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第三十章 直线与圆的位置关系
30.3 正多边形与圆
第1课时 正多边形的相关概念
导入新课
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 生活中我们经常能看到各种正多边形形状的物体, 如图所示. 大家还能举出其他例子吗
正多边形和我们之前学过的圆之间有什么关系呢 我们能不能借助圆来画出正多边形
活动一：探究圆的内接正多边形与外切正多边形
我们知道, 三角形有外接圆和内切圆, 正多边形也有它对应的外接圆和内切圆, 同学们试着画一下并总结.
高效课堂
只要把一个圆分成相等的一些弧, 以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形, 这个圆就是这个正多边形的外接圆;
O
内接正多边形
外接圆
活动一：探究圆的内接正多边形与外切正多边形
我们知道, 三角形有外接圆和内切圆, 正多边形也有它对应的外接圆和内切圆, 同学们试着画一下并总结.
高效课堂
只要把一个圆分成相等的一些弧, 以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形, 这个圆就是这个正多边形的外接圆;
O
经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形, 这个圆就是这个正多边形的内切圆.
外接正多边形
内切圆
以圆的内接正五边形为例, 同学们试着证明.
高效课堂
如图, 把☉O 分成相等的 5 段弧, 依次连接各分点得到五边形 ABCDE.
O
A
E
B
D
C
∵ = = = = ,
∴ AB = BC = CD = DE = EA,
= 3 = .
∴∠A =∠B.
同理∠B =∠C =∠D =∠E.
又五边形 ABCDE 的顶点都在☉O 上,
∴ 五边形 ABCDE 是☉O 的内接正五边形, ☉O 是正五边形 ABCDE 的外接圆.
活动二：总结概念并推导公式
正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心, 外接圆的半径叫作正多边形的半径, 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角, 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距(如图).
高效课堂
O
半径
中心角
边心距
思考: 正 n 边形的一个内角的度数是多少 外角呢 中心角呢 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系
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(1) 正 n 边形的一个内角等于 .
(4) 正多边形的中心角与外角相等.
(2) 正 n 边形的一个外角等于 .
(3) 正 n 边形的中心角等于 .
延安宝塔，古称丰林山塔、嘉岭山塔。位于陕西省延安市宝塔区宝塔山上，是延安革命遗址的组成部分，也是延安市的标志性建筑。中共中央进驻延安后，成为中国革命圣地的标志和象征。
高效课堂
活动三：典例剖析
例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征, 它是一座八角九层楼阁式砖塔, 其塔基的形状是半径为 6 m 的正八边形(如图), 求塔基的面积(结果保留小数点后一位).
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O
解: 如图, 连接 OA, OB, 作 AP⊥OB, 垂足为 P.
P
B
A
C
D
E
F
G
H
∵ 八边形 ABCDEFGH 是半径为 6 m 的正八边形,
又△APO 为直角三角形, ∴∠OAP =∠AOB. ∴ AP = OP.
在 Rt△APO 中, 由勾股定理, 得 AP2 + OP2 = OA2.
∴ OA = OB = 6,∠AOB = = 45°.
∴ AP = OA = .
因此, 塔基的面积
S = 8× ×OB×AP =8× ×6× = ≈ 101.8 (m2).
课堂评价
1.已知正三角形的边长为 2, 那么该三角形的半径长为_______.
O
A
B
C
D
点拨 如图, 作正三角形 ABC 的外接圆☉O, 连接 OA, OB, OC, 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D,
∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形,
∴ AB = AC = BC = 2, ∠ABC = 60°, ∴∠OBD = 30°.
∵ OD⊥BC,
在 Rt△BOD 中, OD2 + 12 = (2OD)2,
∴∠ODB = 90°, BD = CD = BC =1, OD = OB.
解得 OD = , ∴ OB = 2OD = ,
∴ 该三角形的半径长为 .
课堂评价
2.已知圆内接正三角形的边心距为 1, 则这个三角形的面积为______.
O
A
B
C
D
点拨 如图所示, 作正三角形 ABC 的外接圆☉O, 过点 A, 作 AD⊥BC 于点 D, 连接 OB.
则 AD 经过圆心 O,∠ODB = 90°, OD = 1.
∵△ABC 是等边三角形,
∴ BD = CD, ∠OBD = ∠ABC = 30°,
∴ OA = OB = 2OD = 2, ∴ AD = 3, BD = ,
∴ AB = , ∴ BC = ,
∴△ABC 的面积 = BC AD = × ×3 = .
课堂评价
3.如图, 四边形 ABCD 为☉O 的内接正方形, 点 P 为劣弧 BC 上的任意一点(不与点 B, C 重合), 则∠BPC 的度数是 ( )
A. 120° B. 130° C. 135° D. 150°C
A
B
C
D
P
O
点拨 如图, 连接 AC.
∵ 四边形 ABPC 是☉O 的内接四边形,
∴∠BPC + ∠BAC = 180°,
∴∠BPC = 180°- 45°= 135°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD = 90°, ∠BAC = ∠BAD = 45°.
C
课堂评价
点拨 连接 OB, OC, 如图.
O
A
B
C
D
E
F
∵☉O 的周长等于 12π,
∵六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴△BOC 是等边三角形,
∴ BC = OB = OC = 6, 即正六边形的边长为 6.
∴☉O 的半径 OB = OC = = 6.
4.如图, 正六边形 ABCDEF 内接于☉O, 若☉O 的周长是 12π, 则正六边形的边长是 ( )
A. B. 3 C. 6 D.
∴∠BOC = = 60°,
C
课堂评价
5.如图, 正六边形 ABCDEF 内接于☉O, 若直线 PA 与☉O 相切于点 A, 则∠PAB 为 ( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
点拨 连接 OA, OB, 如图.
O
A
B
C
D
E
F
P
∵六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴△AOB 是等边三角形, ∴ ∠OAB = 60°.
∵ 直线 PA 与 ☉O 相切于点 A,
∴∠OAP = 90°,
∴∠PAB =∠OAP - ∠OAB = 90° - 60° = 30°.
∴∠AOB = = 60°,
A
课堂总结
1.请用自己的语言描述正多边形的中心、半径、中心角、边心距的定义.
2.正 n 边形的中心角的计算公式是什么 如何利用正多边形与圆的关系解决面积计算问题
3.生活中还有哪些地方用到了正多边形与圆的知识
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 教材习题 30.3 第 3 ~ 9题.
拓展性作业: 寻找生活中 3 个正多边形与圆结合的实例, 拍照并简要说明其运用的相关概念, 并整理到作业本上.
第三十章 直线与圆的位置关系
30.3 正多边形与圆
第2课时 画正多边形
导入新课
这些图案有什么共同特征
上节课我们学习了正多边形的性质, 今天我们来研究如何画出这些美丽的正多边形.
活动一：探究新知，建构方法
探究 1: 用量角器等分圆周画正多边形
高效课堂
如何在圆中画一个正五边形
1.先用量角器画一个 360°÷5 = 72°的圆心角, 然后每隔 72°画一个点.
2.在圆上估摸着画了五个点.
第一种作法更准确. 因为是基于“正多边形与圆的关系”等分圆心角, 进行量化操作. 而第二种是依赖直观感觉. 因此第一种作法更科学、更严谨.
哪种方法更准确 为什么
高效课堂
正 n 边形的每个中心角是多少度
因为所有中心角加起来是 360°, 而且都相等.
等分 360° 的圆心角, 即等分圆周.
我们用量角器画正多边形的关键是什么
为什么是
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等, 因此等分圆心角就可以等分圆周, 从而得到相应的正多边形.
60°
高效课堂
探究 2: 用量角器作正六边形
如何用量角器作出正六边形
例如, 画一个边长为 1.5 cm 的正六边形时, 可以以 1.5 cm 为半径作一个☉O, 用量角器画一个 = 60°的圆心角, 它对着一段弧, 然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧, 就得到圆的 6 个等分点, 再顺次连接各分点, 即可得到正六边形(如图).
O
高效课堂
作正 n 边形的步骤:
1.作一个☉O;
3.顺次连接各分点.
2.用量角器画一个 的圆心角, 它对着一段弧, 再在圆周上依次截取与之相等的弧;
活动二：理性思考，应用新知
探究 1: 用尺规作正六边形
高效课堂
对于一些特殊的正多边形, 还可以用直尺和圆规来作图. 你能用尺规作出正六边形吗
由于正六边形的边长等于半径, 在半径为 R 的圆上, 从某一点开始, 依次以 R 为半径画弧, 就可以把圆六等分, 顺次连接各分点就得到半径为 R 的正六边形(如图).
O
R
进而可以作出正三角形、正十二边形.
探究 2: 用尺规作正方形
高效课堂
如何用尺规作出正方形
1. 先作两条互相垂直的直径, 四等分圆周.
2. 然后顺次连接各分点.
O
活动三：巩固应用，深化理解
例 已知☉O 的半径为 1 cm, 求作☉O 的内接正八边形.
高效课堂
解: (1)如图所示, 作直径 AC.
(2)作 AC 的垂直平分线 交☉O 于 B, D 两点.
(5)依次连接各分点, 即得正八边形.
正八边形 AEBFCGDM 即为所求作的☉O 的内接正八边形.
(3)连接 AD, 作 AD 的垂直平分线交 于点 M.
(4)用同样的方法作出 , , 的中点 E, F, G.
O
A
C
B
D
M
E
F
G
活动四：延伸探究
请以小组为单位, 在半径为 4 cm 的圆中, 画出它的内接正三角形.
高效课堂
要求: 探索并展示两种不同的画法.
课堂评价
1.完成下面的表格.
正多边形的边数 内角 外角 中心角
3
4
6
n
60°
90°
120°
120°
120°
90°
90°
60°
60°
课堂评价
2.为什么用圆规和直尺可以准确地作出一个圆的内接正六边形 请用一句话说明其依据.
答案 因为圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径.
课堂评价
3.已知一个圆形桌面的圆心为 O, 半径为 30 cm. 现计划在桌面边缘均匀镶嵌 8 颗装饰灯. 请你利用本节课的知识, 简要描述如何在桌面上确定这 8 颗灯的准确位置.(只需写出方法, 无需作图)
答案 可运用“用量角器等分圆周”的方法.先计算相邻两颗灯的夹角为 360°÷8 = 45°. 然后从过圆心的一条半径开始, 依次用量角器量出 45°的圆心角并在桌面边缘标记等分点, 这些标记点就是 8 颗灯的准确位置.
课堂总结
回顾本节课所学内容, 并回答以下问题.
(1)今天我们学习了哪些画正多边形的方法
(2)这些方法的共同思想是什么
(3)正多边形和圆有什么关系
(4)为什么等分圆周就能画出正多边形
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 作半径为 4 cm 的圆的内接正五边形.
拓展性作业:
在半径为 5 cm 的圆中, 画一个正九边形, 并回答: 用量角器等分圆周时, 你遇到了什么操作上的困难 如何克服

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