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陕西省榆林市府谷县2024—2025学年下学期期末质量抽样监测 七年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．对顶角相等
C．等角的余角互补 D．两个锐角的和是钝角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，则该命题是假命题，故A不符合题意；
B、对顶角相等，则该命题是真命题，故B符合题意；
C、等角的余角相等，则该命题是假命题，故C不符合题意；D、两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角，则该命题是假命题，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查真假命题的判断，需要逐个分析每个选项对应的结论是否正确.
2．某县有名学生参加考试，为了解考试情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是（　　）
A．名学生的成绩 B．所抽取得名学生的成绩
C． D．
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，
∴本次调查的样本容量为，
故答案为：D．
【分析】本题考查样本容量的概念，样本容量是指抽样得到的样本中包含的个体数量，这一概念没有单位，只要依据定义判断即可.
3．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点，若点在第一象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∴在 第二象限，
故答案为：B．
【分析】先根据第一象限内点的坐标特点得到，，再据此判断点横纵坐标的符号，最后根据象限特征确定点所在的象限即可.
4．下列各数中小于3的无理数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，2是整数，属于有理数，不满足无理数的要求，故A不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不满足无理数的要求，故B不符合题意；
C、，同时属于无理数，故C符合题意；
D、，虽然它属于无理数，但是它的数值大于3，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义，也就是无限不循环小数才是无理数，再结合数值的大小比较，逐个判断每个选项即可得到答案.
5．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】设该班男生有人，女生有人，然后根据“全班一共37名学生以及共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本”可列出二元一次方程组得到答案.
6．某公司近年来的销售收入情况如图所示：
请你根据趋势图预测该公司2025年的销售收入为（　　）
A．75万元 B．80万元 C．85万元 D．94万元
【答案】D
【知识点】趋势图
【解析】【解答】解：根据题意，可知该公司近年来的销售收入逐年递增，
∴符合上述规律的2025年销售收入为94万元，
故答案为：D．
【分析】销售收入随着年份的增加呈现逐步增长的趋势，结合已知点的分布规律来看，2025年对应的销售收入应该处于90万元到100万元之间，据此可得答案.
7．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，
∵不等式的解都是不等式的解，
∴，
故答案为：A．
【分析】先对不等式进行求解，然后再根据的解都是不等式，最后再根据交集的性质，即可求出m的取值范围
8．如图，直线和相交于点，，将分成的两个角．若较小角，则下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，将分成的两个角，
，故D选项错误；
，
，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
故选：C．
【分析】由将分成的两个角，得，代入计算的值；由得，再根据角的和差得，代入计算；根据角的和差得代入计算；由，代入计算．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．调查全国中学生对人工智能的了解情况时，最适合采取的调查方式是　 　调查．（填“全面”或“抽样”）
【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本次调查的对象是全国中学生对人工智能的了解情况，全国中学生的总人数很多，调查范围过大，因此适合选择抽样调查，
故答案为：抽样．
【分析】本题考查普查（全面调查）与抽样调查的区别：全面调查得到的结论更为准确，不过需要耗费更多的人力、物力与时间，抽样调查得到的结果是近似估计，适合调查范围大、成本要求高的情况，结合调查场景分析即可.
10．若是方程的一组解，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
∴，
∴，故答案为：6.
【分析】只需要将方程的解代入原方程，整理后即可得到结果.
11．已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出方程，解方程即可求出的值．
12．如果关于的不等式组的解集为，那么等于　 　．
【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得：，
，
故答案为：0．
【分析】先解不等式组，即用字母表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母的一元一次方程求出字母的值，再代入所求代数式中即可求解．
13．如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部做射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确；
②∵的平分线与的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据内错角相等，两直线平行判断①正确；根据角平分线定义以及平行线性质得到，可判断②正确；根据，，可判断③错误；根据两直线平行，内错角相等得到，结合，可判断④正确.
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算出算术平方根、立方根的结果，同时完成绝对值的化简，接着计算乘法部分，最后通过加减法计算得到最终答案.
15．解方程组：
【答案】解：
将②代入①中得：，
解得：，
将代入②中得：，
解得：，
∴原方程组的解为.

【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①中求出的值，然后将的值代入②中求出的值.
16．解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”，来确定这个不等式组的最终解集.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，．四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．请你画出四边形（点、、的对应点分别是点、、）．
【答案】解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】根据点的对应点的坐标为可知四边形需要向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到平移后的四边形，据此依次在网格中找到点，再顺次连接对应点即可得到所求四边形.
18．如图，在三角形中，，平分交于点，平分交于点，延长至点，连接，，求证：．
【答案】证明：∵平分交于点，平分交于点，
，，
，
，
又，
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义以及题目给出的条件，可推导出，再结合已知条件，通过等量代换可得，最后根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明我们需要的结论成立.
19．代数式 的值不大于代数式 的值，求x的最大整数值．
【答案】解：∵代数式的值不大于代数式的值，
∴，
解得，
∴x的最大整数值为．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先根据题意列不等式，根据不等式的性质：不等式两边同时加 / 减同一个数，不等号方向不变；两边同乘 / 除以正数，不等号方向不变；求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可．
20．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，连接．若三角形的周长为13，，求四边形的周长．
【答案】解：∵将三角形沿方向平移得到三角形，且，
，，
三角形的周长为13，
，
∴，
四边形的周长为：．
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】先根据平移的性质得到对应线段相等关系：，，再结合三角形周长公式推导出，最后根据推导结果计算出所求四边形的周长即可.
21．求出下列等式中的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）直接根据平方根的定义和性质对方程变形，即可得到方程的解；
（2）直接根据立方根的定义和性质对方程变形，即可得到方程的解.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
22．中国古代六艺——礼、乐、射、御、书、数，作为培养人们全面素质和人格修养的重要途径，更是值得我们深入了解和传承．某校组织七年级800名学生参加“六艺”知识竞赛，并从中随机抽取部分学生的成绩（成绩为整数）进行统计分析，得到如下统计表和统计图：
分组段 频数 百分比
16
30
50
c
24
（1）计算：表中________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若竞赛成绩超过80分为优秀，估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有多少名？
【答案】（1）
（2）解：总人数为（名），
∴组的人数为（名），
∴补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：（名），
估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有416名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次抽取的总人数为（名），
，
故答案为：.
【分析】（1）我们可以利用分组的人数和它对应的百分比，求出本次抽取的总人数，然后用分组的人数除以总人数再乘以100%，就能得到的值；
（2）先算出分组的人数，然后补全频数分布直方图；
（3）用七年级的总人数800乘样本里成绩达到优秀的人数占样本的比，就可以估计出全校七年级成绩优秀的人数.
（1）解：抽取人数为（名），
；
（2）解：总人数为（名），
组的人数为（名），
补全图形如下：
（3）解：（名）．
估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有416名．
23．在平面直角坐标系中，已知点为第四象限内一点．
（1）点到轴的距离为，求点的坐标；
（2）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求整数取值的个数．
【答案】（1）解：点在第四象限，点到轴的距离为，
，
解得：，
，，
点的坐标为．
（2）解：点在第四象限，
，
解得，
整数有，两个，
当点是整点时，取值的个数是个．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；点的坐标
【解析】【分析】（1）根据点在第四象限，点到轴的距离为，得到，求出m的值，带入 即可得到答案；
（2）根据题意列不等式组，根据“ 大大取大，小小取小， 大小小大中间找，大大小小无解了 ”得到解不等式组解集，即可得到答案.
（1）解：点在第四象限，点到轴的距离为，
，
解得：，
，，
点的坐标为．
（2）解：点在第四象限，
，
解得，
整数有，两个，
当点是整点时，取值的个数是个．
24．对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值．
【答案】解：根据题意，得，
①②得：，
解得：，
把代入②中，得，
解得：，
∴方程组的解为，
∵方程组的解满足方程，
，
解得：．
【知识点】一元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先根据题目给出的新定义规则列出对应的二元一次方程组，之后用加减消元法解这个方程组，得到与，最后将和的值代入方程中，解方程即可求出参数的值.
25．某航模店计划购进、两款飞机模型共200个，两款飞机模型的售价、进价如表所示：
　 进价 售价
模型 20元 30元
模型 30元 45元
（1）若购进模型的数量不超过模型数量的2倍，则该航模店至少购进多少个款飞机模型？
（2）已知模型的进价上调3元，模型的进价不变，且两种模型的售价均不变，若限定售出模型所获得的利润不少于模型所获得的利润，则该航模店至少购进多少个款飞机模型？
【答案】（1）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
∴该航模店至少购进67个款飞机模型；
（2）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的最小值为91，
∴该航模店至少购进91个款飞机模型．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，然后结合“购进款模型的数量不超过款模型数量的2倍”这一条件列出不等式，解不等式再取的最小正整数解即可；
（2）设航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，然后结合“售出款模型获得的总利润不少于款模型获得的总利润”这一条件列出不等式，解不等式再取的最小正整数解即可.
（1）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最小值为67．
答：该航模店至少购进67个款飞机模型．
（2）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为91．
答：该航模店至少购进91个款飞机模型．
26．【问题情境】
如图，直线，点是直线、之间一点，点、分别在直线、上，连接、，且．
【问题探究】
（1）如图1，过点作，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，延长至点，点在直线上，连接交于点，点在线段上，连接，过点作，已知，，求与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据平行公理的推论可以得到，然后根据平行线的性质可推出，，再求出，将该式代入中，即可得证结论；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，从而得到，然后结合题目条件得到，进而进行等量代换得到，据此即可得到.
1 / 1陕西省榆林市府谷县2024—2025学年下学期期末质量抽样监测 七年级数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．对顶角相等
C．等角的余角互补 D．两个锐角的和是钝角
2．某县有名学生参加考试，为了解考试情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是（　　）
A．名学生的成绩 B．所抽取得名学生的成绩
C． D．
3．某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点，若点在第一象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列各数中小于3的无理数为（　　）
A． B． C． D．
5．某班37名学生在爱心图书捐赠活动中共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本，设该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的（　　）
A． B．
C． D．
6．某公司近年来的销售收入情况如图所示：
请你根据趋势图预测该公司2025年的销售收入为（　　）
A．75万元 B．80万元 C．85万元 D．94万元
7．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，直线和相交于点，，将分成的两个角．若较小角，则下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．调查全国中学生对人工智能的了解情况时，最适合采取的调查方式是　 　调查．（填“全面”或“抽样”）
10．若是方程的一组解，则的值是　 　．
11．已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为　 　．
12．如果关于的不等式组的解集为，那么等于　 　．
13．如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部做射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解方程组：
16．解不等式组：
17．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，．四边形经过平移后得到四边形，点的对应点的坐标为．请你画出四边形（点、、的对应点分别是点、、）．
18．如图，在三角形中，，平分交于点，平分交于点，延长至点，连接，，求证：．
19．代数式 的值不大于代数式 的值，求x的最大整数值．
20．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，连接．若三角形的周长为13，，求四边形的周长．
21．求出下列等式中的值：
（1）；
（2）．
22．中国古代六艺——礼、乐、射、御、书、数，作为培养人们全面素质和人格修养的重要途径，更是值得我们深入了解和传承．某校组织七年级800名学生参加“六艺”知识竞赛，并从中随机抽取部分学生的成绩（成绩为整数）进行统计分析，得到如下统计表和统计图：
分组段 频数 百分比
16
30
50
c
24
（1）计算：表中________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若竞赛成绩超过80分为优秀，估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有多少名？
23．在平面直角坐标系中，已知点为第四象限内一点．
（1）点到轴的距离为，求点的坐标；
（2）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．当点P是整点时，求整数取值的个数．
24．对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值．
25．某航模店计划购进、两款飞机模型共200个，两款飞机模型的售价、进价如表所示：
　 进价 售价
模型 20元 30元
模型 30元 45元
（1）若购进模型的数量不超过模型数量的2倍，则该航模店至少购进多少个款飞机模型？
（2）已知模型的进价上调3元，模型的进价不变，且两种模型的售价均不变，若限定售出模型所获得的利润不少于模型所获得的利润，则该航模店至少购进多少个款飞机模型？
26．【问题情境】
如图，直线，点是直线、之间一点，点、分别在直线、上，连接、，且．
【问题探究】
（1）如图1，过点作，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，延长至点，点在直线上，连接交于点，点在线段上，连接，过点作，已知，，求与之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，则该命题是假命题，故A不符合题意；
B、对顶角相等，则该命题是真命题，故B符合题意；
C、等角的余角相等，则该命题是假命题，故C不符合题意；D、两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角，则该命题是假命题，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查真假命题的判断，需要逐个分析每个选项对应的结论是否正确.
2．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，
∴本次调查的样本容量为，
故答案为：D．
【分析】本题考查样本容量的概念，样本容量是指抽样得到的样本中包含的个体数量，这一概念没有单位，只要依据定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∴在 第二象限，
故答案为：B．
【分析】先根据第一象限内点的坐标特点得到，，再据此判断点横纵坐标的符号，最后根据象限特征确定点所在的象限即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，2是整数，属于有理数，不满足无理数的要求，故A不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不满足无理数的要求，故B不符合题意；
C、，同时属于无理数，故C符合题意；
D、，虽然它属于无理数，但是它的数值大于3，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义，也就是无限不循环小数才是无理数，再结合数值的大小比较，逐个判断每个选项即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】设该班男生有人，女生有人，然后根据“全班一共37名学生以及共捐92本书，其中男生平均每人捐3本，女生平均每人捐2本”可列出二元一次方程组得到答案.
6．【答案】D
【知识点】趋势图
【解析】【解答】解：根据题意，可知该公司近年来的销售收入逐年递增，
∴符合上述规律的2025年销售收入为94万元，
故答案为：D．
【分析】销售收入随着年份的增加呈现逐步增长的趋势，结合已知点的分布规律来看，2025年对应的销售收入应该处于90万元到100万元之间，据此可得答案.
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，
∵不等式的解都是不等式的解，
∴，
故答案为：A．
【分析】先对不等式进行求解，然后再根据的解都是不等式，最后再根据交集的性质，即可求出m的取值范围
8．【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：，将分成的两个角，
，故D选项错误；
，
，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
故选：C．
【分析】由将分成的两个角，得，代入计算的值；由得，再根据角的和差得，代入计算；根据角的和差得代入计算；由，代入计算．
9．【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本次调查的对象是全国中学生对人工智能的了解情况，全国中学生的总人数很多，调查范围过大，因此适合选择抽样调查，
故答案为：抽样．
【分析】本题考查普查（全面调查）与抽样调查的区别：全面调查得到的结论更为准确，不过需要耗费更多的人力、物力与时间，抽样调查得到的结果是近似估计，适合调查范围大、成本要求高的情况，结合调查场景分析即可.
10．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的一组解，
∴，
∴，故答案为：6.
【分析】只需要将方程的解代入原方程，整理后即可得到结果.
11．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出方程，解方程即可求出的值．
12．【答案】0
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得：，
，
故答案为：0．
【分析】先解不等式组，即用字母表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母的一元一次方程求出字母的值，再代入所求代数式中即可求解．
13．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确；
②∵的平分线与的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据内错角相等，两直线平行判断①正确；根据角平分线定义以及平行线性质得到，可判断②正确；根据，，可判断③错误；根据两直线平行，内错角相等得到，结合，可判断④正确.
14．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算出算术平方根、立方根的结果，同时完成绝对值的化简，接着计算乘法部分，最后通过加减法计算得到最终答案.
15．【答案】解：
将②代入①中得：，
解得：，
将代入②中得：，
解得：，
∴原方程组的解为.

【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①中求出的值，然后将的值代入②中求出的值.
16．【答案】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”，来确定这个不等式组的最终解集.
17．【答案】解：如图所示，四边形即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】根据点的对应点的坐标为可知四边形需要向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到平移后的四边形，据此依次在网格中找到点，再顺次连接对应点即可得到所求四边形.
18．【答案】证明：∵平分交于点，平分交于点，
，，
，
，
又，
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义以及题目给出的条件，可推导出，再结合已知条件，通过等量代换可得，最后根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明我们需要的结论成立.
19．【答案】解：∵代数式的值不大于代数式的值，
∴，
解得，
∴x的最大整数值为．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先根据题意列不等式，根据不等式的性质：不等式两边同时加 / 减同一个数，不等号方向不变；两边同乘 / 除以正数，不等号方向不变；求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可．
20．【答案】解：∵将三角形沿方向平移得到三角形，且，
，，
三角形的周长为13，
，
∴，
四边形的周长为：．
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】先根据平移的性质得到对应线段相等关系：，，再结合三角形周长公式推导出，最后根据推导结果计算出所求四边形的周长即可.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）直接根据平方根的定义和性质对方程变形，即可得到方程的解；
（2）直接根据立方根的定义和性质对方程变形，即可得到方程的解.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
22．【答案】（1）
（2）解：总人数为（名），
∴组的人数为（名），
∴补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：（名），
估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有416名．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得本次抽取的总人数为（名），
，
故答案为：.
【分析】（1）我们可以利用分组的人数和它对应的百分比，求出本次抽取的总人数，然后用分组的人数除以总人数再乘以100%，就能得到的值；
（2）先算出分组的人数，然后补全频数分布直方图；
（3）用七年级的总人数800乘样本里成绩达到优秀的人数占样本的比，就可以估计出全校七年级成绩优秀的人数.
（1）解：抽取人数为（名），
；
（2）解：总人数为（名），
组的人数为（名），
补全图形如下：
（3）解：（名）．
估计该校七年级学生中竞赛成绩优秀的学生有416名．
23．【答案】（1）解：点在第四象限，点到轴的距离为，
，
解得：，
，，
点的坐标为．
（2）解：点在第四象限，
，
解得，
整数有，两个，
当点是整点时，取值的个数是个．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；点的坐标
【解析】【分析】（1）根据点在第四象限，点到轴的距离为，得到，求出m的值，带入 即可得到答案；
（2）根据题意列不等式组，根据“ 大大取大，小小取小， 大小小大中间找，大大小小无解了 ”得到解不等式组解集，即可得到答案.
（1）解：点在第四象限，点到轴的距离为，
，
解得：，
，，
点的坐标为．
（2）解：点在第四象限，
，
解得，
整数有，两个，
当点是整点时，取值的个数是个．
24．【答案】解：根据题意，得，
①②得：，
解得：，
把代入②中，得，
解得：，
∴方程组的解为，
∵方程组的解满足方程，
，
解得：．
【知识点】一元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先根据题目给出的新定义规则列出对应的二元一次方程组，之后用加减消元法解这个方程组，得到与，最后将和的值代入方程中，解方程即可求出参数的值.
25．【答案】（1）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
∴该航模店至少购进67个款飞机模型；
（2）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
的最小值为91，
∴该航模店至少购进91个款飞机模型．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，然后结合“购进款模型的数量不超过款模型数量的2倍”这一条件列出不等式，解不等式再取的最小正整数解即可；
（2）设航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，然后结合“售出款模型获得的总利润不少于款模型获得的总利润”这一条件列出不等式，解不等式再取的最小正整数解即可.
（1）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最小值为67．
答：该航模店至少购进67个款飞机模型．
（2）解：设该航模店购进个款飞机模型，则购进个款飞机模型，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为91．
答：该航模店至少购进91个款飞机模型．
26．【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据平行公理的推论可以得到，然后根据平行线的性质可推出，，再求出，将该式代入中，即可得证结论；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，从而得到，然后结合题目条件得到，进而进行等量代换得到，据此即可得到.
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