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浙江省绍兴市五校联考2025-2026学年七年级上学期 数学学科课堂作业调测卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．某地2月8日的最高气温为，最低气温，那么该天温差是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
3．下列两个数互为相反数的是（　　）
A．3和 B．和
C．和 D．和
4．据浙江省统计局统计，2023年上半年全省生产总值为3871700000000元．数3871700000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．若与互为相反数，则的值为（　　）
A．3 B． C．0 D．3或
6．若，，且，那么的值是（　　）
A．1或 B．或 C．或 D．或
7．有理数、在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：
①②③④
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（　　）
A． B． C． D．
9．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
10．数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：　 　．
12． 3.1415精确到百分位的近似数是　 　.
13．绝对值小于3的所有整数的积是　 　.
14．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则　 　．
15．符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：
①，，，，，…；
②，，，，，…．
利用以上规律计算：　 　．
16．如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则点C表示的数是　 　．
三、解答题：（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．请把下列各数的序号填入它所属于的集合大括号里．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
正有理数集合： ，
负整数集合： ，
正分数集合： ，
非负整数集合： ．
18．计算：
（1） （2）
（3） （4）
19．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上表示下列各数：
并把它们用“＜”连接：
20．七年级小莉同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．为庆祝“国庆节”，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b=a×b+2×a．
（1）求（-2） （+3）的值．
（2）求（-3） （-4 ）的值．
21．某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨；
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
22．是不为的有理数，我们把 称为的差倒数如：的差倒数是 ，的差倒数是 已知，是的差倒数，是的差倒数，依此类推．
（1）分别求出、、的值；
（2）计算的值；
（3）请直接写出的值．
23．观察下列等式．
（1）猜想并写出______；
（2）直接写出结果______；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
24．已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”如图，若点表示的数为，有，则称点为点，的“和距离点”．
（1）已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______；
（2）如果点是数轴上点，的“和距离点”，那么点表示的数为______；如果点是数轴上点，的“和距离点”，那么点表示的数为______；
（3）动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：最高气温为，最低气温，那么该天温差是
故答案为：A．
【分析】根据有理数减法法则，用当天的最高气温减去最低气温即可求出当天温差.
2．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，进而根据同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加进行计算可判断A选项；根据异号两数相乘积为负数，再把绝对值相乘进行计算可判断B选项；根据异号两数相除商为负数，再把绝对值相除进行计算可判断C选项；根据同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加进行计算可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A. 3和，不是相反数，不符合题意；
B. ，，和不是相反数，不符合题意；
C. ，，和是相反数，符合题意；
D. ，，和不是相反数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据去括号法则可得-(-3)=3，根据绝对值的性质可得|-3|=3，根据有理数的乘方法则可得(-3)2=9，-32=-9，(-3)3=-27，-33=-27，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选：B．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
5．【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
，
解得，
∴，
故选：A．
【分析】
首先根据互为相反数的两个数和为0，可以得到 ，再结合上述非负数的性质，分别求出a、b的取值，最后就可以计算得到题目要求的结果.
6．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴或，
∴或，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值意义可得a=±2，b=±3，然后根据同号两数相乘积为正可判断出a与b同号，进而确定出a=2，b=3或a=-2，b=-3，最后根据有理数加法法则“同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加”求出a与b的和即可.
7．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
，，，，
正确的是①②，有2个
故答案为：B．
【分析】利用数轴可得到，，再利用有理数的加法、减法、乘法法则依次进行判断，可得到正确结论的个数
8．【答案】B
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次捏合后，拉出的面条根数为：2
第二次捏合后，拉出的面条根数为：4=22
第三次捏合后，拉出的面条根数为：8=23
以此类推，可以得到规律：第n次捏合后，拉出的面条根数为
若要拉出128根面条，则可列等式
对等式变形可得，因此n=7
即捏合到第7次后可拉出128根面条.
故答案为：B．
【分析】先计算出前几次捏合后拉出的面条数量，进而总结出捏合次数和拉出面条根数之间的关系，得到规律：第n次捏合后，拉出的面条根数为2n，最后再根据规律计算目标根数对应的捏合次数即可.
9．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：第一次点A向左移动1个单位长度至点A1，则A1表示的数，；
第二次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，则A2表示的数为；
第三次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，则A3表示的数为；
第四次从点A3向右移动4个单位长度至点A4，则A4表示的数为；
第五次从点A4向左移动5个单位长度至点A5，则A5表示的数为；
．．．；
故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加1，
，
则点所表示的数为：，
故答案为：D．
【分析】根据数轴上的点所表示数的移动规律“左移减，右移加”分别求出前几次移动后点A的对应点所表示的数，从而观察就会得出规律：每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加1，据此即可求出点A2025所表示的数.
10．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则分别表示出、，根据新定义运算法则及有理数乘除法法则计算出，再根据有理数加减法法则求出三部分的和即可.
11．【答案】＞
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，
∴＞
【分析】根据绝对值法比较大小即可求出答案.
12．【答案】3.14
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】解： 3.1415精确到百分位的近似数是3.1415≈3.14，
故答案为3.14。
【分析】求 3.1415精确到百分位的近似数，根据四舍五入的方法就看千分位，由于千分位上的数是1应该舍，从而得出答案。
13．【答案】0
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：绝对值小于3的所有整数有±1，±2，0，
∴1×（-2）×2×（-2）×0=0
故填：0.
【分析】利用数轴，可求出绝对值小于3的所有整数，再求出它们的积。
14．【答案】4
【知识点】有理数的倒数；有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
故答案为：4．
【分析】
根据题意可得：，将所得结果代入待求式计算即可得到答案.
15．【答案】1
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：根据题意可知：，，
则，
故答案为：1．
【分析】
按照题目给出的新运算法则，先计算得到，，再代入待求式子计算，就能得到最终结果.
16．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C表示的数是
①当点在点的右边，如图：
由题意得：
解得：
②当点在点之间，如图：
由题意得：
解得：
故点C表示的数是或
故答案为：或
【分析】本题考查一元一次方程、数轴上两点之间的距离．先画出对应数轴，设点C表示的数是，分两种情况：①当点在点的右边；②当点在点之间；根据数轴图可列出对应的方程，解方程可求出x的值，据此得出点C表示的数．
17．【答案】①②⑥⑧；③；②⑥⑧；①⑤
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：正有理数集合：，
负整数集合：，
正分数集合：，
非负整数集合：．
故答案为：①②⑥⑧；③；②⑥⑧；①⑤.
【分析】有理数按性质符号分为正有理数、负有理数和零，其中正有理数分为正整数与正分数，负有理数分为负整数与负分数；其中正整数与零又叫非负整数，也叫自然数，据此逐一判断归类即可.
18．【答案】解：（1）=4－1－5=3－5=－2；
（2）
=
=1；
（3）
=
=－1+3－3
=－1；
（4）
=
=－12+30－27
=－9
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号）先简化符号，再根据有理数有理数加减运算法则从左至右依次计算即可；
（2）根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算可得答案；
（3）先计算乘方、绝对值内的减法及除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后化简绝对值及计算乘法，最后计算加减法运算得出答案；
（4）利用有理数乘法分配律，用-36与括号内的每一个加数相乘展开括号，再计算乘法，最后计算加减法运算得出答案.
19．【答案】解：，
在数轴上表示为：
∴.
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】先根据相反数和绝对值的性质，将需要化简的数进行化简，然后根据数轴的三要素规范的画出数轴，进而根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的数，然后根据数轴上的点所表示的数，左边的数小于右边的数进行比较即可.
20．【答案】解：（1）由题意可得：
；
（2）由题意可得：
，
∴（-3） （-4 ）
＝
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）按照题目给出的新运算规则，将对应数值代入计算即可；
（2）先根据给定的运算法则计算算式 的第一步，计算得到结果为；再根据新运算规则，计算即可得到最终结果.
21．【答案】（1）解：
，
答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨；
（2）
（3）解：
（元），
答：这6天要付元装卸费．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里存有水泥吨；
【分析】
（1）将所有数据按照有理数加法法则求和，根据结果的正负即可判断相比初始状态的位置，即可得到答案；
（2）用最终位置和初始位置做差，即可得到装卸完后相比初始的距离，得到答案；
（3）分别计算所有装卸货物需要的总重量，再结合单位重量的费用即可计算出总的费用.
（1）解：
，
答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨；
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里存有水泥吨；
（3）解：
（元），
答：这6天要付元装卸费．
22．【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：；
（3）解： ．
【知识点】有理数的倒数；探索数与式的规律
【解析】【解答】（3） 解：，
，
除以等于余，
．
【分析】（1）根据差倒数的定义进行计算即可；
（2）结合（1）的计算结果，依据有理数的加法法则进行计算即可；
（3）当a1=2时，按差倒数定义进行计算，发现结果依次为2、-1、每三个数为一个循环组循环，求出每一个循环组的三个数的和，再用2024除以3求出正好有674个循环组余2，然后求解即可．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：；
（3）解：，
，
除以等于余，
．
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得，，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
【分析】（1） 观察题目给出的等式：等式左边：分子为1，分母为两个相邻整数的乘积，右边是这两个整数的倒数之差，据此求解即可；
（2）根据（1）得到的规律把各加数转化转化为两个分数的差，再进行分数的加减运算即可；
（3）先提取各项公因式，然后将剩下的商式按照（2）的运算方法计算，最后再计算分数乘法即可得出答案；
（4）先提取各项公因式，然后根据有理数乘法法则逆用将商式中各个分数的分母改写成两个连续整数的乘积形式，进而按照（2）的运算方法计算，最后再计算分数乘法即可得出答案.
（1）解：根据题意可得，，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：
．
24．【答案】（1）5；7
（2）或；或2.5
（3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，分情况讨论如下：
（Ⅰ）当时，P在线段上，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
方程无解；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
（Ⅱ）当时，P在线段的延长线上，，，，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，当P点运动2秒或0.5秒或3秒或2.75秒时，A、P、B三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“5和距离点”，
∴；
∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“7和距离点”，
∴；
故答案为：5；7；
（2）解：点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为x，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或3；
点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为m，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或2.5；
故答案为：或3；或2.5；
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值算出AN、BN，然后再根据有理数加法法则计算出AN+BN的和，结合“m和距离点”定义即可求出m的值；
（2）设D表示的数为x，根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值表示出AD、BD，根据A、B的“7和距离点”定义列出方程|-3-x|+|2-x|=7，然后分x≤-3，-3＜x≤2及x＞2三种情况解方程即可；同理求解点D是点A、B的“6和距离点”；
（3）设P运动的时间为t秒，根据数轴上点所表示数的移动规律“左移减，右移加”得点P表示的数为2-2t，根据数轴上两点间的距离公式求出AB=5；然后分类讨论：（Ⅰ）当时，P在线段AB上，若A为PB的“6和距离点”，若P为AB的“6和距离点”，若B为AP的“6和距离点”，分别根据“6和距离点”定义列出方程，求解即可；（Ⅱ）当时，P在线段BA的延长线上，由数轴上任意两点间的距离公式表示出，，，若A为PB的“6和距离点”，若P为AB的“6和距离点”，若B为AP的“6和距离点”， 分别根据“6和距离点”定义列出方程求解，综上，即可得出答案.
（1）解：∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“5和距离点”，
∴；
∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“7和距离点”，
∴；
故答案为：5；7；
（2）解：点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为x，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或3；
点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为m，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或2.5；
故答案为：或3；或2.5；
（3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，
分情况讨论如下：
（Ⅰ）当时，P在线段上，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
方程无解；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
（Ⅱ）当时，P在线段的延长线上，，，，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，当P点运动2秒或0.5秒或3秒或2.75秒时，A、P、B三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”．
1 / 1浙江省绍兴市五校联考2025-2026学年七年级上学期 数学学科课堂作业调测卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．某地2月8日的最高气温为，最低气温，那么该天温差是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：最高气温为，最低气温，那么该天温差是
故答案为：A．
【分析】根据有理数减法法则，用当天的最高气温减去最低气温即可求出当天温差.
2．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，进而根据同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加进行计算可判断A选项；根据异号两数相乘积为负数，再把绝对值相乘进行计算可判断B选项；根据异号两数相除商为负数，再把绝对值相除进行计算可判断C选项；根据同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加进行计算可判断D选项.
3．下列两个数互为相反数的是（　　）
A．3和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A. 3和，不是相反数，不符合题意；
B. ，，和不是相反数，不符合题意；
C. ，，和是相反数，符合题意；
D. ，，和不是相反数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据去括号法则可得-(-3)=3，根据绝对值的性质可得|-3|=3，根据有理数的乘方法则可得(-3)2=9，-32=-9，(-3)3=-27，-33=-27，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
4．据浙江省统计局统计，2023年上半年全省生产总值为3871700000000元．数3871700000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选：B．
【分析】
把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
5．若与互为相反数，则的值为（　　）
A．3 B． C．0 D．3或
【答案】A
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
，
解得，
∴，
故选：A．
【分析】
首先根据互为相反数的两个数和为0，可以得到 ，再结合上述非负数的性质，分别求出a、b的取值，最后就可以计算得到题目要求的结果.
6．若，，且，那么的值是（　　）
A．1或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；求有理数的绝对值的方法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴或，
∴或，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值意义可得a=±2，b=±3，然后根据同号两数相乘积为正可判断出a与b同号，进而确定出a=2，b=3或a=-2，b=-3，最后根据有理数加法法则“同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加”求出a与b的和即可.
7．有理数、在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：
①②③④
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，
，，，，
正确的是①②，有2个
故答案为：B．
【分析】利用数轴可得到，，再利用有理数的加法、减法、乘法法则依次进行判断，可得到正确结论的个数
8．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次捏合后，拉出的面条根数为：2
第二次捏合后，拉出的面条根数为：4=22
第三次捏合后，拉出的面条根数为：8=23
以此类推，可以得到规律：第n次捏合后，拉出的面条根数为
若要拉出128根面条，则可列等式
对等式变形可得，因此n=7
即捏合到第7次后可拉出128根面条.
故答案为：B．
【分析】先计算出前几次捏合后拉出的面条数量，进而总结出捏合次数和拉出面条根数之间的关系，得到规律：第n次捏合后，拉出的面条根数为2n，最后再根据规律计算目标根数对应的捏合次数即可.
9．在数轴上，点所表示的数为，现将点沿数轴做如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：第一次点A向左移动1个单位长度至点A1，则A1表示的数，；
第二次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，则A2表示的数为；
第三次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，则A3表示的数为；
第四次从点A3向右移动4个单位长度至点A4，则A4表示的数为；
第五次从点A4向左移动5个单位长度至点A5，则A5表示的数为；
．．．；
故每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加1，
，
则点所表示的数为：，
故答案为：D．
【分析】根据数轴上的点所表示数的移动规律“左移减，右移加”分别求出前几次移动后点A的对应点所表示的数，从而观察就会得出规律：每移动两次向右移动1个单位长度，序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少1，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加1，据此即可求出点A2025所表示的数.
10．数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则分别表示出、，根据新定义运算法则及有理数乘除法法则计算出，再根据有理数加减法法则求出三部分的和即可.
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：　 　．
【答案】＞
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，
∴＞
【分析】根据绝对值法比较大小即可求出答案.
12． 3.1415精确到百分位的近似数是　 　.
【答案】3.14
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】解： 3.1415精确到百分位的近似数是3.1415≈3.14，
故答案为3.14。
【分析】求 3.1415精确到百分位的近似数，根据四舍五入的方法就看千分位，由于千分位上的数是1应该舍，从而得出答案。
13．绝对值小于3的所有整数的积是　 　.
【答案】0
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：绝对值小于3的所有整数有±1，±2，0，
∴1×（-2）×2×（-2）×0=0
故填：0.
【分析】利用数轴，可求出绝对值小于3的所有整数，再求出它们的积。
14．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则　 　．
【答案】4
【知识点】有理数的倒数；有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
故答案为：4．
【分析】
根据题意可得：，将所得结果代入待求式计算即可得到答案.
15．符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：
①，，，，，…；
②，，，，，…．
利用以上规律计算：　 　．
【答案】1
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：根据题意可知：，，
则，
故答案为：1．
【分析】
按照题目给出的新运算法则，先计算得到，，再代入待求式子计算，就能得到最终结果.
16．如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则点C表示的数是　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C表示的数是
①当点在点的右边，如图：
由题意得：
解得：
②当点在点之间，如图：
由题意得：
解得：
故点C表示的数是或
故答案为：或
【分析】本题考查一元一次方程、数轴上两点之间的距离．先画出对应数轴，设点C表示的数是，分两种情况：①当点在点的右边；②当点在点之间；根据数轴图可列出对应的方程，解方程可求出x的值，据此得出点C表示的数．
三、解答题：（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．请把下列各数的序号填入它所属于的集合大括号里．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．
正有理数集合： ，
负整数集合： ，
正分数集合： ，
非负整数集合： ．
【答案】①②⑥⑧；③；②⑥⑧；①⑤
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：正有理数集合：，
负整数集合：，
正分数集合：，
非负整数集合：．
故答案为：①②⑥⑧；③；②⑥⑧；①⑤.
【分析】有理数按性质符号分为正有理数、负有理数和零，其中正有理数分为正整数与正分数，负有理数分为负整数与负分数；其中正整数与零又叫非负整数，也叫自然数，据此逐一判断归类即可.
18．计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】解：（1）=4－1－5=3－5=－2；
（2）
=
=1；
（3）
=
=－1+3－3
=－1；
（4）
=
=－12+30－27
=－9
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号）先简化符号，再根据有理数有理数加减运算法则从左至右依次计算即可；
（2）根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算可得答案；
（3）先计算乘方、绝对值内的减法及除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后化简绝对值及计算乘法，最后计算加减法运算得出答案；
（4）利用有理数乘法分配律，用-36与括号内的每一个加数相乘展开括号，再计算乘法，最后计算加减法运算得出答案.
19．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上表示下列各数：
并把它们用“＜”连接：
【答案】解：，
在数轴上表示为：
∴.
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】先根据相反数和绝对值的性质，将需要化简的数进行化简，然后根据数轴的三要素规范的画出数轴，进而根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的数，然后根据数轴上的点所表示的数，左边的数小于右边的数进行比较即可.
20．七年级小莉同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．为庆祝“国庆节”，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下：a b=a×b+2×a．
（1）求（-2） （+3）的值．
（2）求（-3） （-4 ）的值．
【答案】解：（1）由题意可得：
；
（2）由题意可得：
，
∴（-3） （-4 ）
＝
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）按照题目给出的新运算规则，将对应数值代入计算即可；
（2）先根据给定的运算法则计算算式 的第一步，计算得到结果为；再根据新运算规则，计算即可得到最终结果.
21．某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨；
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【答案】（1）解：
，
答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨；
（2）
（3）解：
（元），
答：这6天要付元装卸费．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里存有水泥吨；
【分析】
（1）将所有数据按照有理数加法法则求和，根据结果的正负即可判断相比初始状态的位置，即可得到答案；
（2）用最终位置和初始位置做差，即可得到装卸完后相比初始的距离，得到答案；
（3）分别计算所有装卸货物需要的总重量，再结合单位重量的费用即可计算出总的费用.
（1）解：
，
答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨；
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里存有水泥吨；
（3）解：
（元），
答：这6天要付元装卸费．
22．是不为的有理数，我们把 称为的差倒数如：的差倒数是 ，的差倒数是 已知，是的差倒数，是的差倒数，依此类推．
（1）分别求出、、的值；
（2）计算的值；
（3）请直接写出的值．
【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：；
（3）解： ．
【知识点】有理数的倒数；探索数与式的规律
【解析】【解答】（3） 解：，
，
除以等于余，
．
【分析】（1）根据差倒数的定义进行计算即可；
（2）结合（1）的计算结果，依据有理数的加法法则进行计算即可；
（3）当a1=2时，按差倒数定义进行计算，发现结果依次为2、-1、每三个数为一个循环组循环，求出每一个循环组的三个数的和，再用2024除以3求出正好有674个循环组余2，然后求解即可．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：；
（3）解：，
，
除以等于余，
．
23．观察下列等式．
（1）猜想并写出______；
（2）直接写出结果______；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得，，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
【分析】（1） 观察题目给出的等式：等式左边：分子为1，分母为两个相邻整数的乘积，右边是这两个整数的倒数之差，据此求解即可；
（2）根据（1）得到的规律把各加数转化转化为两个分数的差，再进行分数的加减运算即可；
（3）先提取各项公因式，然后将剩下的商式按照（2）的运算方法计算，最后再计算分数乘法即可得出答案；
（4）先提取各项公因式，然后根据有理数乘法法则逆用将商式中各个分数的分母改写成两个连续整数的乘积形式，进而按照（2）的运算方法计算，最后再计算分数乘法即可得出答案.
（1）解：根据题意可得，，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：
．
24．已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”如图，若点表示的数为，有，则称点为点，的“和距离点”．
（1）已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______；
（2）如果点是数轴上点，的“和距离点”，那么点表示的数为______；如果点是数轴上点，的“和距离点”，那么点表示的数为______；
（3）动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”？
【答案】（1）5；7
（2）或；或2.5
（3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，分情况讨论如下：
（Ⅰ）当时，P在线段上，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
方程无解；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
（Ⅱ）当时，P在线段的延长线上，，，，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，当P点运动2秒或0.5秒或3秒或2.75秒时，A、P、B三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“5和距离点”，
∴；
∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“7和距离点”，
∴；
故答案为：5；7；
（2）解：点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为x，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或3；
点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为m，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或2.5；
故答案为：或3；或2.5；
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值算出AN、BN，然后再根据有理数加法法则计算出AN+BN的和，结合“m和距离点”定义即可求出m的值；
（2）设D表示的数为x，根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值表示出AD、BD，根据A、B的“7和距离点”定义列出方程|-3-x|+|2-x|=7，然后分x≤-3，-3＜x≤2及x＞2三种情况解方程即可；同理求解点D是点A、B的“6和距离点”；
（3）设P运动的时间为t秒，根据数轴上点所表示数的移动规律“左移减，右移加”得点P表示的数为2-2t，根据数轴上两点间的距离公式求出AB=5；然后分类讨论：（Ⅰ）当时，P在线段AB上，若A为PB的“6和距离点”，若P为AB的“6和距离点”，若B为AP的“6和距离点”，分别根据“6和距离点”定义列出方程，求解即可；（Ⅱ）当时，P在线段BA的延长线上，由数轴上任意两点间的距离公式表示出，，，若A为PB的“6和距离点”，若P为AB的“6和距离点”，若B为AP的“6和距离点”， 分别根据“6和距离点”定义列出方程求解，综上，即可得出答案.
（1）解：∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“5和距离点”，
∴；
∵点N在数轴上表示的数为，
∴，，
∴，
∴点N为点A，B的“7和距离点”，
∴；
故答案为：5；7；
（2）解：点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为x，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或3；
点是数轴上点，的“和距离点”，设D表示的数为m，
根据题意得，
∴，
当时，，
解得；
当时，，
方程无解；
当时，，
解得；
∴点D表示的数为或2.5；
故答案为：或3；或2.5；
（3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，
分情况讨论如下：
（Ⅰ）当时，P在线段上，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
方程无解；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
（Ⅱ）当时，P在线段的延长线上，，，，
若A为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若P为的“和距离点”，则，
∴，
解得；
若B为的“和距离点”，则，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，当P点运动2秒或0.5秒或3秒或2.75秒时，A、P、B三点中的其中一点是另外两个点的“和距离点”．
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