资源简介

湖南省株洲市天元区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式： ， ， ，5， ， ， ，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ， ， 是分式，
故答案为：C.
【分析】利用分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，逐一判断即可.
2．下列各式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，不符合题意；
B、，不是积的形式，不符合题意；
C、，故原式分解错误，不符合题意；
D、，分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】 依据因式分解定义，将多项式化为几个整式积的形式，逐项判断选项 ．
3．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A.，不是最简分式；
B.，是最简分式；
C.，不是最简分式；
D.，不是最简分式；
故选：B．
【分析】 最简分式：分子分母除 1 外无其他公因式。将分子分母因式分解，逐项判断有无公因式 ，根据最简分式的定义逐项分析即可．
4．多项式ma2-mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
ma2-mb2=m(a2-b2)
故答案为：A
【分析】根据公因式的定义即可求出答案.
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，由是最简二次根式，故选项A符合题意；
B中，由，故不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C中，由，故不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D中，由被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的判定，根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式，据此最简二次根式的定义判定，即可求解．
6．若，，则的值为（　　）
A．－7 B．－4 C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：D
【分析】本题以同底数幂的运算为背景，考查同底数幂除法与幂的乘方的综合运用。将目标幂按照同底数幂除法和幂的乘方规则展开，代入已知数值即可求解。
7．如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：，
∵，
∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
【分析】 根据题目要求，分别用用和替换原分式里的字母x和y，再运用分式的基本性质约分化简，最后对比化简后的式子得出结论．
8．5 12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：．
故选：B．
【分析】 已知工作总量，求工作效率，根据时间关系列方程。由提前 4 天完工，可得：原时间 实际时间 = 4．
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴化简的结果为．
故选：C．
【分析】本题以数轴上实数的大小与运算为背景，考查绝对值的化简及算术平方根的性质。根据数轴判断两数的符号和绝对值大小，确定和的正负，再利用=|a| 去绝对值化简。
10．将1、、、按如图所示方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则 （7，5）与（12，10）表示的两数之积是（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21，
∴（7，5）表示21+5=26个数，
∵26÷4=6…2，
∴（7，5）表示的数为，
同理（12，10）表示的数为，
则（7，5）与（12，10）表示的两数之积是2．
故选：C．
【分析】本题以数的排列规律为背景，考查等差数列求和及循环规律的运用。先通过排数求和确定目标位置的总序号，再根据4个数一循环的周期确定对应数值，最后求乘积。
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分，18题第一空1分，第二空2分）
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查了因式分解，观察代数式发现各项都有公因式5x，提取公因式，分解因式即可．
12．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
13．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.0000046用科学记数法表示为：，
故答案为：
【分析】科学记数法的一般形式为a× ，与指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．若 分 式 的 值 为 0，则 x 的 值为　 　.
【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得|x|-2=0且x-2≠0，
解得x=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据分式值为零的条件：分子等于零，且分母不为零，列出混合组，求解即可.
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为．
故填：
【分析】本题以正方形面积与二次根式为背景，考查二次根式的应用及面积和差关系。由两个小正方形面积分别求其边长，两者之和即为大正方形边长，进而表示大正方形面积，再减去两个小正方形面积即可得到阴影部分面积。
16．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【分析】本题以新定义运算为背景，考查新定义的理解及二次根式的化简与合并。根据新定义的运算规则将数值代入，化简后合并同类二次根式即可。
17．已知：，则x的值是　 　．
【答案】或2
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴或或，
当时，即，此时，故舍去；
当时，即，此时，满足等式；
当时，即，
时，，满足等式；
时，，无意义，不满足等式；
∴的值为：或2．
故答案为：或2 ．
【分析】本题以幂的运算为背景，考查有理数乘方及零指数幂的性质，需分类讨论底数为1、-1及指数为0三种情况，并结合幂的运算法则验证是否满足等式。
18．若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是　 　；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是　 　．
【答案】1001；4097
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；二次根式的性质与化简；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是蛟龙数，且M满足，
∴，
∴，
∴，
∵蛟龙数最小，
∴，
∴，
∴当时，蛟龙数最小，为；
∵
，
∴，
∵式子的结果是整数，
∴为完全平方数，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0，
∵，
∴最大为9，
∴，
∴，
∴最大的蛟龙数为：；
故答案为：1001，．
【分析】 本题属于新定义题型，读懂 “蛟龙数” 定义是解题核心。 根据新定义，结合， 借助完全平方公式对代数式进行化简变形 ，得到， 再依据最小 “蛟龙数” 的限定条件，确定对应字母， 得到，进而得到，可得当时， 蛟龙数取得最小值，代入计算求出最小蛟龙数。求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，根据题意可知蛟龙数最大时，对应变量满足，此时只能为0，求出此时对应数值，进而求出此时的值，最终得到答案．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，要有必要的推理和解答过程）
19．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 运算顺序为先算乘方、零次幂、负整数指数幂，算出各项结果后，再进行加减运算．
20．（1）解方程：；
（2）因式分解：．
【答案】解：（1），
，
，
，
，
检验：把代入最简公分母，得，
所以，原分式方程的解是；
（2）原式，
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题以解分式方程与因式分解为背景，考查分式方程的求解步骤及提公因式法和完全平方公式的运用。
（1）去分母化为整式方程求解，并代入最简公分母检验是否为增根；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解至最简。
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 依据分式混合运算法则化简原式，再将x的值代入化简后的式子计算求值.
22．已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题以二次根式的化简求值为背景，考查平方差公式和完全平方公式在代数式求值中的应用。
（1）利用平方差公式直接求两数的积；
（2）先求两数和，再利用完全平方公式变形 a2+b2=(a+b)2-2ab 代入求值。
（1）解：∵，，
∴；
（2），
则．
23．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同．
（1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？
【答案】（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种图书进价为元，则种图书进价为元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
24．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
（1）【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程　 　，解这个方程，得　 　．经检验，　 　是原方程的解．
（2）【学会转化，解决问题】
运用上面的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2）
（1）；5；5
（2）解：（1）
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
（2）
解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】二次根式的性质与化简；无理方程
【解析】【解答】【回顾旧知，类比求解】：
解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
【分析】【回顾旧知，类比求解】：利用平方计算方法及题意求解即可；
【学会转化，解决问题】
（1）参照题干中的定义及计算方法 ：先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，再求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法 ：先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，再求解即可.
25．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ________；
（2）因式分解：；
（3）求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
【答案】（1）
（2）解：令，原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
【知识点】因式分解﹣公式法；整体思想
【解析】【解答】（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
【分析】（1） ）认真阅读材料，参照材料方法对目标代数式变形，整理成含有已知整体式子的形式，再把已知整体等量关系代入，计算求出结果 ；
（2） 仿照（1）的思路，理解材料方法，利用整体思想对代数式变形，再代入对应的整体关系式进行计算求解 ；
（3） 先根据题干给出的等式，运用整体思想对代数式化简变形，化简后可以判断出，该代数式的结果一定大于或等于 1．
（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
（2）解：令，
原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
26．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母）
A： B：
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
（3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】（1）A
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
，
，
解得；
（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，，
，，
，
，
当时，解得，
将化简得：，
解得，
关于的方程有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），
，
．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当，时，
分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
【分析】本题以新定义“关联数对”为背景，考查分式方程的解、代入验证及含参方程整数解的分类讨论。
（1）根据定义将数对代入方程，验证解是否满足；
（2）将数对代入定义建立方程，求解参数；
（3）由关联数对定义建立关系，再结合整数解条件分类讨论求参数值。
（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当，时，
分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
，
，
解得；
（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，，
，，
，
，
当时，解得，
将化简得：，
解得，
关于的方程有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），
，
．
1 / 1湖南省株洲市天元区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式： ， ， ，5， ， ， ，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．多项式ma2-mb2的公因式是（　　）
A．m B．m2 C．ma D．mb
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．若，，则的值为（　　）
A．－7 B．－4 C． D．
7．如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
8．5 12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
10．将1、、、按如图所示方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则 （7，5）与（12，10）表示的两数之积是（　　）
A． B．3 C．2 D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分，18题第一空1分，第二空2分）
11．分解因式：　 　．
12．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
13．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为　 　．
14．若 分 式 的 值 为 0，则 x 的 值为　 　.
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为　 　．
16．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则　 　．
17．已知：，则x的值是　 　．
18．若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是　 　；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是　 　．
三、解答题（共8个小题，满分66分，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，要有必要的推理和解答过程）
19．计算：．
20．（1）解方程：；
（2）因式分解：．
21．先化简，再求值：，其中．
22．已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
23．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同．
（1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？
24．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
（1）【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程　 　，解这个方程，得　 　．经检验，　 　是原方程的解．
（2）【学会转化，解决问题】
运用上面的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
25．阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ________；
（2）因式分解：；
（3）求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
26．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
（1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母）
A： B：
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
（3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ， ， 是分式，
故答案为：C.
【分析】利用分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，不符合题意；
B、，不是积的形式，不符合题意；
C、，故原式分解错误，不符合题意；
D、，分解正确，符合题意；
故选：D．
【分析】 依据因式分解定义，将多项式化为几个整式积的形式，逐项判断选项 ．
3．【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A.，不是最简分式；
B.，是最简分式；
C.，不是最简分式；
D.，不是最简分式；
故选：B．
【分析】 最简分式：分子分母除 1 外无其他公因式。将分子分母因式分解，逐项判断有无公因式 ，根据最简分式的定义逐项分析即可．
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
ma2-mb2=m(a2-b2)
故答案为：A
【分析】根据公因式的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，由是最简二次根式，故选项A符合题意；
B中，由，故不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C中，由，故不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D中，由被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的判定，根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式，据此最简二次根式的定义判定，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：D
【分析】本题以同底数幂的运算为背景，考查同底数幂除法与幂的乘方的综合运用。将目标幂按照同底数幂除法和幂的乘方规则展开，代入已知数值即可求解。
7．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：，
∵，
∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
【分析】 根据题目要求，分别用用和替换原分式里的字母x和y，再运用分式的基本性质约分化简，最后对比化简后的式子得出结论．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：．
故选：B．
【分析】 已知工作总量，求工作效率，根据时间关系列方程。由提前 4 天完工，可得：原时间 实际时间 = 4．
9．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴化简的结果为．
故选：C．
【分析】本题以数轴上实数的大小与运算为背景，考查绝对值的化简及算术平方根的性质。根据数轴判断两数的符号和绝对值大小，确定和的正负，再利用=|a| 去绝对值化简。
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21，
∴（7，5）表示21+5=26个数，
∵26÷4=6…2，
∴（7，5）表示的数为，
同理（12，10）表示的数为，
则（7，5）与（12，10）表示的两数之积是2．
故选：C．
【分析】本题以数的排列规律为背景，考查等差数列求和及循环规律的运用。先通过排数求和确定目标位置的总序号，再根据4个数一循环的周期确定对应数值，最后求乘积。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查了因式分解，观察代数式发现各项都有公因式5x，提取公因式，分解因式即可．
12．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.0000046用科学记数法表示为：，
故答案为：
【分析】科学记数法的一般形式为a× ，与指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得|x|-2=0且x-2≠0，
解得x=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据分式值为零的条件：分子等于零，且分母不为零，列出混合组，求解即可.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为．
故填：
【分析】本题以正方形面积与二次根式为背景，考查二次根式的应用及面积和差关系。由两个小正方形面积分别求其边长，两者之和即为大正方形边长，进而表示大正方形面积，再减去两个小正方形面积即可得到阴影部分面积。
16．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【分析】本题以新定义运算为背景，考查新定义的理解及二次根式的化简与合并。根据新定义的运算规则将数值代入，化简后合并同类二次根式即可。
17．【答案】或2
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴或或，
当时，即，此时，故舍去；
当时，即，此时，满足等式；
当时，即，
时，，满足等式；
时，，无意义，不满足等式；
∴的值为：或2．
故答案为：或2 ．
【分析】本题以幂的运算为背景，考查有理数乘方及零指数幂的性质，需分类讨论底数为1、-1及指数为0三种情况，并结合幂的运算法则验证是否满足等式。
18．【答案】1001；4097
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；二次根式的性质与化简；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是蛟龙数，且M满足，
∴，
∴，
∴，
∵蛟龙数最小，
∴，
∴，
∴当时，蛟龙数最小，为；
∵
，
∴，
∵式子的结果是整数，
∴为完全平方数，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0，
∵，
∴最大为9，
∴，
∴，
∴最大的蛟龙数为：；
故答案为：1001，．
【分析】 本题属于新定义题型，读懂 “蛟龙数” 定义是解题核心。 根据新定义，结合， 借助完全平方公式对代数式进行化简变形 ，得到， 再依据最小 “蛟龙数” 的限定条件，确定对应字母， 得到，进而得到，可得当时， 蛟龙数取得最小值，代入计算求出最小蛟龙数。求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，根据题意可知蛟龙数最大时，对应变量满足，此时只能为0，求出此时对应数值，进而求出此时的值，最终得到答案．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 运算顺序为先算乘方、零次幂、负整数指数幂，算出各项结果后，再进行加减运算．
20．【答案】解：（1），
，
，
，
，
检验：把代入最简公分母，得，
所以，原分式方程的解是；
（2）原式，
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题以解分式方程与因式分解为背景，考查分式方程的求解步骤及提公因式法和完全平方公式的运用。
（1）去分母化为整式方程求解，并代入最简公分母检验是否为增根；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解至最简。
21．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 依据分式混合运算法则化简原式，再将x的值代入化简后的式子计算求值.
22．【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题以二次根式的化简求值为背景，考查平方差公式和完全平方公式在代数式求值中的应用。
（1）利用平方差公式直接求两数的积；
（2）先求两数和，再利用完全平方公式变形 a2+b2=(a+b)2-2ab 代入求值。
（1）解：∵，，
∴；
（2），
则．
23．【答案】（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种图书进价为元，则种图书进价为元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
24．【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2）
（1）；5；5
（2）解：（1）
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
（2）
解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】二次根式的性质与化简；无理方程
【解析】【解答】【回顾旧知，类比求解】：
解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
【分析】【回顾旧知，类比求解】：利用平方计算方法及题意求解即可；
【学会转化，解决问题】
（1）参照题干中的定义及计算方法 ：先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，再求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法 ：先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，再求解即可.
25．【答案】（1）
（2）解：令，原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
【知识点】因式分解﹣公式法；整体思想
【解析】【解答】（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
【分析】（1） ）认真阅读材料，参照材料方法对目标代数式变形，整理成含有已知整体式子的形式，再把已知整体等量关系代入，计算求出结果 ；
（2） 仿照（1）的思路，理解材料方法，利用整体思想对代数式变形，再代入对应的整体关系式进行计算求解 ；
（3） 先根据题干给出的等式，运用整体思想对代数式化简变形，化简后可以判断出，该代数式的结果一定大于或等于 1．
（1）解：令，
原式，
将“”还原，得原式；
故答案为：；
（2）解：令，
原式
，
将“”还原，得：
原式；
（3）证明：令，
原式
，
将 还原，
原式，
因为无论为何值，
所以．
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
26．【答案】（1）A
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
，
，
解得；
（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，，
，，
，
，
当时，解得，
将化简得：，
解得，
关于的方程有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），
，
．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当，时，
分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
【分析】本题以新定义“关联数对”为背景，考查分式方程的解、代入验证及含参方程整数解的分类讨论。
（1）根据定义将数对代入方程，验证解是否满足；
（2）将数对代入定义建立方程，求解参数；
（3）由关联数对定义建立关系，再结合整数解条件分类讨论求参数值。
（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
当，时，
分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
故答案为：A；
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
，
，
解得；
（3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，，
，，
，
，
当时，解得，
将化简得：，
解得，
关于的方程有整数解，且为整数，
或，
即或或或，
解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去），
，
．
1 / 1

展开更多......

收起↑