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陕西宝鸡市陇县2025-2026学年八年级下学期期中教学质量检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式中为二次根式的是(　　)
A． B． C． D．2025
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A.被开方数不能是负数，故本选项不符合题意；
B.原式=3，故本选项不符合题意；
C.符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D.是有理数，故本选项不符合题意.
故选：C.
【分析】根据二次根式的概念逐项判断即可.
2．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为(　　)
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：=.
故选：B.
【分析】根据勾股定理直接计算即可.
3．正八边形的每个内角的度数为(　　)
A．105° B．120° C．135° D．145°
【答案】C
【知识点】邻补角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：180°-360°÷8
=180°-45°
=135°.
故选：C.
【分析】根据多边形的外角和为360°，先求出每个外角的度数，再根据邻补角的定义即可得出答案.
4．下列等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A.等式的左边=5，等式的右边=7，故本选项不符合题意；
B.等式的左边=12，等式的右边=12，故本选项符合题意；
C.等式的左边=，等式的右边=1，故本选项不符合题意；
D.等式的左边=，等式的右边=，故本选项不符合题意.
故选：B.
【分析】分别计算每个选项等号左边和右边的得数，再判断即可.
5．在△ABC中， AC=BC=10， CD为AB边上的中线， CD=6， AF平分外角∠BAE，过D作DE∥CA交AF 于点F，则DF的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AC=BC=10， CD为AB边上的中线，
∴∠BDC=90°，
∵ CD=6，
∴AD=BD==8，
∵ DF∥CA ，
∴∠F=∠FAE，
∵ AF平分外角∠BAE，
∴∠DAF=∠FAE，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=8.
故选：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得∠BDC=90°，再根据勾股定理可得AD=8，再根据平行线及角平分线可得∠DAF=∠F，进而得出答案.
6．如图，在Rt△ABC中， AB=4，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF .若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为(　　)
A． B． C．12 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 正方形ADEF的面积为16，
∴AD=4，
∵ 在Rt△ABC中， 点D是斜边BC的中点，
∴BC=2AD=8，
∵ AB=4，
∴AC==4，
∴ △ABC的周长 =AB+BC+AC=4+8+4=12+4.
故选：B.
【分析】根据正方形的面积可得AD=4，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=8，根据勾股定理可得AC的长度，进而得出答案.
7．如图，三角形纸片ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=6.沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E则AE的长是(　　)
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得∠B=∠ADB，∠C=∠EDC，AD=AB=4，DE=CE，
令AE=x，则DE=CE=6-x，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∴∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
∴42+(6-x)2=x2，
∴x=.
【分析】由折叠可得∠B=∠ADB，∠C=∠EDC，AD=AB=4，DE=CE，令AE=x，则DE=CE=6-x，先说明∠ADE=90°，再根据勾股定理列方程式，进而得出答案.
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F.连接DF，若CF=2， BD=4，则DF的长是(　　)
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BE，EC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD∥BC，AB=AD=BC，
∴AE∥CF，
∵ EF⊥BD，
∴AC∥EF，
∴四边形AEFC为平行四边形，
∴CF=AE，
∵ CF=2，
∴AE=2，
∵E为AD的中点，
∴AD=4，
∴AB=BC=4，
∵ BD=4，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，∠AEB=90°，
∴∠DBC=60°，∠EBD=30°，BE==2，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=90°，
∵ CF=ED=2，CF∥ED，
∴四边形EDFC为平行四边形，
∴EC=DF，
∵EC==2，
∴DF=2.
故选：C.
【分析】连接AC，BE，EC，根据一组对边平行且相等说明四边形AEFC为平行四边形，再通过3边相等说明△ABD为等边三角形，根据勾股定理求出BE的长度，接着根据一组对边平行且相等说明四边形EDFC为平行四边形，最后根据勾股定理可得EC的长度，进而得出答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
9．计算： =　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： = =3 ．
故答案为3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即 =|a|．
10．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C.若
则 Sc=　 　.
【答案】8
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C ，
∴SB+SC=SA，
∵
∴SC=26-18=8.
故答案为：8.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
11．如图，在矩形ABCD中， AB=6， BC=8，点E， F分别在AD， BC上，连接BE， DF ， EF ， BD.若四边形BEDF是菱形，则EF的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ 在矩形ABCD中， AB=6， BC=8，
∴AC==10，
∴AO=5，
∴OB=5，
∵ 四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE=BF，∠EOB=90°，
∵BE2=AE2+AB2，
∴BE2=（8-BE）2+36，
∴BE=，
∴EO2=BE2-BO2=，
∴EO=，
∴EF=2EO=.
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长度，再根据矩形的性质求出OB的长度，在直角三角形AEB中根据勾股定理建立BE的方程式，求出BE的长度，再在直角三角形ABO中根据勾股定理求出EO的长度，进而得出答案.
12．=　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；完全平方式；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=.
故答案为：.
【分析】将8分成7+1，再将7写成带有根号的形式，最后根据完全平方公式及二次根式的性质即可得出答案.
13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC交BD 于 O，已知AB=10 ， AC=12，BD=16 ，那么点 O 到BC的距离为　 　.
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，
由题意知，
，，
∵AB=10
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=10，
∵
∴
即点O到BC的距离为4.8
故答案为：4.8.
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出∠AOB=90°，即可判定四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质求出BC，再根据三角形面积公式求解即可.
14．如图，线段AB=6，点C在AB上，且AC=4.以C为顶点作等边三角形CPQ，连接AP、BQ.当AP+BQ最小时， △CPQ的边长最小是　 　.
【答案】或
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=6，AC=4，
∴BC=2，
∵△ CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠CPQ=60°，CP=CQ=PQ，
∴△ACP绕点C顺时针旋转60°后得到△A’CQ，
∴△ACP≌△A’CQ，
∴∠ACA’=60°，
∴AC=A’C=4，AP=A’Q，
∴AP+BQ=A’Q+BQ≥ A'B，
∴当CQ⊥A'B时，CQ最小，
过 A'作 A'D⊥AB，
则CQ⊥ A'B，
∵∠ACA’=60°，
∴∠CA'D=30°，
∴CD==2，==2，
∴BD=CD+BC=4，==2，
∵的面积=，
∴CQ==，
∴ △CPQ的边长最小是.
故答案为：.
【分析】将△ACP绕点C顺时针旋转60°后得到△A’CQ，当三点共线时AP+BQ的值最小，再利用垂线段最短即可得出CQ的最小值，最后利等面积法进行求解即可.
三、解答题：本题共12小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．计算：
【答案】解：
=（）
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简每个二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可.
16．在△ABC中， ∠C=90°，若AC=6， AB=8，求△ABC的周长.
【答案】解： ∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2，
∵AC=6， AB=8，
∴△ABC的周长=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出BC的长度，进而得出答案.
17．如图，在矩形ABCD中， AE||BD，且交CB的延长线于点E.求证： AE=AC.
【答案】证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD， AD||BC，
∴AD||BE，
∵AE||BD，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
∴AE=BD，
∴AE=AC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得AC=BD， AD||BC，再根据AE||BD说明四边形AEBD 是平行四边形，则AE=BD，即可得证.
18．尺规作图：如图，四边形ABCD是矩形.请用无刻度的直尺和圆规分别在AD，BC边上作出点E，F，使得四边形AECF 是菱形(保留作图痕迹，不写作法).
【答案】解：连接AC，分别以点A，C为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，N，连接MN ，交BC于点F，交AD于点E，连接AF， CE，
四边形AECF即为所求.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】设AC、EF交于点O，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥EF， OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中 ，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴AE=CF，
又
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF 是菱形.
【分析】连接AC，分别以点A，C为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，N，连接MN ，交BC于点F，交AD于点E，连接AF， CE，四边形AECF即为所求.
19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.求证： △DCE≌△BFE；
【答案】解：根据折叠的性质可得： ∠ADB=∠BDF， ∠F=∠A=∠C=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
∵
∴△DCE≌△BFE（AAS）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据折叠的性质可得： ∠ADB=∠BDF， ∠F=∠A=∠C=90°，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，进而得出∠DBC=∠BDF，再根据AAS即可得证.
20．已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，然后将a、b代入计算即可；
（2）将待求式变形为(a-b)2+ab，然后将a、b的值代入计算即可.
21．如图，在△ABC中， AB=14， BC=15， AC=13， AD⊥BC.求△ABC的面积.
【答案】解：设BD=x，则CD=15-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
∴
∴
∵在Rt△ABD中，
∴AD=，
，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】设BD=x，则CD=15-x，根据勾股定理建立方程式，求出BD的长度，再次利用勾股定理求出AD的长度，进而得出答案.
22．如图，校园里有一块四边形ABCD的空地，AB=15m，BC=18m，CD=8m，AD=17m..过点A修两条小路AE和AC，且AE⊥BC，点E恰好是BC的中点.
（1）求小路AE和AC的长.
（2）求这块空地的面积.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，点E恰好是BC的中点，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BE=，
∵ AB=15m，BC=18m，
.
（2）解：∵CD=8m， AD=17m， AC=15m，
∴∠ACD=90°，
即这块空地的面积为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；多边形的面积
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AE是线段BC的垂直平分线，则可得再根据勾股定理即可得出答案；
（2）根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再根据，即可得出答案.
23．如图，菱形的对角线，相交于点，在上截取，顺次连接，，，四点．求证：四边形是正方形，
【答案】证明：∵菱形的对角线，相交于点，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
又∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质得出，．根据题意，得出，则四边形是矩形．根据，即可证明四边形是正方形．
24．在钝角三角形ABC中，已知∠BAC为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若 求∠BAC的度数.
【答案】解：连接AD，AE ，
∵边AB ， AC 的垂直平分线分别交BC于点 D， E，
∴AD=BD，CE=AE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴ ∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴2∠B+2∠C=90°，
∴∠B+∠C=45°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，CE=AE，则∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得出则∠DAE=90°，最后根据角的和差即可得出答案.
25．阅读下列材料，解答后面的问题：
（1）写出下一个等式；
（2）计算 的值；
（3）请求出 的运算结果.
【答案】（1）解：通过观察可得 .
（2）解：原式
=10-1
=9；
（3）解：原式
=
=2126-100
=2026.
【知识点】分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察即可得出规律；
（2）通过规律即可得出答案；
（3）先变形，再计算即可.
26．已知正方形ABCD，在边DC上有一动点E，连接AE，一条与AE垂直的直线l沿AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F.
（1）如图1所示，当直线l经过正方形ABCD顶点B时，则 　 　.
（2）如图2所示，直线l沿AE继续向上平移，连接PB，当 求PA+PB的最小值；
（3）如图3所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，求∠AEG的度数.
【答案】（1）1
（2）解：连接BP，过P作PG⊥AB，
即
∴ PG=4，
∴点P在距离AB为4的直线MN上运动，
作A关于MN的对称点A'，连接A'C，PB，则A'P=AP， AA'=8，
∴AP+BP=A'P+BP，
∵A'P+BP≥A'C，
∴当A'、P、C在一条直线上时， A'P+BP有最小值，
∴AP+BP的最小值为10.
（3）解：如图，连接AG， CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC， ∠ADG=∠CDG=45°，
∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴GA=GC， ∠DAG=∠DCG，
∵EG 垂直平分线段AE，
∴GA=GE，
∴GC=GE，
∴∠GEC=∠GCE，
∴∠GEC=∠DAG，
∵∠DEG+∠CEG=180°，
∴∠DEG+∠DAG=180°，
∴∠ADE+∠AGE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠AGE=90°，
∵GA=GE
∴∠AEG=∠EAG=45°.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：在正方形ABCD中，
∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAP+∠PAB=90°，
∵AE⊥BP，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠DAP=∠PBA，
∴△AED≌△BFA（ASA），
∴AE=BF，
∴
故答案为：1.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DAP=∠PBA，再根据ASA证明△AED≌△BFA，则AE=BF，即可得出答案；
（2）连接BP，过P作PG⊥AB，根据三角形的面积公式可得 PG=4，则确定点P在距离AB为4的直线MN上运动，根据三点共线时可得AP+BP的最小值；
（3）连接AG， CG，根据SAS说明△ADG≌△CDG，则GA=GC， ∠DAG=∠DCG，再根据线段垂直平分线的性质可得GA=GE，进而得出∠GEC=∠DAG，即可求出答案.
1 / 1陕西宝鸡市陇县2025-2026学年八年级下学期期中教学质量检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式中为二次根式的是(　　)
A． B． C． D．2025
2．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为(　　)
A． B． C．4 D．5
3．正八边形的每个内角的度数为(　　)
A．105° B．120° C．135° D．145°
4．下列等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
5．在△ABC中， AC=BC=10， CD为AB边上的中线， CD=6， AF平分外角∠BAE，过D作DE∥CA交AF 于点F，则DF的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，在Rt△ABC中， AB=4，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF .若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为(　　)
A． B． C．12 D．24
7．如图，三角形纸片ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=6.沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E则AE的长是(　　)
A． B． C． D．5
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F.连接DF，若CF=2， BD=4，则DF的长是(　　)
A．4 B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
9．计算： =　 　．
10．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C.若
则 Sc=　 　.
11．如图，在矩形ABCD中， AB=6， BC=8，点E， F分别在AD， BC上，连接BE， DF ， EF ， BD.若四边形BEDF是菱形，则EF的长为　 　.
12．=　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC交BD 于 O，已知AB=10 ， AC=12，BD=16 ，那么点 O 到BC的距离为　 　.
14．如图，线段AB=6，点C在AB上，且AC=4.以C为顶点作等边三角形CPQ，连接AP、BQ.当AP+BQ最小时， △CPQ的边长最小是　 　.
三、解答题：本题共12小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．计算：
16．在△ABC中， ∠C=90°，若AC=6， AB=8，求△ABC的周长.
17．如图，在矩形ABCD中， AE||BD，且交CB的延长线于点E.求证： AE=AC.
18．尺规作图：如图，四边形ABCD是矩形.请用无刻度的直尺和圆规分别在AD，BC边上作出点E，F，使得四边形AECF 是菱形(保留作图痕迹，不写作法).
19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.求证： △DCE≌△BFE；
20．已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）
21．如图，在△ABC中， AB=14， BC=15， AC=13， AD⊥BC.求△ABC的面积.
22．如图，校园里有一块四边形ABCD的空地，AB=15m，BC=18m，CD=8m，AD=17m..过点A修两条小路AE和AC，且AE⊥BC，点E恰好是BC的中点.
（1）求小路AE和AC的长.
（2）求这块空地的面积.
23．如图，菱形的对角线，相交于点，在上截取，顺次连接，，，四点．求证：四边形是正方形，
24．在钝角三角形ABC中，已知∠BAC为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若 求∠BAC的度数.
25．阅读下列材料，解答后面的问题：
（1）写出下一个等式；
（2）计算 的值；
（3）请求出 的运算结果.
26．已知正方形ABCD，在边DC上有一动点E，连接AE，一条与AE垂直的直线l沿AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F.
（1）如图1所示，当直线l经过正方形ABCD顶点B时，则 　 　.
（2）如图2所示，直线l沿AE继续向上平移，连接PB，当 求PA+PB的最小值；
（3）如图3所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，求∠AEG的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A.被开方数不能是负数，故本选项不符合题意；
B.原式=3，故本选项不符合题意；
C.符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D.是有理数，故本选项不符合题意.
故选：C.
【分析】根据二次根式的概念逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：=.
故选：B.
【分析】根据勾股定理直接计算即可.
3．【答案】C
【知识点】邻补角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：180°-360°÷8
=180°-45°
=135°.
故选：C.
【分析】根据多边形的外角和为360°，先求出每个外角的度数，再根据邻补角的定义即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A.等式的左边=5，等式的右边=7，故本选项不符合题意；
B.等式的左边=12，等式的右边=12，故本选项符合题意；
C.等式的左边=，等式的右边=1，故本选项不符合题意；
D.等式的左边=，等式的右边=，故本选项不符合题意.
故选：B.
【分析】分别计算每个选项等号左边和右边的得数，再判断即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AC=BC=10， CD为AB边上的中线，
∴∠BDC=90°，
∵ CD=6，
∴AD=BD==8，
∵ DF∥CA ，
∴∠F=∠FAE，
∵ AF平分外角∠BAE，
∴∠DAF=∠FAE，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=8.
故选：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得∠BDC=90°，再根据勾股定理可得AD=8，再根据平行线及角平分线可得∠DAF=∠F，进而得出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 正方形ADEF的面积为16，
∴AD=4，
∵ 在Rt△ABC中， 点D是斜边BC的中点，
∴BC=2AD=8，
∵ AB=4，
∴AC==4，
∴ △ABC的周长 =AB+BC+AC=4+8+4=12+4.
故选：B.
【分析】根据正方形的面积可得AD=4，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=8，根据勾股定理可得AC的长度，进而得出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得∠B=∠ADB，∠C=∠EDC，AD=AB=4，DE=CE，
令AE=x，则DE=CE=6-x，
∵ ∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∴∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
∴42+(6-x)2=x2，
∴x=.
【分析】由折叠可得∠B=∠ADB，∠C=∠EDC，AD=AB=4，DE=CE，令AE=x，则DE=CE=6-x，先说明∠ADE=90°，再根据勾股定理列方程式，进而得出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BE，EC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD∥BC，AB=AD=BC，
∴AE∥CF，
∵ EF⊥BD，
∴AC∥EF，
∴四边形AEFC为平行四边形，
∴CF=AE，
∵ CF=2，
∴AE=2，
∵E为AD的中点，
∴AD=4，
∴AB=BC=4，
∵ BD=4，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，∠AEB=90°，
∴∠DBC=60°，∠EBD=30°，BE==2，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=90°，
∵ CF=ED=2，CF∥ED，
∴四边形EDFC为平行四边形，
∴EC=DF，
∵EC==2，
∴DF=2.
故选：C.
【分析】连接AC，BE，EC，根据一组对边平行且相等说明四边形AEFC为平行四边形，再通过3边相等说明△ABD为等边三角形，根据勾股定理求出BE的长度，接着根据一组对边平行且相等说明四边形EDFC为平行四边形，最后根据勾股定理可得EC的长度，进而得出答案.
9．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： = =3 ．
故答案为3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即 =|a|．
10．【答案】8
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A，B，C ，
∴SB+SC=SA，
∵
∴SC=26-18=8.
故答案为：8.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ 在矩形ABCD中， AB=6， BC=8，
∴AC==10，
∴AO=5，
∴OB=5，
∵ 四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE=BF，∠EOB=90°，
∵BE2=AE2+AB2，
∴BE2=（8-BE）2+36，
∴BE=，
∴EO2=BE2-BO2=，
∴EO=，
∴EF=2EO=.
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长度，再根据矩形的性质求出OB的长度，在直角三角形AEB中根据勾股定理建立BE的方程式，求出BE的长度，再在直角三角形ABO中根据勾股定理求出EO的长度，进而得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；完全平方式；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=.
故答案为：.
【分析】将8分成7+1，再将7写成带有根号的形式，最后根据完全平方公式及二次根式的性质即可得出答案.
13．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥BC于点M，
由题意知，
，，
∵AB=10
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=10，
∵
∴
即点O到BC的距离为4.8
故答案为：4.8.
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出∠AOB=90°，即可判定四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质求出BC，再根据三角形面积公式求解即可.
14．【答案】或
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=6，AC=4，
∴BC=2，
∵△ CPQ为等边三角形，
∴∠PCQ=∠CPQ=60°，CP=CQ=PQ，
∴△ACP绕点C顺时针旋转60°后得到△A’CQ，
∴△ACP≌△A’CQ，
∴∠ACA’=60°，
∴AC=A’C=4，AP=A’Q，
∴AP+BQ=A’Q+BQ≥ A'B，
∴当CQ⊥A'B时，CQ最小，
过 A'作 A'D⊥AB，
则CQ⊥ A'B，
∵∠ACA’=60°，
∴∠CA'D=30°，
∴CD==2，==2，
∴BD=CD+BC=4，==2，
∵的面积=，
∴CQ==，
∴ △CPQ的边长最小是.
故答案为：.
【分析】将△ACP绕点C顺时针旋转60°后得到△A’CQ，当三点共线时AP+BQ的值最小，再利用垂线段最短即可得出CQ的最小值，最后利等面积法进行求解即可.
15．【答案】解：
=（）
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先化简每个二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可.
16．【答案】解： ∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2，
∵AC=6， AB=8，
∴△ABC的周长=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出BC的长度，进而得出答案.
17．【答案】证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD， AD||BC，
∴AD||BE，
∵AE||BD，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
∴AE=BD，
∴AE=AC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得AC=BD， AD||BC，再根据AE||BD说明四边形AEBD 是平行四边形，则AE=BD，即可得证.
18．【答案】解：连接AC，分别以点A，C为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，N，连接MN ，交BC于点F，交AD于点E，连接AF， CE，
四边形AECF即为所求.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】设AC、EF交于点O，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥EF， OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中 ，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴AE=CF，
又
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF 是菱形.
【分析】连接AC，分别以点A，C为圆心，以大于 为半径画弧交于点M，N，连接MN ，交BC于点F，交AD于点E，连接AF， CE，四边形AECF即为所求.
19．【答案】解：根据折叠的性质可得： ∠ADB=∠BDF， ∠F=∠A=∠C=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
∵
∴△DCE≌△BFE（AAS）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据折叠的性质可得： ∠ADB=∠BDF， ∠F=∠A=∠C=90°，根据平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，进而得出∠DBC=∠BDF，再根据AAS即可得证.
20．【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，然后将a、b代入计算即可；
（2）将待求式变形为(a-b)2+ab，然后将a、b的值代入计算即可.
21．【答案】解：设BD=x，则CD=15-x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
∴
∴
∵在Rt△ABD中，
∴AD=，
，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】设BD=x，则CD=15-x，根据勾股定理建立方程式，求出BD的长度，再次利用勾股定理求出AD的长度，进而得出答案.
22．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，点E恰好是BC的中点，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BE=，
∵ AB=15m，BC=18m，
.
（2）解：∵CD=8m， AD=17m， AC=15m，
∴∠ACD=90°，
即这块空地的面积为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；多边形的面积
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AE是线段BC的垂直平分线，则可得再根据勾股定理即可得出答案；
（2）根据勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再根据，即可得出答案.
23．【答案】证明：∵菱形的对角线，相交于点，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
又∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质得出，．根据题意，得出，则四边形是矩形．根据，即可证明四边形是正方形．
24．【答案】解：连接AD，AE ，
∵边AB ， AC 的垂直平分线分别交BC于点 D， E，
∴AD=BD，CE=AE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴ ∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴2∠B+2∠C=90°，
∴∠B+∠C=45°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=BD，CE=AE，则∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得出则∠DAE=90°，最后根据角的和差即可得出答案.
25．【答案】（1）解：通过观察可得 .
（2）解：原式
=10-1
=9；
（3）解：原式
=
=2126-100
=2026.
【知识点】分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察即可得出规律；
（2）通过规律即可得出答案；
（3）先变形，再计算即可.
26．【答案】（1）1
（2）解：连接BP，过P作PG⊥AB，
即
∴ PG=4，
∴点P在距离AB为4的直线MN上运动，
作A关于MN的对称点A'，连接A'C，PB，则A'P=AP， AA'=8，
∴AP+BP=A'P+BP，
∵A'P+BP≥A'C，
∴当A'、P、C在一条直线上时， A'P+BP有最小值，
∴AP+BP的最小值为10.
（3）解：如图，连接AG， CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC， ∠ADG=∠CDG=45°，
∵DG=DG，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴GA=GC， ∠DAG=∠DCG，
∵EG 垂直平分线段AE，
∴GA=GE，
∴GC=GE，
∴∠GEC=∠GCE，
∴∠GEC=∠DAG，
∵∠DEG+∠CEG=180°，
∴∠DEG+∠DAG=180°，
∴∠ADE+∠AGE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠AGE=90°，
∵GA=GE
∴∠AEG=∠EAG=45°.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：在正方形ABCD中，
∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAP+∠PAB=90°，
∵AE⊥BP，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠DAP=∠PBA，
∴△AED≌△BFA（ASA），
∴AE=BF，
∴
故答案为：1.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DAP=∠PBA，再根据ASA证明△AED≌△BFA，则AE=BF，即可得出答案；
（2）连接BP，过P作PG⊥AB，根据三角形的面积公式可得 PG=4，则确定点P在距离AB为4的直线MN上运动，根据三点共线时可得AP+BP的最小值；
（3）连接AG， CG，根据SAS说明△ADG≌△CDG，则GA=GC， ∠DAG=∠DCG，再根据线段垂直平分线的性质可得GA=GE，进而得出∠GEC=∠DAG，即可求出答案.
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