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第三十章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
第1课时 切线的性质和判断定理
导入新课
通过上节课的学习你掌握了直线与圆的哪几种位置关系 又是如何判断的
导入新课
直线与圆的位置关系可以通过 d 与 r 的大小关系来判定:
d > r 没有公共点, 直线与圆相离;
d = r 有一个公共点, 直线与圆相切;
d < r 有两个公共点, 直线与圆相交.
O
r
d
l
O
r
d
l
O
r
d
l
活动一：探究新知，推导切线的性质定理
问题: 我们已经知道, 当直线 l 与☉O 相切时, 点 O 到直线 l 的距离等于半径, 如图, 如果直线 l 是☉O 的切线, 切点为 A, 那么切线 l 与过点 A 的半径 OA 有什么位置关系呢
高效课堂
点到直线的距
A
垂直
OA⊥l
这里的垂直怎么证明呢
l
O
如图, 设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点. 因为直线 l 与☉O 只有一个公共点 A, 所以点 P 在☉O 外, 从而 OP > OA, 即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线. 因此, 半径 OA 与直线 l 垂直. 由此得到切线的性质:
P
圆的切线垂直于过切点的半径.
高效课堂
反证法推导:
A
l
O
如图, 假设直线 l 与 OA 不垂直, 过圆心 O 作 OB⊥l 于点 B, 根据垂线段最短, 则 OB < OA. 因为 OA 是半径, 所以OB < r, 这与“直线 l 是切线”矛盾.
B
因此假设不成立, 直线 l 与 OA 垂直.
l
活动二：操作探究，归纳判定定理
问题 1: 你能过点 A 作☉O 的切线吗
高效课堂
A
圆心 O 到直线 l 的距离为 OA 的长度, 即圆心到直线的距离等于半径, 所以 l 恰为☉O 的切线.
O
问题 2: 如果连接半径 OA, 你能过点 A 作☉O 的切线吗
问题 3: 过点 A 作直线 l⊥OA, 直线 l 与☉O 又有什么关系
问题 4: 你能根据我们画出☉O 的切线的过程归纳出判定圆的切线的方法吗
圆的切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
高效课堂
练习:判断.
(1)过半径的外端的直线是圆的切线. ( )
(2)与半径垂直的直线是圆的切线. ( )
(3)过半径的端点并且与半径垂直的直线是圆的切线. ( )
A
O
l
A
O
l
A
O
l
定理的两个条件缺一不可:
缺少“过半径外端”、缺少“垂直”, 直线都可能不是圆的切线.
×
×
×
活动三：应用举例，解决问题
例 如图, AB 是☉O 的弦, PA 是☉O 的切线, PA = PB. 求证: PB 是☉O 的切线.
高效课堂
A
证明: 如图, 连接 OA, OB, OP.
O
分析: 因为点 B 在☉O 上, 所以 OB 为☉O 的半径. 要证明 PB 是☉O 的切线, 只需证明 PB⊥OB.
这样, PB 经过☉O 的半径 OB 的外端点 B, 并且垂直于半径 OB, 所以 PB 是☉O 的切线.
P
B
∵ PA 与☉O 相切于点 A,
∴ PA⊥OA, 即∠PAO = 90°.
∵ PA = PB, OA = OB, OP = OP,
∴ △PAO ≌ △PBO.
∴ ∠PBO = ∠PAO = 90°,
∴ PB⊥OB.
高效课堂
要证明切线需要什么条件 如何添加辅助线 在运用切线的判定定理和性质定理时, 有哪些需要注意的事项
有切线做已知条件时常见辅助线添加方法:
常见证切线时作辅助线的方法:
当证明某直线是圆的切线时, 如果已知直线过圆上一点时, 则作过这一点的半径, 证明直线垂直于此半径; 如果直线与圆没有确定的公共点, 则应过圆心作直线的垂线, 证明圆心到直线的距离等于半径.
有交点, 连半径, 证垂直; 无交点, 作垂直, 证相等.
见切点, 连半径, 得垂直.
课堂评价
1.如图, AB 是☉O 的直径, 过点 D 的切线与 AB 的延长线相交于点 C, 且 ∠C = 3∠A, 则∠A 的度数是 ( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 60°
点拨 如图, 连接 OD, 则∠A =∠ODA, 根据切线的性质得∠ODC = 90°, 再根据三角形内角和定理得 ∠A + ∠ADC+ ∠C = 180°, 即 ∠A + ∠A + 90° + 3∠A =180°, 解得 ∠A = 18°.
A
A
O
B
C
D
课堂评价
2.如图, A, B 是☉O 上的两点, AC 是过 A 点的一条直线, 如果∠AOB = 120°, 那么当∠CAB 的度数等于_____时, AC 才能成为☉O 的切线.
点拨 由∠AOB = 120°, 可求得∠OAB = 30°, 当 OA⊥AC 时, AC 才能成为☉O 的切线, 从而求得∠CAB = 60°.
A
O
B
C
60°
课堂评价
3.如图,☉O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P, C 为切点. 若∠P = 30°, ☉O 的半径为 1, 则 PB 的长为______.
A
B
C
点拨 如图, 连接 OC. ∵ PC 是☉O 的切线, ∴ OC⊥CP, 即∠OCP = 90°. 又∠P = 30°, ☉O 的半径为 1, ∴ OP = 2CO = 2, ∴ PB = OP - OB = 1.
P
O
1
课堂评价
4.如图, AB 是☉O 的直径, AD, BD 是弦, 点 P 在 BA 的延长线上, 且∠PDA = ∠PBD. 求证: PD 是☉O 的切线.
A
B
D
答案 如图, 连接 OD. ∵ AB 为☉O 的直径,
P
O
∴∠ADO +∠BDO =∠ADB = 90°.
∵ OD = OB, ∴∠PBD =∠BDO.
又 ∠PDA =∠PBD,
∴ ∠PDA =∠BDO,
∴ ∠ADP +∠ADO = 90°,
∴ DO⊥PD. 又 OD 是☉O 的半径,
∴ PD 是☉O 的切线.
课堂总结
回顾本节课所学的主要内容,并回答以下问题:
(1)切线的判定定理与性质定理是什么 它们有怎样的联系
(2)运用切线的判定定理时要注意什么 证明切线的方法有哪些
(3)怎样运用切线的性质定理
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1 ~ 3 题.
提高性作业: 教材习题 30.1 第 6, 7 题.
第三十章 直线与圆的位置关系
30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
第2课时 切线长定理
导入新课
同学们平时都见过用网兜装篮球的场景吗 如果我们把篮球看作一个圆, 网兜与篮球接触的两条边缘抽象成直线, 大家思考一下, 这两条直线和圆是什么位置关系
可以抽象成两条直线与圆相切.
活动一：画圆的切线，认识切线长
任务 1: 画一画
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如图, 如何过☉O 外一点 P 画出☉O 的切线
O
作法: 如图.
P
M
A
B
①连接 OP, 作线段 OP 的中点 M.
②以点 M 为圆心, OM 为半径作☉M, 交☉O 于 A, B 两点.
③连接 PA, PB, 则直线 AP, BP 即为所求作的切线.
任务 2: 认识切线长
高效课堂
过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切. 我们把经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间线段的长, 叫作这点到圆的切线长.
切线与切线长有什么区别与联系
切线和切线长是两个不同的概念:
(1)切线是一条与圆相切的直线;
(2)切线长是线段的长, 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.
活动二：探究切线长定理
如图, PA, PB 是☉O 的两条切线, 切点分别为 A, B, 过点 O, P 作直线 OP. 线段 PA 与 PB,∠APO 与∠BPO 有什么关系
高效课堂
如图, 连接 OA 和 OB.
∵ PA 和 PB 是☉O 的两条切线,
∴ OA⊥AP, OB⊥BP.
又 OA = OB, OP = OP,
∴ Rt△POA≌Rt△POB.
∴ PA = PB,∠APO =∠BPO.
O
P
A
B
切线长定理:
高效课堂
如何用规范的几何符号表示这个定理
几何符号语言:
∵ PA, PB 分别切☉O 于点 A, B,
∴ PA = PB,∠APO =∠BPO.
O
P
A
B
从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
活动三：定理的应用
例 如图, PA, PB 是☉O 的两条切线, A, B 是切点, 连接 AB,若∠APO = 30°, OP = 2, 求△PAB 的周长.
高效课堂
A
解: 如图, 连接 OA.
O
P
B
∵ PA, PB 是☉O 的两条切线, A, B 是切点
∴ PA = PB,∠APO =∠BPO, OA⊥PA.
又 ∠APO = 30°, ∴ ∠APB = 60°.
∴ △PAB 是等边三角形.
∴ AB = PA = PB.
又在 Rt△POA 中,∠APO = 30°, OP = 2,
∴ OA = 1, PA
∴ △PAB 的周长为
课堂评价
A
2.如图, PA, PB 分别切☉O 于点 A, B, AC 是☉O 的直径, 连接 AB, BC, OP, 则图中与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
C
1.一个钢管放在 V 形架内, 如图是其横截面图, O 为钢管的圆心. 如果钢管的半径为 25 cm,∠MPN =60°,则 OP 的长为 ( )
A. 50 cm B. cm
C. cm D. cm
A
O
B
C
P
O
P
M
N
课堂评价
3.如图, PA, PB 分别与☉O 相切于 A, B 两点, 点 C 为☉O 上一点, 连接 AC, BC, 若∠P = 80°, 则的∠ACB 度数为 ( )
A.40° B.50°
C.60° D.80°
B
A
O
B
C
P
课堂评价
4.如图, PA, PB 是☉O 的两条切线, A, B 为切点, ∠OAB = 30°.
(1)求∠APB 的度数.
(2)当 OA = 3 时, 求 AP 的长.
A
B
P
O
答案 (1) ∵ 在△ABO 中, OA = OB,∠OAB = 30°,
∴ ∠AOB = 180° - 2×30° = 120°.
∵ PA, PB 是☉O 的两条切线,
∴ OA⊥PA, OB⊥PB, 即∠OAP =∠OBP = 90°.
∴ 在四边形OAPB 中,
∠APB = 360°- 120°- 90°- 90°= 60°.
课堂评价
答案 (2)如图, 连接 OP.
A
B
P
O
4.如图, PA, PB 是☉O 的两条切线, A, B 为切点, ∠OAB = 30°.
(1)求∠APB 的度数.
(2)当 OA = 3 时, 求 AP 的长.
∵ PA, PB 是☉O 的两条切线,
在 Rt△OAP 中, OA = 3, ∠APO = 30°,
∴ OP = 2OA = 6.
∴ PO 平分∠APB, 即∠APO = ∠APB = 30°.
∴ AP =
课堂总结
1.通过本节课的学习,你掌握了哪些知识
2.你还有哪些疑惑
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 30.1 第 5, 8 题.

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