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浙江省绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下面的调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某款新能源汽车电池的使用寿命
B．了解某校七（1）班学生的体重情况
C．了解某市全体初中生每周参加家务劳动的时长情况
D．了解巢湖中鱼的种类
2．若点在抛物线上，则的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．-1
3．下列各个命题，是假命题的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．直径所对的圆周角是直角
C．圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大
D．在同一圆中，直径是半径的2倍
4．为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(　　)
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
9．臭豆腐是我们绍兴的一道特色名吃．臭豆腐虽小，但制作流程比较复杂，其中在加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间(单位：分钟)近似满足的函数关系为：(是常数)．如图记录了某次加工煎炸过程中收集到的三组数据．根据上述函数关系和收集到的数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)分钟．
A． B． C． D．
10．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到　 　球的可能性最小．
12．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为　 　．
13．如图，在中，，，则的度数为　 　．
14．如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 　 　m．
15．经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为　 　．
16．在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率．
18．在的方格中，已知三点A，B，C都在格点上．
（1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．找出经过A，B，C三点的圆的圆心O；
（2）若每个小方格的边长为1，试求的半径．
19．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若．
（1）求的度数．
（2）求证：．
20．已知某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件．
（1）当每件的定价为80元时，求在该时间段内可获得的利润．
（2）每件定价为多少元时利润最大？
21．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式）
22．如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连接，记的度数为，的度数为．探究与的数量关系．
23．已知函数（为常数）的图象经过点，．
（1）填空：___________，___________．
（2）当时，求函数的最小值．
（3）当时，求函数的最大值与最小值的差．
24．如图，已知是的外接圆，点是半圆的中点，交的延长线于点，连接，，设交于点．
（1）求证：．
（2）若点是半圆的三等分点，求的度数．
（3）若，设，试求，两点间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查过程具有破坏性，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、要求调查结果精准，且调查范围小、可行性高，适合采用全面调查，故此选项符合题意；
C、调查范围较大，耗费成本高，适合采用抽样调查， 故此选项不符合题意；
D、受调查条件限制，适合采用抽样调查， 故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线上点的坐标特点，将点(-1，3)代入抛物线y=ax2-2x即可得到关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
3．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、直径是圆内最长的弦，该说法正确，因此A不符合题意；
B、根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，该说法正确，因此B不符合题意；
C、已经明确直径是圆中最长的弦，圆中不存在长度超过直径的弦，故原说法错误，因此C符合题意；
D、同一个圆中，直径的长度等于半径的2倍，该说法正确，因此D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角， 以及同一圆内直径和半径的数量关系，对四个选项逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况：
A B C D E
A ——
B ——
C ——
D ——
E ——
共(种)情况；
其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)；
则概率为．
故答案为：B．
【分析】此题是抽取不放回类型，先给学生编号，然后用列表法枚举所有等可能抽取情况，有表可知，共有20种等可能的情况数，其中 恰好抽到1名男生和1名女生的情况有12种，最后利用概率公式计算．
5．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：A、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足，故此选项不符合题意；
B、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足，故此选项不符合题意；
C、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足 ，故此选项不符合题意 ；
D、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴满足 ，故此选项符合题意 .
故答案为：D．
【分析】将所给三点横坐标分别代入每一个选项所给函数解析式算出对应的y1、y2、y3的值，即可判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形内接于
故答案为：B．
【分析】由等弧所对圆周角相等得出∠DBC=∠ADC=50°，再由圆内接四边形的对角互补可求出∠ABC的度数.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个.
故答案为：D.
【分析】抛物线y=ax2向右平移m个单位长度，可得y=a(x-m)2；抛物线y=ax2向下平移n个单位长度可得y=ax2-n；抛物线y=ax2向上平移n个单位长度可得y=ax2+n；抛物线y=ax2沿x轴翻折，可得y=-ax2，据此得出平移后或翻折后的函数解析式，然后将（2，0）代入验证即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【分析】
利用八等分点的性质，将四边形的边长转化为相关的线段，通过作差法比较两个周长的差值，最后利用三角形两边之和大于第三边得出结论即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：我们将图象中给出的两个点、代入给定的函数解析式，可得方程组：
解这个方程组，得到：
因此我们得到该问题对应的函数关系式为：
接下来验证解析式的正确性：当时，代入解析式计算得，和题目已知条件一致，说明解析式正确；
根据题意，加工煎炸臭豆腐的最佳时间是抛物线顶点对应的横坐标，也就是“可食用率”最大时的时间，我们利用抛物线顶点横坐标公式计算：(分钟)
因此，加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟，
故答案为：C.
【分析】本题先将两个已知点坐标代入给定的二次函数 ，解方程组求出参数得到函数关系式，再将第三个已知点代入验证解析式正确；最后根据题意，最佳时间对应抛物线顶点的横坐标，利用顶点横坐标公式计算即可得到结论.
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由可知：，
解得：，
∵均为非负数，
∴，
解得：，
∴
；
∵，即开口向上，当时，u随x的增大而减小，
∴当时，u随x的增大而减小，
∴当时，有最小值为；
故答案为：A．
【分析】由恒等式得出方程组，然后将字母x作为参数解方程组，用含x的式子表示出y、z，结合x、y、z均为非负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x的取值范围；然后将y、z所表示的式子代入u=2x2-2y+z可得u关于x的函数解析式，然后将解析式配成顶点式，根据二次函数的增减性即可求出在x取值范围内的最小值.
11．【答案】白
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：布袋中总球数为个，
红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为，
其中白球的概率最小，
因此摸到白球的可能性最小.
故答案为：白.
【分析】用袋中红、黄、白及蓝色小球的个数分别比上袋中小球的总个数，分别求出从袋中摸出红、黄、白、蓝色小球的概率，再比较大小即可得出答案.
12．【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，得方程，
因式分解得，
解得，，
即抛物线与x轴的交点为和，
∴弦长为：．
故答案为：6．
【分析】由于x轴上点的纵坐标为零，从而令抛物线y=x2-4x-5中y=0，算出对应自变量x的值，可得抛物线与x轴交点坐标，进而根据x轴上任意两点间的距离等于其横坐标差的绝对值，列式计算即可.
13．【答案】60
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
，，
，
，
，
．
故答案为：60．
【分析】连接OA，由同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠APC=60°，由垂径定理得出，进而根据等弧所对圆心角相等可得∠BOC=∠AOC=60°.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵M是中弦的中点，且EM经过圆心，CD=4m，
∴，，
设圆的半径是x米，则，
在中，有，即：，解得：，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
【分析】连接OC，由平分弦的直径垂直弦可得EM⊥CD，CM=CD=2m，设圆的半径是x米，则OC=xm，OM=(6-x)m，在Rt△COM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
15．【答案】-8
【知识点】二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，
当时，，
∴该抛物线的顶点坐标是，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式是，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：-8．
【分析】将x=2代入y=x-1算出对应函数值为y=1，可得抛物线的顶点坐标为(2，1)，然后由顶点式法利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后根据抛物线的增减性，求出x的取值范围内的最大值即可.
16．【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，的中点为，即，
作的中垂线，在的左侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则：，满足题意，，，，，
∴，
∴，
∴；
在的右侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则，满足题意，
同理可得：；
综上：点的坐标为或；
故答案为：或．
【分析】由A、B两点的坐标，根据两点间的距离公式求出AB的长，再结合中点坐标公式即可求出点D的坐标； 作AB的中垂线，在AB的左侧构造等腰直角三角形ABP，使∠APB=90°，以P为圆心，BP的长为半径画圆，交x轴于点C1，连接AC1、BC1，PC1，作PM⊥x轴于点M，如图，由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠BC1A=45°，由勾股定理及同圆半径相等求出PC1=BP=AP=AB=，由等腰直角三角形性质得出PD=BD=3，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形PDMO是矩形，由矩形的对边相等得出PD=OM，PM=OD=1，在Rt△PMC1中，利用勾股定理算出C1M，进而由线段和差求出OC1的长，从而可得点C1的坐标；在AB的右侧构造等腰直角三角形ABQ，使∠AQB=90°，以Q为圆心，BQ的长为半径画圆，交x轴于点C2，连接AC2、BC2，PC2，作QN⊥x轴于点N，同理求出点C2的坐标，综上可得答案.
17．【答案】解：从5张卡片中任意抽取3张，共有10种情况，
、、、、、、、、、
其中所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的有2种情况，
因此，所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用列举法列出从5张卡片中任意抽取3张的所有可能情况数，再根据三角形内角和为180°确定所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的可能情况数，最后根据概率公式列式计算即可.
18．【答案】（1）解：作图见解答过程；
（2）解：由图可知，为圆的直径，∵，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）借助网格特点，分别作出线段和线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点O，该点即为外接圆的圆心；
（2）利用勾股定理计算出直径的长度，即可进一步得到该圆的半径.
（1）作图见解答过程；
（2）由图可知，为圆的直径，
∵，
∴的半径为．
19．【答案】（1）解：连接，
是的两条直径，
是劣弧的中点，
的度数是；
（2）证明：，
直径平分弦所对的弧，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连结OE，由同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=60°，由邻补角求出∠BOC=120°，由等弧所对圆心角相等得出∠COE=∠BOE=60°，最后根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠CDE的度数；
（2）结合对顶角相等易得∠BOE=∠BOD=60°，由圆心角、弧、弦的关系得出，最后根据平分弧的直径垂直这条弧所对的弦可得结论.
（1）解：连接，
是劣弧的中点，
是的两条直径，
的度数是.
（2）证明：，
直径平分弦所对的弧，
．
20．【答案】（1）当时，可卖出件，每件获利元，
所以该时间段内可获得的利润为元．
（2）设利润为元，则，
即
，
有最大值．
当时，的最大值为1225元．
答：每件定价为65元时利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减运算即可求解；
（2） 设利润为元，则，进而根据二次函数的最值即可求解。
（1）当时，可卖出件，每件获利元，
所以该时间段内可获得的利润为元．
（2）设利润为元，则，
即
，
有最大值．
当时，的最大值为1225元．
答：每件定价为65元时利润最大．
21．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将 (2，-3) 代入，，
得，
解得，
因此，该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
当水面下降，即时，
，
解得或，
此时水面宽度为，
答：此时水面宽度为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）按题中要求建立平面直角坐标系可得该抛物线的顶点为（0，0），且经过点(2，-3)，从而可设抛物线的解析式为y=ax2，将 (2，-3) 代入所设解析式，求出a的值，得到抛物线解析式即可；
（2）当水面下降1m，即y=-4时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将，代入，，
得，
解得，
因此，该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
当水面下降，即时，
，
解得或，
此时水面宽度为，
答：此时水面宽度为．
22．【答案】（1）证明：连接，如图：
为的直径
，即
又
；
（2）解：与的数量关系为，理由如下：
连接、，如图：
的度数为
为直径
即
与的数量关系为．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接AD，由直径所对圆周角为直角得出AD⊥BC，再由等腰三角形的“三线合一”证得DB=DC；
（2）连接OE、BE，由圆心角、弧、弦的关系得，由等边对等角及三角形内角和定理得， 由直径所对圆周角为直角得∠AEB=90°，由直角三角形两锐角互余求得，进而根据角的和差求出，进而证得．
（1）证明：连接，如图：
为的直径
，即
又
；
（2）解：连接、，如图：
的度数为
为直径
即
与的数量关系为．
23．【答案】（1）；
（2）解：由（1）知函数为，即，
在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
在范围内，当时，函数取到最小值．
当时，函数的最小值为；
（3）解：，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最大值与最小值的差为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：根据函数（为常数）的图象经过点，得，
解得
故答案为：，；
【分析】（1）将点，代入可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解即可得出b、c的值；
（2）由（1）求得的b、c的值可得二次函数解析式，然后将二次函数解析式配成顶点式，利用二次函数的增减性可求出x取值范围内的最小值；
（3） 利用二次函数的增减性可求出x取值范围内的最小值与最大值， 进而计算最大值与最小值的差即可．
（1）解：根据函数（为常数）的图象经过点，得，
解得
故答案为：，；
（2）解：由（1）知函数为，即，
在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
在范围内，当时，函数取到最小值．
当时，函数的最小值为；
（3）解：，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最大值与最小值的差为．
24．【答案】（1）证明：
又
；
（2）解：点是半圆的中点，
，
点是半圆的三等分点，
，
；
（3）解：过点作交延长线于点，于点，
点是半圆的中点
、
、
、
则在中，
、两点间的距离为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同位角相等及同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠ABC=∠E；
（2）由圆心角、弧、弦的关系得出∠DCB=45°，∠ABC=30°，进而由三角形的内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（3）过点D作DF⊥AC，交AC延长线于点F，DG⊥CB于点G，由等弧所对圆周角相等可得∠DCA=∠DCE=45°，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DG，由等高三角形的面积比等于对应底之比证得，进而在Rt△ACE中，利用勾股定理可算出A，E两点间的距离．
（1）证明：
又
；
（2）解：点是半圆的中点，
，
点是半圆的三等分点，
，
；
（3）解：过点作交延长线于点，于点，
点是半圆的中点
、
、
、
则在中，
、两点间的距离为．
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下面的调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某款新能源汽车电池的使用寿命
B．了解某校七（1）班学生的体重情况
C．了解某市全体初中生每周参加家务劳动的时长情况
D．了解巢湖中鱼的种类
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查过程具有破坏性，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、要求调查结果精准，且调查范围小、可行性高，适合采用全面调查，故此选项符合题意；
C、调查范围较大，耗费成本高，适合采用抽样调查， 故此选项不符合题意；
D、受调查条件限制，适合采用抽样调查， 故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断即可.
2．若点在抛物线上，则的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．-1
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】根据抛物线上点的坐标特点，将点(-1，3)代入抛物线y=ax2-2x即可得到关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
3．下列各个命题，是假命题的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．直径所对的圆周角是直角
C．圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大
D．在同一圆中，直径是半径的2倍
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、直径是圆内最长的弦，该说法正确，因此A不符合题意；
B、根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，该说法正确，因此B不符合题意；
C、已经明确直径是圆中最长的弦，圆中不存在长度超过直径的弦，故原说法错误，因此C符合题意；
D、同一个圆中，直径的长度等于半径的2倍，该说法正确，因此D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角， 以及同一圆内直径和半径的数量关系，对四个选项逐一判断即可.
4．为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将3名男生记为A、B、名女生记为D、E，列出所有抽取两名学生的所有情况：
A B C D E
A ——
B ——
C ——
D ——
E ——
共(种)情况；
其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有：共(种)；
则概率为．
故答案为：B．
【分析】此题是抽取不放回类型，先给学生编号，然后用列表法枚举所有等可能抽取情况，有表可知，共有20种等可能的情况数，其中 恰好抽到1名男生和1名女生的情况有12种，最后利用概率公式计算．
5．已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：A、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足，故此选项不符合题意；
B、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足，故此选项不符合题意；
C、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴不满足 ，故此选项不符合题意 ；
D、在函数中，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴满足 ，故此选项符合题意 .
故答案为：D．
【分析】将所给三点横坐标分别代入每一个选项所给函数解析式算出对应的y1、y2、y3的值，即可判断得出答案.
6．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形内接于
故答案为：B．
【分析】由等弧所对圆周角相等得出∠DBC=∠ADC=50°，再由圆内接四边形的对角互补可求出∠ABC的度数.
7．小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个.
故答案为：D.
【分析】抛物线y=ax2向右平移m个单位长度，可得y=a(x-m)2；抛物线y=ax2向下平移n个单位长度可得y=ax2-n；抛物线y=ax2向上平移n个单位长度可得y=ax2+n；抛物线y=ax2沿x轴翻折，可得y=-ax2，据此得出平移后或翻折后的函数解析式，然后将（2，0）代入验证即可.
8．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(　　)
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【分析】
利用八等分点的性质，将四边形的边长转化为相关的线段，通过作差法比较两个周长的差值，最后利用三角形两边之和大于第三边得出结论即可.
9．臭豆腐是我们绍兴的一道特色名吃．臭豆腐虽小，但制作流程比较复杂，其中在加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间(单位：分钟)近似满足的函数关系为：(是常数)．如图记录了某次加工煎炸过程中收集到的三组数据．根据上述函数关系和收集到的数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)分钟．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：我们将图象中给出的两个点、代入给定的函数解析式，可得方程组：
解这个方程组，得到：
因此我们得到该问题对应的函数关系式为：
接下来验证解析式的正确性：当时，代入解析式计算得，和题目已知条件一致，说明解析式正确；
根据题意，加工煎炸臭豆腐的最佳时间是抛物线顶点对应的横坐标，也就是“可食用率”最大时的时间，我们利用抛物线顶点横坐标公式计算：(分钟)
因此，加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟，
故答案为：C.
【分析】本题先将两个已知点坐标代入给定的二次函数 ，解方程组求出参数得到函数关系式，再将第三个已知点代入验证解析式正确；最后根据题意，最佳时间对应抛物线顶点的横坐标，利用顶点横坐标公式计算即可得到结论.
10．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由可知：，
解得：，
∵均为非负数，
∴，
解得：，
∴
；
∵，即开口向上，当时，u随x的增大而减小，
∴当时，u随x的增大而减小，
∴当时，有最小值为；
故答案为：A．
【分析】由恒等式得出方程组，然后将字母x作为参数解方程组，用含x的式子表示出y、z，结合x、y、z均为非负数列出关于字母x的不等式组，求解得出x的取值范围；然后将y、z所表示的式子代入u=2x2-2y+z可得u关于x的函数解析式，然后将解析式配成顶点式，根据二次函数的增减性即可求出在x取值范围内的最小值.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到　 　球的可能性最小．
【答案】白
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：布袋中总球数为个，
红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为，
其中白球的概率最小，
因此摸到白球的可能性最小.
故答案为：白.
【分析】用袋中红、黄、白及蓝色小球的个数分别比上袋中小球的总个数，分别求出从袋中摸出红、黄、白、蓝色小球的概率，再比较大小即可得出答案.
12．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则抛物线的“弦长”为　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，得方程，
因式分解得，
解得，，
即抛物线与x轴的交点为和，
∴弦长为：．
故答案为：6．
【分析】由于x轴上点的纵坐标为零，从而令抛物线y=x2-4x-5中y=0，算出对应自变量x的值，可得抛物线与x轴交点坐标，进而根据x轴上任意两点间的距离等于其横坐标差的绝对值，列式计算即可.
13．如图，在中，，，则的度数为　 　．
【答案】60
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
，，
，
，
，
．
故答案为：60．
【分析】连接OA，由同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠APC=60°，由垂径定理得出，进而根据等弧所对圆心角相等可得∠BOC=∠AOC=60°.
14．如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为 　 　m．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵M是中弦的中点，且EM经过圆心，CD=4m，
∴，，
设圆的半径是x米，则，
在中，有，即：，解得：，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
【分析】连接OC，由平分弦的直径垂直弦可得EM⊥CD，CM=CD=2m，设圆的半径是x米，则OC=xm，OM=(6-x)m，在Rt△COM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
15．经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为　 　．
【答案】-8
【知识点】二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，
当时，，
∴该抛物线的顶点坐标是，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式是，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：-8．
【分析】将x=2代入y=x-1算出对应函数值为y=1，可得抛物线的顶点坐标为(2，1)，然后由顶点式法利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后根据抛物线的增减性，求出x的取值范围内的最大值即可.
16．在平面直角坐标系中，已知点是轴上一动点，当时，点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴，的中点为，即，
作的中垂线，在的左侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则：，满足题意，，，，，
∴，
∴，
∴；
在的右侧构造等腰直角三角形，使，以为圆心，的长为半径画圆，交轴于点，连接，，作轴于点，如图，则，满足题意，
同理可得：；
综上：点的坐标为或；
故答案为：或．
【分析】由A、B两点的坐标，根据两点间的距离公式求出AB的长，再结合中点坐标公式即可求出点D的坐标； 作AB的中垂线，在AB的左侧构造等腰直角三角形ABP，使∠APB=90°，以P为圆心，BP的长为半径画圆，交x轴于点C1，连接AC1、BC1，PC1，作PM⊥x轴于点M，如图，由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠BC1A=45°，由勾股定理及同圆半径相等求出PC1=BP=AP=AB=，由等腰直角三角形性质得出PD=BD=3，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形PDMO是矩形，由矩形的对边相等得出PD=OM，PM=OD=1，在Rt△PMC1中，利用勾股定理算出C1M，进而由线段和差求出OC1的长，从而可得点C1的坐标；在AB的右侧构造等腰直角三角形ABQ，使∠AQB=90°，以Q为圆心，BQ的长为半径画圆，交x轴于点C2，连接AC2、BC2，PC2，作QN⊥x轴于点N，同理求出点C2的坐标，综上可得答案.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率．
【答案】解：从5张卡片中任意抽取3张，共有10种情况，
、、、、、、、、、
其中所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的有2种情况，
因此，所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】先利用列举法列出从5张卡片中任意抽取3张的所有可能情况数，再根据三角形内角和为180°确定所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的可能情况数，最后根据概率公式列式计算即可.
18．在的方格中，已知三点A，B，C都在格点上．
（1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．找出经过A，B，C三点的圆的圆心O；
（2）若每个小方格的边长为1，试求的半径．
【答案】（1）解：作图见解答过程；
（2）解：由图可知，为圆的直径，∵，
∴的半径为．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）借助网格特点，分别作出线段和线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点O，该点即为外接圆的圆心；
（2）利用勾股定理计算出直径的长度，即可进一步得到该圆的半径.
（1）作图见解答过程；
（2）由图可知，为圆的直径，
∵，
∴的半径为．
19．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若．
（1）求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）解：连接，
是的两条直径，
是劣弧的中点，
的度数是；
（2）证明：，
直径平分弦所对的弧，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连结OE，由同弧所对圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=60°，由邻补角求出∠BOC=120°，由等弧所对圆心角相等得出∠COE=∠BOE=60°，最后根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠CDE的度数；
（2）结合对顶角相等易得∠BOE=∠BOD=60°，由圆心角、弧、弦的关系得出，最后根据平分弧的直径垂直这条弧所对的弦可得结论.
（1）解：连接，
是劣弧的中点，
是的两条直径，
的度数是.
（2）证明：，
直径平分弦所对的弧，
．
20．已知某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件元出售，可卖出件．
（1）当每件的定价为80元时，求在该时间段内可获得的利润．
（2）每件定价为多少元时利润最大？
【答案】（1）当时，可卖出件，每件获利元，
所以该时间段内可获得的利润为元．
（2）设利润为元，则，
即
，
有最大值．
当时，的最大值为1225元．
答：每件定价为65元时利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减运算即可求解；
（2） 设利润为元，则，进而根据二次函数的最值即可求解。
（1）当时，可卖出件，每件获利元，
所以该时间段内可获得的利润为元．
（2）设利润为元，则，
即
，
有最大值．
当时，的最大值为1225元．
答：每件定价为65元时利润最大．
21．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式）
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将 (2，-3) 代入，，
得，
解得，
因此，该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
当水面下降，即时，
，
解得或，
此时水面宽度为，
答：此时水面宽度为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）按题中要求建立平面直角坐标系可得该抛物线的顶点为（0，0），且经过点(2，-3)，从而可设抛物线的解析式为y=ax2，将 (2，-3) 代入所设解析式，求出a的值，得到抛物线解析式即可；
（2）当水面下降1m，即y=-4时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
将，代入，，
得，
解得，
因此，该抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知：，
当水面下降，即时，
，
解得或，
此时水面宽度为，
答：此时水面宽度为．
22．如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连接，记的度数为，的度数为．探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：连接，如图：
为的直径
，即
又
；
（2）解：与的数量关系为，理由如下：
连接、，如图：
的度数为
为直径
即
与的数量关系为．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接AD，由直径所对圆周角为直角得出AD⊥BC，再由等腰三角形的“三线合一”证得DB=DC；
（2）连接OE、BE，由圆心角、弧、弦的关系得，由等边对等角及三角形内角和定理得， 由直径所对圆周角为直角得∠AEB=90°，由直角三角形两锐角互余求得，进而根据角的和差求出，进而证得．
（1）证明：连接，如图：
为的直径
，即
又
；
（2）解：连接、，如图：
的度数为
为直径
即
与的数量关系为．
23．已知函数（为常数）的图象经过点，．
（1）填空：___________，___________．
（2）当时，求函数的最小值．
（3）当时，求函数的最大值与最小值的差．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）知函数为，即，
在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
在范围内，当时，函数取到最小值．
当时，函数的最小值为；
（3）解：，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最大值与最小值的差为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：根据函数（为常数）的图象经过点，得，
解得
故答案为：，；
【分析】（1）将点，代入可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解即可得出b、c的值；
（2）由（1）求得的b、c的值可得二次函数解析式，然后将二次函数解析式配成顶点式，利用二次函数的增减性可求出x取值范围内的最小值；
（3） 利用二次函数的增减性可求出x取值范围内的最小值与最大值， 进而计算最大值与最小值的差即可．
（1）解：根据函数（为常数）的图象经过点，得，
解得
故答案为：，；
（2）解：由（1）知函数为，即，
在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
在范围内，当时，函数取到最小值．
当时，函数的最小值为；
（3）解：，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最大值与最小值的差为．
24．如图，已知是的外接圆，点是半圆的中点，交的延长线于点，连接，，设交于点．
（1）求证：．
（2）若点是半圆的三等分点，求的度数．
（3）若，设，试求，两点间的距离．
【答案】（1）证明：
又
；
（2）解：点是半圆的中点，
，
点是半圆的三等分点，
，
；
（3）解：过点作交延长线于点，于点，
点是半圆的中点
、
、
、
则在中，
、两点间的距离为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同位角相等及同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠ABC=∠E；
（2）由圆心角、弧、弦的关系得出∠DCB=45°，∠ABC=30°，进而由三角形的内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（3）过点D作DF⊥AC，交AC延长线于点F，DG⊥CB于点G，由等弧所对圆周角相等可得∠DCA=∠DCE=45°，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DF=DG，由等高三角形的面积比等于对应底之比证得，进而在Rt△ACE中，利用勾股定理可算出A，E两点间的距离．
（1）证明：
又
；
（2）解：点是半圆的中点，
，
点是半圆的三等分点，
，
；
（3）解：过点作交延长线于点，于点，
点是半圆的中点
、
、
、
则在中，
、两点间的距离为．
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