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四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：的俯视图是
故选：C ．
【分析】结合三视图的定义：俯视图是从物体的正上方观察得到的视图得到对应结果.
2．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当方程可化为．
∴方程必有一根为．
故选：C．
【分析】
根据一元二次方程的根的定义：能让方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的根，利用一元二次方程根的定义就可以完成求解.
3．如图，，，，则的长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．20
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】，
，
即，
解得：，
故选择：B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可以得到比例关系，据此就可以推导出最终结果.
4．如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】首先由，，利用直角三角形两锐角互余得到，再结合四边形是菱形，根据菱形对边平行的性质可得，进而推出，即可完成解答.
5．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【分析】
首先观察一次函数解析式，可知该直线恒过定点，据此可排除不符合这一特征的选项B、选项D，再结合剩余选项A、C中反比例函数图象的位置判断出的符号，进而验证一次函数图象位置，即可得到正确答案.
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】
首先根据两组对边分别平行判定四边形CODE为平行四边形，其次利用矩形对角线相等且互相平分的性质推导出OD=OC，从而判定四边形CODE为菱形，最后根据菱形的周长计算即可.
7．在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为，
点的坐标为或，
即点的坐标为或，
故选：C．
【分析】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，若位似变换是以原点作为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标之比等于k或，结合这个性质进行计算，就可以解决问题.
8．秋冬季节是流感高发期，有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，列方程为，
故答案为：D.
【分析】设设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据“人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感 ”列一元二次方程解题即可.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9． 已知 ， 则 　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知可得到，再利用比例的性质可求出结果.
10．关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】k＞﹣4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣4.
故答案为k＞﹣4.
【分析】根据题意，利用根的判别式列出不等式求解即可。
11．反比例函数的图象经过点、及，则　 　．
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
将点 代入得，
∴ 反比例函数解析式为，
将点 代入得，
解得，
将点 代入得，
解得，
∴．
故答案为：8.
【分析】先设出反比例函数的解析式为，代入已知点计算出的值，再将其余点代入函数解析式，分别求出 和，最终计算得到的结果.
12．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交于点E，F，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据题意可知，，直线是线段的垂直平分线。由勾股定理计算出，进一步可以推出。接着可以证明，根据相似三角形的性质可得比例式，代入已知边长可得，解出的长度后，就能得到最终答案.
13．如图，在边长为10的正方形中放入矩形和正方形，点，分别在边上，且，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是边长为的正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【分析】首先证明，根据相似三角形的性质可以推出，设，结合正方形边长AB=10，可以得到：，，，接下来证明，根据全等三角形对应边相等，可以得到，。最后利用正方形边长BC=10，得到边长等式，解这个方程即可求出a的数值，最终得到题目的答案.
14．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的两个根，
∴，，即，
∴
故答案为：7．
【分析】已知、是方程的两个根，可以得到两个结论：一是两根之和，二是因为m是方程的根，满足方程等式，变形后可得，最后将得到的关系整体代入所求式子计算即可得到结果.
15．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得：，
即，
∵方程组有解，
∴，即，
不等式组，整理得，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
解得，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故答案为：．
【分析】首先对给定的方程组进行整理，可以得到；若方程组存在解，则一次项系数不能为0，即，因此可得；接下来整理题目给出的不等式组，化简后可得；结合该不等式组恰好只有4个整数解，可以得到不等式，通过求解这个不等式就能得到的取值范围，最终就可以得到题目要求的结果.
16．如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
过点M作于点H，
，
，
则图中阴影部分的面积
，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理和直角三角形的性质，求出对应图形的底与高；再利用“阴影部分的面积”这个关系计算得到最终结果.
17．若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是　 　．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是　 　．
【答案】300；854
【知识点】整式的加减运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，
十位数字最小为0，
百位数字最小为3，
当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“嘉数”，即最小的“嘉数”为300；
“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，
∴，即，
，，
，，
是整数，且是整数，
或或，或或，
或或，
当时，或（舍去）或（舍去）；
当时，或或（舍去）；
当时，（舍去）或或（舍去）；
∴或或，
∵“嘉数”N的最大值，则百位数字应最大，
，，时，N最大，最大为854，
故答案为：①300；②
【分析】要得到最小的“嘉数”，遵循这样的思路：要让这个三位数最小，应优先让最高位即百位数字最小，要让百位数字最小，就需要先让十位数字达到最小，按照这个顺序确定十位、百位后，再令个位数字取最小的0，即可得到最小的“嘉数”；对于满足条件的“嘉数”，可以先推导出范围：，同时，再结合题目要求得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案．
18．如图，在菱形中，点是边的中点，是菱形内一动点，连接、，若，的面积为，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在菱形中，是边的中点，，
，
的面积是，
与的距离为，
过点作且两平行线间的距离为，
作点关于的对称点，连接，，
则，，
的最小值为，
，
在中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】已知，且是边的中点，由此可得；结合的面积为，可以计算出点到直线的距离为；作直线，使与这组平行线之间的距离为，再作点关于直线的对称点，连接，根据对称的性质，的长度就是的最小值，最后求出的长度即可得到结果.
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算，解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
（2）解：
解：
∵
∴方程有两个不相等的根．
；
故．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按运算规则分步化简原式即可：首先化简绝对值，根据绝对值的分段规则，可以判断，因此绝对值化简结果为；接下来处理负整数指数幂按照公式计算该项；再计算零指数幂，对应公式为；最后处理分式部分，通过给分子分母同乘完成分母有理化。全部项化简完成后，按照“先乘方，后乘除，最后加减”的运算顺序合并计算，就能得到最终结果；
（2）对于形如的一元二次方程，可以使用公式法求解，步骤为：先计算判别式判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根。确定方程有实根后，方程的两根为，，只需要找出方程中的值，代入求根公式计算就能得到方程的解.
（1）
（2）解：
∵
∴方程有两个不相等的根．
；
故．
20．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
【答案】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；中心投影；已知正切值求边长
【解析】【解答】（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】
(1) 依据中心投影的相关知识，画出对应图形即可完成求解。
(2) 运用相似三角形的判定定理与性质，就可以计算出所求结果。
(3) 结合勾股定理、锐角三角函数的定义，以及矩形的判定与性质，进行计算即可得到最终答案.
21．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为______分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
【答案】（1）
（2），
（3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，
则本次竞赛的获奖人数为（人）.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：B组15个成绩的平均数为：
；
（2）解：∵，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为，
∵，而，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
∴第个，第个分数，
本次被抽取的所有成绩的中位数为分；
【分析】本题以航天知识竞赛成绩统计为背景，考查了平均数、中位数的计算以及用样本百分比估算总体数量的统计方法。
（1）根据B组给出的具体成绩，直接利用算术平均数的公式求和再除以个数即可；
（2）先利用B组人数与它在扇形图中所占百分比求出样本总量，再结合各组人数分布确定中位数落在B组，最后找出排序后中间两个数的平均值作为中位数；
（3）根据样本中A组（90分及以上）的百分比，乘以全校参赛总人数，即可估算出全校的获奖人数。掌握从统计图中提取数据并正确进行计算是解题的关键。
（1）解：B组15个成绩的平均数为：
；
（2）解：∵，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为，
∵，而，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
∴第个，第个分数，
本次被抽取的所有成绩的中位数为分；
（3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）.
22．已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积．
【答案】（1）证明：在中，，，，，∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
（2）解：连接，∵四边形为矩形，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∵，O为中点，
∴，
∵点F为中点，B为中点，
∴，
∵，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴的面积为．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质，直接得到，，，，由此可得，结合已知条件进一步可推出，所以能判定四边形是平行四边形，最后就可以根据矩形的判定定理完成证明；
（2）连接，根据题意可得，，结合已知条件推出后，可得是等边三角形，满足，接下来利用等边三角形的性质和勾股定理计算得到，即可求解题目问题.
（1）证明：在中，，，，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
（2）解：连接，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∵，O为中点，
∴，
∵点F为中点，B为中点，
∴，
∵，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴的面积为．
23．【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则
【构建联系】
（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式；
【深入探究】
（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E；
①求证：直线与直线为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示）
【答案】解：（1）过点P作轴于点H，
直线与直线为“等腰三角线”，
，
，
，
点P、Q的坐标分别为、，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）①如图2，过点C作轴于点W，则，，
联立方程组，
解得，，
、，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，得，
解得，
，
当时，解得，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，得，
解得，
，
当时，解得，
，
，，
，
，
，
，
直线与直线为“等腰三角线”；
②如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，
，
，
由①可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点P作轴，垂足为H，已知点A坐标为，结合题意可以推导出，由此进一步计算得到点R的坐标为，最后通过待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①过点C作轴，垂足为W，可得W点坐标为，点C坐标为。先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，进而得到两条直线与x轴交点D、E的坐标，由此可以推出，再结合垂线的性质可证明，即可得到所需结论；
②具体操作：过点C作轴，垂足为G，再作线段CE的垂直平分线，这条垂线交CG于点H；根据垂直平分线的性质可得，之后通过角度的等量转换可以得到，因此它们的正切值也相等，即；根据正切的定义可以推导出比例关系，结合已知线段长度可以得到，接下来设，那么，在Rt△EGH中利用勾股定理可以列出方程，解方程得到，将a代入即可进一步计算得到最终答案.
24．今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销．
（1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？
（2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值．
【答案】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x，
由题意得：
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款电视机每次降价的百分率是；

（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，.
尽可能让利于顾客，
.
答：m的值为
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该款电视机每次降价的百分率为x，已知这款电视机原售价为每台元，经过两次相同百分率的降价后，每台售价变为3840元，可以据此列出一元二次方程，求解方程后舍去不符合题意的结果，就能得到每次降价的百分率；
（2）再结合题目给出的“商家获得的总利润为13800元”这一条件，列出对应的一元二次方程，同样求解后舍去不符合题意的结果，即可得到要求的销量.
（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x，
由题意得：
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款电视机每次降价的百分率是；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，.
尽可能让利于顾客，
.
答：m的值为
25．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
，
，
，
把坐标代入得，，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：
如图，设点，则，
点在反比例函数图象上，
，
整理得：，
解得负值已舍去，
；

（3）解：如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则，
由旋转得：，，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，，
，
即，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：舍，，
，；
分三种情况：
①当是的对角线时，如图，连接，交于点，
是的中点，是的中点，
，
是菱形，
，，
的中点的坐标为，
，
；
②当是的对角线时，如图，
，
不可能是菱形，
此种情况不符合题意；
③当是的对角线时，如图，
，
不可能是菱形，
此种情况不符合题意；
综上，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；旋转的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先通过正比例函数的解析式求出点的坐标，再使用待定系数法就可以求出反比例函数的表达式；
先设点，根据平移规律可以得到点，再结合反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，就可以解出点的坐标；
如图，过点作轴，过点作，垂足为，再过点作，垂足为，此时可得，接着可以证明≌，根据全等三角形的性质，即可得到，；设点B的坐标为，那么点E的坐标为。由于点E落在反比例函数的图象上，将点E坐标代入反比例函数解析式即可列方程求解得到的值。接下来根据平行四边形对角线的不同情况分三类讨论：①当为平行四边形的对角线时，如图3，连接、，两线交于点M；②当为平行四边形的对角线时，如图4；③当为平行四边形的对角线时，如图5；分别计算后即可得到最终结果.
26．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
（1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：________；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
【答案】解：（1）
（2）和是等腰三角形，且，
两个等腰三角形的底角也相等．
．
，即．
，
．
．
，即
（3）如图，连接，
根据正方形的性质，，，
．
．
．
设，则．
在中，，
，解得（舍去），．
故正方形的边长为．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）和是等边三角形，
．
在和中，
．
．
故答案为：．
【分析】（1）由等边三角形的性质可以得到，再通过全等三角形的判定证明，即可推导出和的数量关系；
（2）先通过角度关系证明，根据相似三角形的性质得到比例式，再进一步证明最后利用相似三角形对应边成比例整理后即可得到对应结论；
（3）结合正方形的性质构造出相似三角形，根据相似比计算出的长度，再设正方形的边长为未知数，在中利用勾股定理建立方程，解方程即可得到最终结果.
1 / 1四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，，，则的长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．20
4．如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（　　）
A． B． C． D．
5．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．秋冬季节是流感高发期，有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9． 已知 ， 则 　 　.
10．关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
11．反比例函数的图象经过点、及，则　 　．
12．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交于点E，F，则的长度为　 　．
13．如图，在边长为10的正方形中放入矩形和正方形，点，分别在边上，且，则阴影部分的面积为　 　．
14．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于　 　．
15．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是　 　．
16．如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是　 　．
17．若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是　 　．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是　 　．
18．如图，在菱形中，点是边的中点，是菱形内一动点，连接、，若，的面积为，则的最小值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算，解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
20．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
21．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为______分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
22．已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积．
23．【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则
【构建联系】
（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式；
【深入探究】
（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E；
①求证：直线与直线为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示）
24．今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销．
（1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？
（2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值．
25．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
（3）如图，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
（1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：________；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：的俯视图是
故选：C ．
【分析】结合三视图的定义：俯视图是从物体的正上方观察得到的视图得到对应结果.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当方程可化为．
∴方程必有一根为．
故选：C．
【分析】
根据一元二次方程的根的定义：能让方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的根，利用一元二次方程根的定义就可以完成求解.
3．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】，
，
即，
解得：，
故选择：B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可以得到比例关系，据此就可以推导出最终结果.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】首先由，，利用直角三角形两锐角互余得到，再结合四边形是菱形，根据菱形对边平行的性质可得，进而推出，即可完成解答.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【分析】
首先观察一次函数解析式，可知该直线恒过定点，据此可排除不符合这一特征的选项B、选项D，再结合剩余选项A、C中反比例函数图象的位置判断出的符号，进而验证一次函数图象位置，即可得到正确答案.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】
首先根据两组对边分别平行判定四边形CODE为平行四边形，其次利用矩形对角线相等且互相平分的性质推导出OD=OC，从而判定四边形CODE为菱形，最后根据菱形的周长计算即可.
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为，
点的坐标为或，
即点的坐标为或，
故选：C．
【分析】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，若位似变换是以原点作为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标之比等于k或，结合这个性质进行计算，就可以解决问题.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，列方程为，
故答案为：D.
【分析】设设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据“人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感 ”列一元二次方程解题即可.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知可得到，再利用比例的性质可求出结果.
10．【答案】k＞﹣4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣4.
故答案为k＞﹣4.
【分析】根据题意，利用根的判别式列出不等式求解即可。
11．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
将点 代入得，
∴ 反比例函数解析式为，
将点 代入得，
解得，
将点 代入得，
解得，
∴．
故答案为：8.
【分析】先设出反比例函数的解析式为，代入已知点计算出的值，再将其余点代入函数解析式，分别求出 和，最终计算得到的结果.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据题意可知，，直线是线段的垂直平分线。由勾股定理计算出，进一步可以推出。接着可以证明，根据相似三角形的性质可得比例式，代入已知边长可得，解出的长度后，就能得到最终答案.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是边长为的正方形，
，，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【分析】首先证明，根据相似三角形的性质可以推出，设，结合正方形边长AB=10，可以得到：，，，接下来证明，根据全等三角形对应边相等，可以得到，。最后利用正方形边长BC=10，得到边长等式，解这个方程即可求出a的数值，最终得到题目的答案.
14．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的两个根，
∴，，即，
∴
故答案为：7．
【分析】已知、是方程的两个根，可以得到两个结论：一是两根之和，二是因为m是方程的根，满足方程等式，变形后可得，最后将得到的关系整体代入所求式子计算即可得到结果.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，得：，
即，
∵方程组有解，
∴，即，
不等式组，整理得，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
解得，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故答案为：．
【分析】首先对给定的方程组进行整理，可以得到；若方程组存在解，则一次项系数不能为0，即，因此可得；接下来整理题目给出的不等式组，化简后可得；结合该不等式组恰好只有4个整数解，可以得到不等式，通过求解这个不等式就能得到的取值范围，最终就可以得到题目要求的结果.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
过点M作于点H，
，
，
则图中阴影部分的面积
，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理和直角三角形的性质，求出对应图形的底与高；再利用“阴影部分的面积”这个关系计算得到最终结果.
17．【答案】300；854
【知识点】整式的加减运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，
十位数字最小为0，
百位数字最小为3，
当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“嘉数”，即最小的“嘉数”为300；
“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，
∴，即，
，，
，，
是整数，且是整数，
或或，或或，
或或，
当时，或（舍去）或（舍去）；
当时，或或（舍去）；
当时，（舍去）或或（舍去）；
∴或或，
∵“嘉数”N的最大值，则百位数字应最大，
，，时，N最大，最大为854，
故答案为：①300；②
【分析】要得到最小的“嘉数”，遵循这样的思路：要让这个三位数最小，应优先让最高位即百位数字最小，要让百位数字最小，就需要先让十位数字达到最小，按照这个顺序确定十位、百位后，再令个位数字取最小的0，即可得到最小的“嘉数”；对于满足条件的“嘉数”，可以先推导出范围：，同时，再结合题目要求得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在菱形中，是边的中点，，
，
的面积是，
与的距离为，
过点作且两平行线间的距离为，
作点关于的对称点，连接，，
则，，
的最小值为，
，
在中，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】已知，且是边的中点，由此可得；结合的面积为，可以计算出点到直线的距离为；作直线，使与这组平行线之间的距离为，再作点关于直线的对称点，连接，根据对称的性质，的长度就是的最小值，最后求出的长度即可得到结果.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
解：
∵
∴方程有两个不相等的根．
；
故．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）按运算规则分步化简原式即可：首先化简绝对值，根据绝对值的分段规则，可以判断，因此绝对值化简结果为；接下来处理负整数指数幂按照公式计算该项；再计算零指数幂，对应公式为；最后处理分式部分，通过给分子分母同乘完成分母有理化。全部项化简完成后，按照“先乘方，后乘除，最后加减”的运算顺序合并计算，就能得到最终结果；
（2）对于形如的一元二次方程，可以使用公式法求解，步骤为：先计算判别式判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根。确定方程有实根后，方程的两根为，，只需要找出方程中的值，代入求根公式计算就能得到方程的解.
（1）
（2）解：
∵
∴方程有两个不相等的根．
；
故．
20．【答案】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；中心投影；已知正切值求边长
【解析】【解答】（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】
(1) 依据中心投影的相关知识，画出对应图形即可完成求解。
(2) 运用相似三角形的判定定理与性质，就可以计算出所求结果。
(3) 结合勾股定理、锐角三角函数的定义，以及矩形的判定与性质，进行计算即可得到最终答案.
21．【答案】（1）
（2），
（3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，
则本次竞赛的获奖人数为（人）.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：B组15个成绩的平均数为：
；
（2）解：∵，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为，
∵，而，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
∴第个，第个分数，
本次被抽取的所有成绩的中位数为分；
【分析】本题以航天知识竞赛成绩统计为背景，考查了平均数、中位数的计算以及用样本百分比估算总体数量的统计方法。
（1）根据B组给出的具体成绩，直接利用算术平均数的公式求和再除以个数即可；
（2）先利用B组人数与它在扇形图中所占百分比求出样本总量，再结合各组人数分布确定中位数落在B组，最后找出排序后中间两个数的平均值作为中位数；
（3）根据样本中A组（90分及以上）的百分比，乘以全校参赛总人数，即可估算出全校的获奖人数。掌握从统计图中提取数据并正确进行计算是解题的关键。
（1）解：B组15个成绩的平均数为：
；
（2）解：∵，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为，
∵，而，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
∴第个，第个分数，
本次被抽取的所有成绩的中位数为分；
（3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）.
22．【答案】（1）证明：在中，，，，，∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
（2）解：连接，∵四边形为矩形，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∵，O为中点，
∴，
∵点F为中点，B为中点，
∴，
∵，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴的面积为．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质，直接得到，，，，由此可得，结合已知条件进一步可推出，所以能判定四边形是平行四边形，最后就可以根据矩形的判定定理完成证明；
（2）连接，根据题意可得，，结合已知条件推出后，可得是等边三角形，满足，接下来利用等边三角形的性质和勾股定理计算得到，即可求解题目问题.
（1）证明：在中，，，，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
（2）解：连接，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵O为中点，
∴，
∵，O为中点，
∴，
∵点F为中点，B为中点，
∴，
∵，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴的面积为．
23．【答案】解：（1）过点P作轴于点H，
直线与直线为“等腰三角线”，
，
，
，
点P、Q的坐标分别为、，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）①如图2，过点C作轴于点W，则，，
联立方程组，
解得，，
、，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，得，
解得，
，
当时，解得，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，得，
解得，
，
当时，解得，
，
，，
，
，
，
，
直线与直线为“等腰三角线”；
②如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，
，
，
由①可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点P作轴，垂足为H，已知点A坐标为，结合题意可以推导出，由此进一步计算得到点R的坐标为，最后通过待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①过点C作轴，垂足为W，可得W点坐标为，点C坐标为。先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，进而得到两条直线与x轴交点D、E的坐标，由此可以推出，再结合垂线的性质可证明，即可得到所需结论；
②具体操作：过点C作轴，垂足为G，再作线段CE的垂直平分线，这条垂线交CG于点H；根据垂直平分线的性质可得，之后通过角度的等量转换可以得到，因此它们的正切值也相等，即；根据正切的定义可以推导出比例关系，结合已知线段长度可以得到，接下来设，那么，在Rt△EGH中利用勾股定理可以列出方程，解方程得到，将a代入即可进一步计算得到最终答案.
24．【答案】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x，
由题意得：
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款电视机每次降价的百分率是；

（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，.
尽可能让利于顾客，
.
答：m的值为
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该款电视机每次降价的百分率为x，已知这款电视机原售价为每台元，经过两次相同百分率的降价后，每台售价变为3840元，可以据此列出一元二次方程，求解方程后舍去不符合题意的结果，就能得到每次降价的百分率；
（2）再结合题目给出的“商家获得的总利润为13800元”这一条件，列出对应的一元二次方程，同样求解后舍去不符合题意的结果，即可得到要求的销量.
（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x，
由题意得：
解得：，不符合题意，舍去，
答：该款电视机每次降价的百分率是；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，.
尽可能让利于顾客，
.
答：m的值为
25．【答案】（1）解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
，
，
，
把坐标代入得，，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：
如图，设点，则，
点在反比例函数图象上，
，
整理得：，
解得负值已舍去，
；

（3）解：如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则，
由旋转得：，，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，，
，
即，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：舍，，
，；
分三种情况：
①当是的对角线时，如图，连接，交于点，
是的中点，是的中点，
，
是菱形，
，，
的中点的坐标为，
，
；
②当是的对角线时，如图，
，
不可能是菱形，
此种情况不符合题意；
③当是的对角线时，如图，
，
不可能是菱形，
此种情况不符合题意；
综上，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；旋转的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先通过正比例函数的解析式求出点的坐标，再使用待定系数法就可以求出反比例函数的表达式；
先设点，根据平移规律可以得到点，再结合反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，就可以解出点的坐标；
如图，过点作轴，过点作，垂足为，再过点作，垂足为，此时可得，接着可以证明≌，根据全等三角形的性质，即可得到，；设点B的坐标为，那么点E的坐标为。由于点E落在反比例函数的图象上，将点E坐标代入反比例函数解析式即可列方程求解得到的值。接下来根据平行四边形对角线的不同情况分三类讨论：①当为平行四边形的对角线时，如图3，连接、，两线交于点M；②当为平行四边形的对角线时，如图4；③当为平行四边形的对角线时，如图5；分别计算后即可得到最终结果.
26．【答案】解：（1）
（2）和是等腰三角形，且，
两个等腰三角形的底角也相等．
．
，即．
，
．
．
，即
（3）如图，连接，
根据正方形的性质，，，
．
．
．
设，则．
在中，，
，解得（舍去），．
故正方形的边长为．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）和是等边三角形，
．
在和中，
．
．
故答案为：．
【分析】（1）由等边三角形的性质可以得到，再通过全等三角形的判定证明，即可推导出和的数量关系；
（2）先通过角度关系证明，根据相似三角形的性质得到比例式，再进一步证明最后利用相似三角形对应边成比例整理后即可得到对应结论；
（3）结合正方形的性质构造出相似三角形，根据相似比计算出的长度，再设正方形的边长为未知数，在中利用勾股定理建立方程，解方程即可得到最终结果.
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