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(共26张PPT)
第二十九章 圆
29.1 圆的有关概念
29.1.2 过三点的圆
第1课时 过三点的圆
导入新课
如果这个圆形工件破损了, 如何找到它的圆心, 以便修复
要确定一个圆, 需要确定什么
圆心和半径
两点确定一条直线, 那么几个点可以确定一个圆呢
任务：问题导引，探究新知
问题 1: 经过一个点 A 能不能作圆 如果能, 这样的圆能作出多少个
高效课堂
经过一个点可以作无数个圆.
A
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问题 2: 经过两个点 A, B 能不能作圆 如果能, 所作圆的圆心的位置有什么特点
经过两个点 A, B 作圆, 由于所作圆的圆心到 A, B 两点的距离相等, 所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上, 这样的圆也可以作出无数个.
A
B
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问题 3: 经过三个点 A, B, C 能不能作圆 如果能, 如何确定所作圆的圆心 分“三点共线”和“三点不共线”两种情况讨论.
三点不共线时, 因为所作的圆要经过 A, B, C 三点, 其圆心应满足到这三个点的距离都相等, 所以所作圆的圆心既要在线段 AB 的垂直平分线上, 又要在线段 BC 的垂直平分线上, 显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点.
C
B
A
A
B
C
O
三点共线时, 两条垂直平分线平行, 无交点, 故不能作圆.
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问题 4: 你能用直尺和圆规作出经过不在同一条直线上的三个点 A, B, C 的圆吗
分别作线段 AB, BC 的垂直平分线 l1, l2, 设 l1, l2 相交于点 O, 则 OA = OB = OC. 以点 O 为圆心, OA 为半径, 作出 ☉O. ☉O 就是经过 A, B, C 三点的圆.
这样作出来的圆是不是只有一个
由作法可知, 线段 AB, BC 的垂直平分线有且只有一个交点, 所以☉O 的圆心是确定的, 进而其半径也是确定的. 因此, 经过 A, B, C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 这就得到:
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
A
B
C
O
l1
l2
高效课堂
经过三角形的三个顶点可以作一个圆, 这个圆叫作三角形的外接圆, 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 叫作这个三角形的外心, 这个三角形叫作圆的内接三角形.
A
B
C
O
O
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
A
B
C
O
课堂评价
1.三角形的外心是三角形_____________________的交点.
三条边的垂直平分线
课堂评价
2.如图 1, △ABC 是边长为 2 的等边三角形, 作出它的外接圆, 并求外接圆的半径长.
图 1
A
B
C
图 2
A
B
C
答案 如图 2. 外心在等边三角形的高上. 设高为 AD, 外心为 O, 则 OA = OB = OC, OD 为高的 . 则高 AD = = , 外接圆半径 OA = AD = .
课堂总结
1.这节课我们学习了哪些知识 掌握了哪些方法
2.总结如下内容:
(1)过一点:可以作无数个圆.
(2)过两点:可以作无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上.
(3)过三点(不共线):确定一个圆.
(4)三角形外接圆与外心的概念.
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1 题.
提高性作业: 教材习题 29.1 第 6 题.
拓展性作业: 寻找生活中有关不在同一条直线上的三个点确定一个圆的应用.
第二十九章 圆
29.1 圆的有关概念
29.1.2 过三点的圆
第2课时 反证法
导入新课
中国古代有这样一个故事: 王戎 7 岁时, 与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李子树上结满了果子. 小伙伴们纷纷去摘取李子, 只有王戎站在原地不动……有人问王戎为什么不去摘李子
王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
导入新课
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
假设“李子甜”不成立
所以“树在道边而多子, 此必苦李.”是正确的
任务一：探究归纳反证法
在证明一个命题时, 人们有时先提出与结论相反的假设,再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果, 然后由矛盾断定所作假设不正确, 从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法.
高效课堂
高效课堂
问题: 你能结合上面的例子, 说一说用反证法解决问题的一般步骤吗
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
假设“李子甜”不成立
所以“树在道边而多子, 此必苦李.”是正确的
提出假设
推理论证
推理论证
得出矛盾
结论成立
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用反证法解决问题的一般步骤:
(1)假设结论反面成立: 假设命题的结论不成立;
(2)正确推理导出矛盾: 从这个假设出发,经过推理论证, 得出矛盾;
(3)否定假设肯定结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题成立.
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任务二：巩固认识反证法
问题: 用反证法证明经过同一条直线上的三个点不能作圆.
我们不妨也用反证法. 证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同, 它不是直接从命题的已知得出结论, 而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三点可以作一个圆), 由此经过推理得出矛盾, 由矛盾断定所作假设不正确, 从而得到待证命题成立.
高效课堂
证明: 如图, 假设经过同一条直线 l 上的 A, B, C 三点可以作一个圆.
C
B
A
设这个圆的圆心为 P, 那么 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上, 又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上, 即点 P 为 l1 与 l2 的交点, 而 l1⊥l, l2⊥l, 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以, 经过同一条直线上的三个点不能作圆.
l
l1
l2
P
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任务三：应用举例
例 用反证法证明“两直线平行, 同位角相等”.
已知: 如图, AB∥CD.
求证: ∠1 = ∠2.
证明: 假设∠1 ≠ ∠2, 如图, 过点 O 作直线 A'B', 使 ∠EOB' = ∠2.
A'
B'
A
B
E
F
O
1
2
C
D
所以 A'B'∥CD,
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾.
所以假设 ∠1 ≠ ∠2 不正确, 从而 ∠1 = ∠2.
课堂评价
1.“a < b”的反面是 ( )
A. a ≠ b B. a > b C. a = b D. a = b 或 a > b
D
2. “已知: 在 △ABC 中, AB = AC. 求证:∠B < 90°”. 下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.
①所以∠B +∠C +∠A > 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾.
②所以∠B < 90°.
③假设∠B ≥ 90°.
④那么, 由 AB = AC, 得∠B =∠C ≥ 90°. 即∠B +∠C ≥ 180°.
这四个步骤正确的顺序应是 ( )
A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③②①
C
课堂评价
3.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时, 首先应假设________
_______________________.
4.在△ABC 中, 若∠C 是直角, 那么∠B 一定是锐角.
证明: 假设结论不成立, 则∠B 是______或______.
当∠B 是_______时, 则________________, 这与____________________矛盾.
当∠B 是_______时, 则________________, 这与____________________矛盾.
综上所述, 假设_________________不成立. 所以∠B 一定是锐角.
三角形中有两个或三个角是直角
直角
钝角
∠B 是直角或钝角
三角形内角和是 180°
∠B +∠C > 180°
钝角
直角
∠B +∠C = 180°
三角形内角和是 180°
课堂评价
5. 用反证法证明: 在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于 60°.
答案 已知: ∠A, ∠B, ∠C 是 △ABC 的内角.
求证: ∠A, ∠B, ∠C 中至少有一个角大于或等于 60°.
证明: 假设所求证的结论不成立, 即∠A < 60°, ∠B < 60°, ∠C < 60°,
则∠A +∠B +∠C < 180°.
这与三角形三个内角的和等于 180°相矛盾. 所以假设不成立, 所求证的结论成立.
课堂总结
1.请大家说一说本节课有哪些收获.
2.通过本节课的学习你还有哪些疑问
作业设计
基础性作业: 教材练习第 1, 2 题.
提高性作业: 收集反证法在生活中应用的例子.
感 谢 观 看

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