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第二十九章 圆
29.1 圆的有关概念
29.1.1 圆的有关概念
导入新课
“一切立体图形中最美的是球, 一切平面图形中最美的是圆.”这是古希腊毕达哥拉斯学派的经典观点. 圆形物体在生活中很常见, 许多物体都给我们以圆的形象.
导入新课
问题: 从数学视角分析, 为什么车轮必须是圆形 非圆形车轮行驶颠簸的本质原因是什么
圆形车轮有平稳的特点, 把车轮做成圆形, 车轮上各点到车轮中心的距离都相等(如图), 当车轮在地面上滚动时, 车轮中心与地面的距离保持不变, 因此, 坐车的人会感觉到非常平稳.
活动一：追根溯源，定义圆——从《墨子》到现代数学
问题 1: 我们用圆规画圆时, 针尖和笔尖分别起到什么作用 笔尖运动时到针尖的距离有什么特点
高效课堂
问题 2: 从点的运动角度, 你能描述圆是怎样形成的吗
针尖固定, 笔尖绕着它转, 且距离不变.
活动一：追根溯源，定义圆——从《墨子》到现代数学
问题 1: 我们用圆规画圆时, 针尖和笔尖分别起到什么作用 笔尖运动时到针尖的距离有什么特点
高效课堂
问题 2: 从点的运动角度, 你能描述圆是怎样形成的吗
如图, 在一个平面内, 线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周, 另一个端点 P 所形成的图形叫作圆. 其固定的端点 O 叫作圆心, 线段 OP 叫作半径, 以点 O 为圆心的圆, 记作 ☉O, 读作 “圆 O”.
针尖固定, 笔尖绕着它转, 且距离不变.
O
r
P
问题 3: 画圆时固定的点叫什么 圆规两脚间的距离呢
高效课堂
固定的点是圆心
圆规两脚间的距离是半径
问题 4: 圆上的点到圆心的距离有什么特点 到圆心距离等于半径的点都在哪里
圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r); 到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点都在同一个圆上.
总结: 圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.
问题 5:《墨子》中记载“圆, 一中同长也”“圆, 规写交也”, 你能结合今天所学, 解释这句话的含义吗
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“圆, 一中同长也”指圆上各点到圆心的距离相等; “圆, 规写交也”指用圆规画图, 固定圆规的一脚, 另一脚绕圆心旋转一周, 最终形成的封闭图形才是圆.
活动二：慧眼识珠，辨关系——点与圆的位置关系
问题 1: 一个圆把平面分成了几部分 相应地, 平面内的点与圆有几种位置关系
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一个圆将平面分成圆内、圆上、圆外三部分, 因此平面内的点与圆有三种位置关系, 即点在圆内、点在圆上、点在圆外(如图).
问题 2: 如何用点到圆心的距离 d 和圆的半径 r 来判断点与圆的位置关系
点在圆外 d > r;
点在圆上 d = r;
点在圆内 d < r.
O
C
B
A
问题 3: 已知 ☉O 的半径 r = 10 cm, 点 P, Q, M 到圆心的距离 d 分别是 8 cm, 10 cm, 12 cm, 点 P, Q, M 分别在圆的什么位置
高效课堂
活动三：精准辨析，明概念——弦、弧、等圆与等弧
问题 1: 通过阅读教材, 你能说出弦的概念吗
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连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC)叫作弦.
经过圆心的弦(如图中的 AB)叫作直径.
问题 2: 直径和弦是什么关系呢
1.弦和直径都是线段.
2.所有直径都是弦, 且是圆中最长的弦, 但弦不一定是直径.
O
C
B
A
问题 3: 通过阅读教材, 你能说出弧、半圆、优弧、劣弧的概念吗
高效课堂
O
C
B
A
圆上任意两点间的部分叫作圆弧, 简称弧. 以 A, B 为端点的弧记作 , 读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧都叫作半圆. 小于半圆的弧(如图中的 )叫作劣弧, 大于半圆的弧(用三个字母表示, 如上图中的 )叫作优弧.
问题 4: 弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢
高效课堂
弧分为优弧、劣弧、半圆; 半圆是弧, 但弧不一定是半圆; 半圆既不是劣弧, 也不是优弧.
问题 5: 通过阅读教材, 你能说出等圆、等弧的概念吗
能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出: 半径相等的两个圆是等圆; 反过来, 同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫作等弧.
问题 4: 弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢
高效课堂
弧分为优弧、劣弧、半圆; 半圆是弧, 但弧不一定是半圆; 半圆既不是劣弧, 也不是优弧.
问题 5: 通过阅读教材, 你能说出等圆、等弧的概念吗
能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出: 半径相等的两个圆是等圆; 反过来, 同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫作等弧.
O
r
r
O
问题 4: 弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢
高效课堂
弧分为优弧、劣弧、半圆; 半圆是弧, 但弧不一定是半圆; 半圆既不是劣弧, 也不是优弧.
问题 5: 通过阅读教材, 你能说出等圆、等弧的概念吗
能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出: 半径相等的两个圆是等圆; 反过来, 同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫作等弧.
O
r
r
O
问题 4: 弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢
高效课堂
弧分为优弧、劣弧、半圆; 半圆是弧, 但弧不一定是半圆; 半圆既不是劣弧, 也不是优弧.
问题 5: 通过阅读教材, 你能说出等圆、等弧的概念吗
能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出: 半径相等的两个圆是等圆; 反过来, 同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫作等弧.
O
r
r
O
问题 6: 长度相等的弧是等弧吗 如图, 如果弧 AB 和弧 CD 的拉直长度都是 10 cm, 平移并调整小圆的位置, 是否能使这两条弧完全重合
高效课堂
O
C
B
A
D
可见这两条弧不可能完全重合, 实际上这两条弧弯曲程度不同.
在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫作等弧. 等弧的弧长相等, 但弧长相等的弧不一定是等弧.
活动四：例题解析，学以致用
例 如图, 矩形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O. 求证: A, B, C, D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上.
高效课堂
O
C
B
A
分析: 证明四个顶点到某定点的距离相等, 即矩形对角线的交点为圆心, 对角线一半为半径.
证明: ∵四边形 ABCD 为矩形, 对角线 AC, BD 相交于点 O,
∴ OA = OC = OB = OD.
∴ OA = OC = AC, OB = OD = BD, AC = BD.
D
∴ A, B, C, D 四个点在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上.
课堂评价
1.下列语句不正确的个数为 ( )
①直径是弦; ②优弧一定大于劣弧; ③长度相等的弧是等弧; ④半圆是弧.
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
B
点拨 ①直径是弦, ①正确. ②在同圆或等圆中, 优弧大于劣弧, ②错误. ③在同圆或等圆中, 长度相等的弧是等弧, ③错误. ④半圆是弧, ④正确. 故不正确的有 2 个.
课堂评价
2.已知 ☉O 的半径为 4. 若点 P 在☉O 外, 则 OP 的长可能是 ( )
A. 3 B. 10 C. 4 D. 5
D
3.你见过树木的年轮吗 从树木的年轮,可以知道树木的年龄. 把树干的横截面看成是圆形的, 如果一棵 20 年树龄的树的树干直径是 23 cm, 这棵树的半径平均每年增加多少
答案 23 ÷ 2 ÷ 20 = (cm).
答: 这棵树的半径平均每年增加 cm.
课堂评价
4.在△ABC 中,∠C = 90°. 求证: A, B, C 三点在同一个圆上.
C
A
B
O
答案 如图, 取 AB 的中点 O, 连接 OC.
∵△ABC 为直角三角形,
∴OC = AB.
∴OC = OA = OB.
∴A, B, C 三点在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上.
课堂总结
1.本节课你都学习到了哪些内容
2.回顾本节课的证明过程,体现了什么数学思想
3.结合圆的相关知识发展历程,谈谈你对圆的数学文化价值的理解.
作业设计
基础性作业: 教材习题 29.1 第 1 ~ 3 题.
提高性作业: 教材习题 29.1 第 4 题.
拓展性作业: 如图, 一些学生正在做投圈游戏, 他们呈“一”字排开. 这样的队形对每一人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形

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