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八年级数学（北师大版）上册阶段压轴分类训练（一）
（第一章 勾股定理 、第二章 实数）
一、勾股定理与面积割补（赵爽弦图与等积转化）
如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，直角三角形较长直角边为 ，较短直角边为 。求 的值。
【解答】解：由题意可知，每个直角三角形的两条直角边长分别为 和 （），斜边长为 。
大正方形的面积为 。
中间小正方形的面积为 。
，
，解得 。
。
在我国古代数学名著《九章算术》中记载了“勾股容方”问题。如图，在 中，，，。在 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点 在 上，点 在 上。求正方形 的边长。
【解答】解：设正方形 的边长为 ，则 。
，四边形 是正方形，
，。
连接 。 的面积等于 与 的面积之和。
。
。
。
，
，即 。
解得 。
正方形 的边长为 。
在 中，，三边分别为 。已知 ，，求 的面积。
【解答】解：在 中，，由勾股定理得 。
已知 ，两边平方得：
。
展开得：。
将 代入，得：
，解得 ，即 。
。
二、勾股定理与立体展开最短路径问题
如图是一个底面周长为 、高为 的圆柱体。在圆柱底面点 处有一只蚂蚁，想吃到位于点 正上方、距下底面 的点 相对位置（即沿侧面旋转 ）的食物。求这只蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程。
【解答】解：将圆柱侧面展开成平面矩形，如图所示。
点 与点 在展开图上的相对位置如下：
水平方向的距离是底面周长的一半，即 ；
铅锤方向的距离是圆柱的高，即 。
连接 ，由“两点之间线段最短”可知，线段 的长即为蚂蚁爬行的最短路程。
在 中，由勾股定理得：
。
这只蚂蚁爬行的最短路程为 。
一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是 、 和 。 和 是这个台阶上两个相对的端点。一只蚂蚁沿台阶表面从点 爬到点 ，求蚂蚁爬行的最短路程。
【解答】解：将三级台阶表面展开成一个平面长方形。
展开后长方形的长为台阶的每一级宽与高之和的 倍，即 ；
长方形的宽为台阶的长，即 。
蚂蚁从点 爬到点 的最短路程为该展开长方形的对角线长。
在直角三角形中，由勾股定理得：
最短路程 。
蚂蚁爬行的最短路程为 。
如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 、 和 。一只蚂蚁从盒子底部的一个顶点 出发，沿盒子表面爬行到相对的顶部顶点 。求蚂蚁爬行的最短距离。
答】解：长方体展开时有三种不同的展法，需分类讨论求出各种情况下的距离，再取最小值：
① 沿前面和右侧面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
② 沿底面和前面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
③ 沿底面和右侧面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
如果点 位于对角线端点：
比较 ，因为 ，
最短路程为 （若尺寸为 则最短为 ，本题精确结果为 ）。
三、勾股定理与图形折叠方程
如图，在长方形纸片 中，，。点 在 边上，将 沿 翻折，使点 落在对角线 上的点 处。求线段 的长。
【解答】解：在长方形 中，，，。
在 中，由勾股定理得：
。
由折叠的性质可知：
。
，，。
，。
设 ，则 ，。
在 中，由勾股定理得：
，
即 。
整理得：。
移项得：，解得 。
线段 的长为 。
如图，将长方形纸片 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 与 交于点 。已知 ，。求 的面积。
【解答】解：由长方形性质知 ，，。
由折叠性质知 。
，。
设 ，则 。
在 中，。
由勾股定理得：，
即 。
整理得：。
，解得 。
。
。
如图，一架长 的梯子 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 离墙角 的距离为 。
（1）求此时梯子顶端 距地面的高度 ；
（2）如果梯子的顶端 沿墙下滑 到点 ，则梯子的底端 向外滑动到点 ，求底端滑动的距离 。
【解答】解：（1）在 中，，，。
由勾股定理得：
。
梯子顶端 距地面的高度为 。
（2）梯子顶端下滑 到 ，则 。
在 中，梯子长度不变，即 。
由勾股定理得：
。
。
梯子底端向外滑动的距离为 。
四、勾股定理逆定理与网格作图判定
如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 都在格点（小正方形的顶点）上。
（1）求线段 的长度；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）求 的面积。
【解答】解：（1）设小正方形边长为 。由勾股定理：
，；
，；
，。
（2） 是等腰直角三角形。理由如下：
，
由勾股定理的逆。
（3） 是以 为直角的等腰直角三角形，
。
已知三角形的三边长 满足 ，试判断该三角形的形状。
【解答】解：，
或 。
① 当 时，，，此时三角形为等腰三角形；
② 当 时，，由勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形（ 为斜边）；
五、平方根、立方根概念辨析与多非负数之和
下列说法正确的是（　　）
A. 的算术平方根是
B. 一定没有平方根
C. 一个数的立方根等于它本身，这个数是 或
D.
已知 ，求代数式 的值。
【解答】解：，，，
且它们的和为 ，
，解得 。
。
。
已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，求 的立方根。
【解答】解： 的平方根是 ，
，解得 ，即 。
的算术平方根是 ，
。
将 代入得：，即 ，解得 。
？等等，若 ：
设 ，当 时，， 的立方根为 。
若原题要求整数立方根，设 ，解得 则 ，立方根为 。
按本题数据：，其立方根为 。
六、无理数估算与整数小数部分化简
如图，在数轴上，以原点 为直角顶点，构造以 为底、高为 的 ，以 为圆心、斜边 为半径画弧交数轴正半轴于点 。
（1）求点 表示的实数；
（2）设点 表示的实数的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。
【解答】解：（1）在 中，两直角边为 和 。
由勾股定理得斜边 。
圆弧半径 。
点 表示的实数是 。
（2），。
的整数部分 。
小数部分 。
。
设 的整数部分是 ，小数部分是 。
（1）求 和 的值；
（2）求 的值。
【解答】解：（1），。
的整数部分 。
小数部分 。
（2）。
，，
。
已知实数 满足 ，且 是整数，求满足条件的所有 的个数及当 最大时 的整数部分。
【解答】解：对不等式 各项平方得：
，即 。
为整数， 可以取 ，共 个整数。
当 取得最大值 时，，。
的整数部分为 。
七、二次根式的化简求值与对称互补技巧
已知 ，，求代数式 的值。
【解答】解：，，
，
。
。
计算：。
【解答】解：原式
。
已知 ，，求 的值。
【解答】解：分母有理化：
；
。
，
。
。
八、双重二次根式、材料阅读与新定义运算
【阅读理解】
形如 的双重二次根式，如果能找到两个正数 使得 且 ，那么 ，从而可以化简：。
例如：化简 。
解：，，
。
【解决问题】
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若实数 满足 ，求 的值。
【解答】解：（1） 且 ，
。
（2）把 改写为 。
且 ，
。
（3）。
。
由题意得：，
解得 ，两边平方得 ，解得 。
检验：当 时，左边 ，符合题意。
。
对于任意两个不相等的正实数 ，定义一种新运算 。
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求正实数 的值。
【解答】解：（1）根据新运算定义：
。
（2）。
。
？等等，原式 ！
核对运算：。
。
（3）由 得：
。
去分母得：。
整理得：。
，解得 。
两边平方得：。
检验：当 时，分母 ，符合题意。
。八年级数学（北师大版）上册阶段压轴分类训练（一）
（第一章 勾股定理 、第二章 实数）
一、勾股定理与面积割补（赵爽弦图与等积转化）
如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，直角三角形较长直角边为 ，较短直角边为 。求 的值。
【解答】解：由题意可知，每个直角三角形的两条直角边长分别为 和 （），斜边长为 。
大正方形的面积为 。
中间小正方形的面积为 。
，
，解得 。
。
在我国古代数学名著《九章算术》中记载了“勾股容方”问题。如图，在 中，，，。在 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点 在 上，点 在 上。求正方形 的边长。
【解答】解：设正方形 的边长为 ，则 。
，四边形 是正方形，
，。
连接 。 的面积等于 与 的面积之和。
。
。
。
，
，即 。
解得 。
正方形 的边长为 。
在 中，，三边分别为 。已知 ，，求 的面积。
【解答】解：在 中，，由勾股定理得 。
已知 ，两边平方得：
。
展开得：。
将 代入，得：
，解得 ，即 。
。
二、勾股定理与立体展开最短路径问题
如图是一个底面周长为 、高为 的圆柱体。在圆柱底面点 处有一只蚂蚁，想吃到位于点 正上方、距下底面 的点 相对位置（即沿侧面旋转 ）的食物。求这只蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程。
【解答】解：将圆柱侧面展开成平面矩形，如图所示。
点 与点 在展开图上的相对位置如下：
水平方向的距离是底面周长的一半，即 ；
铅锤方向的距离是圆柱的高，即 。
连接 ，由“两点之间线段最短”可知，线段 的长即为蚂蚁爬行的最短路程。
在 中，由勾股定理得：
。
这只蚂蚁爬行的最短路程为 。
一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是 、 和 。 和 是这个台阶上两个相对的端点。一只蚂蚁沿台阶表面从点 爬到点 ，求蚂蚁爬行的最短路程。
【解答】解：将三级台阶表面展开成一个平面长方形。
展开后长方形的长为台阶的每一级宽与高之和的 倍，即 ；
长方形的宽为台阶的长，即 。
蚂蚁从点 爬到点 的最短路程为该展开长方形的对角线长。
在直角三角形中，由勾股定理得：
最短路程 。
蚂蚁爬行的最短路程为 。
如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 、 和 。一只蚂蚁从盒子底部的一个顶点 出发，沿盒子表面爬行到相对的顶部顶点 。求蚂蚁爬行的最短距离。
【解答】解：长方体展开时有三种不同的展法，需分类讨论求出各种情况下的距离，再取最小值：
① 沿前面和右侧面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
② 沿底面和前面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
③ 沿底面和右侧面展开：两直角边分别为 和 ，
距离 ；
如果点 位于对角线端点：
比较 ，因为 ，
最短路程为 （若尺寸为 则最短为 ，本题精确结果为 ）。
三、勾股定理与图形折叠方程
如图，在长方形纸片 中，，。点 在 边上，将 沿 翻折，使点 落在对角线 上的点 处。求线段 的长。
【解答】解：在长方形 中，，，。
在 中，由勾股定理得：
。
由折叠的性质可知：
。
，，。
，。
设 ，则 ，。
在 中，由勾股定理得：
，
即 。
整理得：。
移项得：，解得 。
线段 的长为 。
如图，将长方形纸片 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 与 交于点 。已知 ，。求 的面积。
【解答】解：由长方形性质知 ，，。
由折叠性质知 。
，。
设 ，则 。
在 中，。
由勾股定理得：，
即 。
整理得：。
，解得 。
。
。
如图，一架长 的梯子 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 离墙角 的距离为 。
（1）求此时梯子顶端 距地面的高度 ；
（2）如果梯子的顶端 沿墙下滑 到点 ，则梯子的底端 向外滑动到点 ，求底端滑动的距离 。
【解答】解：（1）在 中，，，。
由勾股定理得：
。
梯子顶端 距地面的高度为 。
（2）梯子顶端下滑 到 ，则 。
在 中，梯子长度不变，即 。
由勾股定理得：
。
。
梯子底端向外滑动的距离为 。
四、勾股定理逆定理与网格作图判定
如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 都在格点（小正方形的顶点）上。
（1）求线段 的长度；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）求 的面积。
【解答】解：（1）设小正方形边长为 。由勾股定理：
，；
，；
，。
（2） 是等腰直角三角形。理由如下：
，
由勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形，且 。
又 ，
是等腰直角三角形。
（3） 是以 为直角的等腰直角三角形，
。
已知三角形的三边长 满足 ，试判断该三角形的形状。
【解答】解：，
或 。
① 当 时，，，此时三角形为等腰三角形；
② 当 时，，由勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形（ 为斜边）；
③ 当 且 同时成立时，该三角形为等腰直角三角形。
综上所述，该三角形的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
五、平方根、立方根概念辨析与多非负数之和
下列说法正确的是（　　）
A. 的算术平方根是
B. 一定没有平方根
C. 一个数的立方根等于它本身，这个数是 或
D.
【解答】
A项：， 的算术平方根是 ，故 A 错误；
B项：当 时，， 的平方根是 ，故 B 错误；
C项：立方根等于本身的数是 ，故 C 正确；
D项：，故 D 错误。
故选 C。
已知 ，求代数式 的值。
【解答】解：，，，
且它们的和为 ，
，解得 。
。
。
已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，求 的立方根。
【解答】解： 的平方根是 ，
，解得 ，即 。
的算术平方根是 ，
。
将 代入得：，即 ，解得 。
？等等，若 ：
设 ，当 时，， 的立方根为 。
若原题要求整数立方根，设 ，解得 则 ，立方根为 。
按本题数据：，其立方根为 。
六、无理数估算与整数小数部分化简
如图，在数轴上，以原点 为直角顶点，构造以 为底、高为 的 ，以 为圆心、斜边 为半径画弧交数轴正半轴于点 。
（1）求点 表示的实数；
（2）设点 表示的实数的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。
【解答】解：（1）在 中，两直角边为 和 。
由勾股定理得斜边 。
圆弧半径 。
点 表示的实数是 。
（2），。
的整数部分 。
小数部分 。
。
设 的整数部分是 ，小数部分是 。
（1）求 和 的值；
（2）求 的值。
【解答】解：（1），。
的整数部分 。
小数部分 。
（2）。
，，
。
已知实数 满足 ，且 是整数，求满足条件的所有 的个数及当 最大时 的整数部分。
【解答】解：对不等式 各项平方得：
，即 。
为整数， 可以取 ，共 个整数。
当 取得最大值 时，，。
的整数部分为 。
七、二次根式的化简求值与对称互补技巧
已知 ，，求代数式 的值。
【解答】解：，，
，
。
。
计算：。
【解答】解：原式
。
已知 ，，求 的值。
【解答】解：分母有理化：
；
。
，
。
。
八、双重二次根式、材料阅读与新定义运算
【阅读理解】
形如 的双重二次根式，如果能找到两个正数 使得 且 ，那么 ，从而可以化简：。
例如：化简 。
解：，，
。
【解决问题】
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若实数 满足 ，求 的值。
【解答】解：（1） 且 ，
。
（2）把 改写为 。
且 ，
。
（3）。
。
由题意得：，
解得 ，两边平方得 ，解得 。
检验：当 时，左边 ，符合题意。
。
对于任意两个不相等的正实数 ，定义一种新运算 。
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求正实数 的值。
【解答】解：（1）根据新运算定义：
。
（2）。
。
？等等，原式 ！
核对运算：。
。
（3）由 得：
。
去分母得：。
整理得：。
，解得 。
两边平方得：。
检验：当 时，分母 ，符合题意。
。

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