 的垂线段是 AC 而非 BC；⑤“线段 BC 是距离”表述错误，应为“BC 的长度是距离”。
2. 答案：C（无数个）。
3. 答案：A（44°）。
解析：太阳光线与光板当前夹角为 134°，要垂直照射需使夹角为 90°，故逆时针最小旋转 134°－90°＝44°。
4. 分别过点 M、N 作公路 AB 的垂线，垂足即为 P、Q。理论依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
5. (1) ∠BOC＋∠BOD＝180°，∠BOC∶∠BOD＝5∶1，得 ∠BOD＝30°，∠AOC＝∠BOD＝30°（对顶角）。
(2) OF⊥AB 得 ∠AOF＝90°。由 ∠AOC＝30°、OF 平分 ∠COE，可求得 ∠EOF＝60°。
6. (1) OE 平分 ∠AOC，∠AOC＝2∠AOE＝50°，∠BOD＝∠AOC＝50°。
(2) 设 ∠AOE＝α，则 ∠AOC＝2α，∠COE＝α，∠EOD＝180°－∠COE＝180°－α。由 ∠DOF－∠AOE＝90° 得 ∠DOF＝90°＋α。因 OF 与 OE 分居 OD 两侧，∠EOF＝360°－∠EOD－∠DOF＝360°－(180°－α)－(90°＋α)＝90°，故 OF⊥OE。
7.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1. 答案：D（∠4、∠6、∠2）。
2. 答案：C（同位角 12 对、内错角 6 对、同旁内角 6 对）。
解析：三条直线两两相交构成 3 个“三线八角”基本图，每个含 4 对同位角、2 对内错角、2 对同旁内角。
3. ∠3 的同位角等于 80°，∠3 的内错角等于 80°，∠3 的同旁内角等于 100°。
解析：∠2＝100°，其邻补角为 80°；由同位角、内错角、同旁内角与 ∠2 的位置关系可得上述结果。
4.（识别“三线”）
(1) ∠FAD 与 ∠B 是 AD 与 BC 被 FB 所截形成的同位角；
(2) ∠FAC 与 ∠C 是 AC 与 … 被 FC 所截形成的同位角（以图中字母对应填写）；
(3) ∠CAD 与 ∠C 是 AD 与 BC 被 AC 所截形成的内错角；
(4) ∠FAC 与 ∠B 是 AF 与 BC 被 AB 所截形成的内错角；
(5) ∠BAD 与 ∠B 是 AD 与 BC 被 AB 所截形成的同旁内角；
(6) ∠CAD 与 ∠C 是 AD 与 BC 被 AC 所截形成的同旁内角。（请按图中实际字母核对填写）
5. (1) 2 对；(2) 6 对；(3) 24 对；(4) n(n－1)(n－2) 对。
解析：每选定一条直线作截线、另两条被截即得一个基本图，含 2 对同旁内角。n 条直线共有 n·C(n－1,2)＝n(n－1)(n－2)/2 个基本图，故同旁内角最多 n(n－1)(n－2) 对。代入 n＝3 得 6，n＝4 得 24。

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