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(共18张PPT)
第三十章 直线与圆的位置关系
30.2 三角形的内切圆
导入新课
李明在一家木料厂上班, 工作之余想对厂里的三角形废料进行加工, 要在三角形木料上截下一块圆形用料, 且使圆的面积最大. 你能帮他确定一下吗
1
2
3
4
导入新课
想在一块三角形纸板上剪下一块面积最大的圆形纸板, 应当怎样剪
为了使圆形纸板的面积最大, 这个圆应当与三角形的三条边尽可能贴近.
根据剪出的面积最大的圆应当与三角形的三条边尽可能贴近, 你能猜测到什么
这个圆应当与三角形的三条边都相切, 如图④.
导入新课
假设符合条件的圆已经作出, 那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径. 如何确定这个圆的圆心和半径呢
活动一：探究三角形内切圆的概念和作图方法
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上, 先研究在一个角内作圆使其与角的两边都相切的情况.
高效课堂
问题 1: 如图, 在∠AOB 内作圆, 使其与两边 OA, OB 都相切, 满足上述条件的圆是否可以作出 如果可以作出, 能作多少个 所作出的圆的圆心的位置有什么特征
满足上述条件的圆可以作出, 并且可以作无数个(如图). 其中每个圆的圆心到∠AOB 的两边的距离都分别相等, 所以这些圆的圆心都在∠AOB 的平分线上.
A
B
O
高效课堂
问题 2: 任意作一个△ABC, 如果在△ABC 内作圆, 使其与各边都相切, 满足上述条件的圆是否可以作出 如果可以作出, 能作多少个 所作的圆的圆心位置有什么特征
可以作出. 由问题 1 可知, 圆心在角的平分线上, 而三角形的三条角平分线相交于一点, 只需作三角形两个内角的平分线, 交点即为圆心, 所以只能作一个. 因为任意三角形的三条角平分线的交点都在三角形内部, 所以圆心只能在三角形内部.
高效课堂
问题 3: 已知△ABC, 用尺规作一个和△ABC 的各边都相切的圆.
(1)分别作∠B 和∠C 的平分线 BM 和 CN, 设它们相交于点 I, 那么点 I 到 AB, BC, CA 的距离都相等.
(2)过点 I 作 ID⊥BC, 垂足为 D.
(3)以 I 为圆心, ID 为半径作圆, 则☉I 与△ABC 的三条边都相切, ☉I 即为所求作的圆.
A
B
N
作法:
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆, 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, 叫作三角形的内心, 这个三角形叫作圆的外切三角形.
D
C
M
I
高效课堂
三角形的外心和内心的区别如下表:
名称 概念 确定方法 图形 性质
外心
内心
三角形内切圆的圆心
三角形外接圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三条角平分线的交点
1. OA = OB = OC
2.外心不一定在三角形的内部
1.内心到三边的距离相等
2.内心一定在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
活动二：应用新知
例 1 如图, △ABC 的内切圆☉O 与 BC, CA, AB 分别相切于点 D, E, F, 且 AB = 9, BC = 14, CA = 13. 求 AF, BD, CE 的长.
高效课堂
解: 设 AF = x, 则 AE = x,
BD = BF = AB - AF = 9 - x,
CD = CE = AC - AE = 13 - x.
由 BD + CD = BC, 可得 (9 - x) + (13 - x) = 14.解得 x = 4.
因此 AF = 4, BD = 5, CE = 9.
A
B
C
D
E
F
O
例 2 如图, 在△ABC 中,∠ABC = 60°,∠ACB = 80°, 点 O 是△ABC 的内心. 求∠BOC 的度数.
高效课堂
解: ∵∠ABC = 60°,∠ACB = 80°,
点 O 是△ABC 的内心,
∴∠OBC = ∠ABC = ×60°= 30°,
∠OCB = ∠ACB = ×80°= 40°,
∴∠BOC = 180°- ∠OBC - ∠OCB
=180°- 30° - 40°= 110°.
A
B
C
O
探讨提升: 思考∠BAC 与∠BOC 有何数量关系
高效课堂
(1)若∠A = 80°, 则∠BOC =_________°.
(2)若∠BOC = 100°, 则∠A =________°.
A
B
C
O
130
20
结论: ∠BOC = 90° + ∠BAC.
课堂评价
1.如图, ☉O 与四边形ABCD 的各边依次切于 M, N, G, H. 猜想 AB + CD 与 AD + BC 有何数量关系, 并证明你的猜想.
答案 AB + CD = AD + BC.
O
A
B
C
D
M
G
N
H
证明: 由切线长定理, 得
AM = AH, BN = BM, CN = CG, DG = DH,
所以 AB + CD = AM + BM + CG + DG
= AH + BN + CN + DH
= AD + BC,
即 AB + CD = AD + BC.
课堂评价
2.△ABC 的内切圆半径为 r, △ABC 的周长为 l. 求△ABC 的面积. (提示: 设△ABC 的内心为 O, 连接 OA, OB, OC)
答案 如图, 设△ABC 的内切圆☉O 与 AB, BC, AC 分别相切于点 D, E, F.
A
B
C
D
E
F
O
故 △ABC 的面积
S = AB×r + BC×r + AC×r
= r(AB + BC + AC)
= rl.
课堂评价
3.如图, 在△ABC 中,∠A = 80°.
(1)若点 O 为△ABC 的外心, 求∠BOC 的度数.
(2)若点 I 为△ABC 的内心, 求∠BIC 的度数.
答案 (1) ∵ 点 O 为△ABC 的外心,
∴ 由圆周角定理得∠BOC = 2∠A.
∵ ∠A = 80°,
∴ ∠BOC = 160°.
A
B
O
C
I
课堂评价
(2) ∵ 点 I 为△ABC 的内心,
A
B
O
C
I
∵∠A = 80°,
∴∠ABC +∠ACB =180° - ∠A = 100°.
即∠IBC +∠ICB = 50°,
∴∠BIC = 180° - (∠IBC +∠ICB) = 130°.
∴ (∠ABC +∠ACB) = 50°,
∴∠ABI =∠IBC = ∠ABC,
∠ACI =∠ICB = ∠ACB.
课堂总结
1.本节课你学到了哪些核心知识
2.三角形的内心与外心有什么区别
3.你还想探究三角形内切圆的哪些相关知识
作业设计
基础性作业: 教材习题 30.2 第 1 ~ 3 题.
提高性作业: 教材习题 30.2 第 4 题.
拓展性作业: 观察生活中三角形内切圆的应用实例, 如机械零件设计、建筑装饰, 用图文形式记录下来, 并简要说明其原理.
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