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七年级数学（人教版）上册阶段压轴题训练（一）
（第一章 有理数&第二章有理数的运算）
一、有理数的概念与正负数的意义
某超市一周内五天的盈亏情况如下（盈余记为正，亏损记为负）：星期一 元，星期二 元，星期三 元，星期四 元，星期五 元。根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A. 这五天中亏损的天数为 天 B. 这五天共盈余 元
C. 亏损最多的一天亏损 元 D. 这五天共盈余 元
某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进记为正，运出记为负，单位：吨）：
，，，，，。
若该粮库原有粮食 吨，则这一周结束后粮库内有粮食______吨。
二、数轴、相反数与绝对值的概念辨析
下列说法中，正确的有（　　）
① 一个数的绝对值一定是正数；
② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 、 互为相反数；
④ 数轴上表示 的点一定在原点的左边。
A. 个　 B. 个　 C. 个　 D. 个
数轴上点 表示的数是 ，点 与点 相距 个单位长度，则点 表示的数是______。
三、绝对值的非负性
若 ，则 的值是______。
已知 与 互为相反数，求 的值。
式子 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______，此时 ______。
四、绝对值的几何意义与化简
有理数 、、 在数轴上的位置如图所示，且 。化简：。
已知 ，，且 ，则 的值是______。
五、绝对值的距离和最值与分类讨论
阅读材料：
数轴上表示 和 的两点之间的距离是 。一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 。例如，表示 和 的两点之间的距离可以表示为 。
根据上述材料，解答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是______；
（2）若数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ，则 的值是______；
（3）求 的最小值，并写出此时 的取值范围。
结合数轴求 的最小值，并指出此时 的值。
若 ，则 的取值范围是______。
六、有理数的加减运算与巧算
计算：。
计算：
计算：
七、有理数的乘除与乘方
下列各组数中，值相等的一组是（　　）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
计算：______。
已知 ，，且 ，求 的值。
八、有理数的混合运算与运算律
计算：
计算：。
计算：
九、数轴上的动点问题
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 秒。
（1）用含 的式子表示点 、点 对应的数；
（2）当 为何值时，、 两点相遇？相遇点表示的数是多少？
（3）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动。设运动时间为 秒。
（1）用含 的式子表示点 、点 对应的数；
（2）经过几秒，点 追上点 ？
（3）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 秒。
（1）当 为何值时，、 两点相遇？相遇点表示的数是多少？
（2）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
（3）若点 是线段 的中点，用含 的式子表示点 对应的数，并求当 时点 对应的数。
十、新定义运算与规律探索
定义一种新运算：对任意有理数 、，规定 。
例如：。
（1）计算 的值；
（2）计算 的值；
（3）对于任意有理数 、， 与 的值是否相等？请说明理由。
规定新运算：。
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的值。
观察下列等式：
，
，
。
（1）仿照上面的等式，写出 的类似形式；
（2）利用上面的规律，计算 的值。七年级数学（人教版）上册阶段压轴题训练（一）
（第一章 有理数&第二章有理数的运算）
一、有理数的概念与正负数的意义
某超市一周内五天的盈亏情况如下（盈余记为正，亏损记为负）：星期一 元，星期二 元，星期三 元，星期四 元，星期五 元。根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A. 这五天中亏损的天数为 天 B. 这五天共盈余 元
C. 亏损最多的一天亏损 元 D. 这五天共盈余 元
【答案】B
【解答】
这五天中记录为负数的只有星期二、星期四，共 天，所以 A 错误；
这五天的盈亏总和为 （元），是盈余 元，所以 B 正确；
亏损最多的一天是星期四，亏损 元，所以 C 错误；
五天盈亏总和为 元，不是 元，所以 D 错误。
所以选 B。
某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进记为正，运出记为负，单位：吨）：
，，，，，。
若该粮库原有粮食 吨，则这一周结束后粮库内有粮食______吨。
【答案】
【解答】先求这一周进出粮食的总量：
（吨）。
原有粮食 吨，所以一周结束后粮库内有粮食 （吨）。
所以填 。
二、数轴、相反数与绝对值的概念辨析
下列说法中，正确的有（　　）
① 一个数的绝对值一定是正数；
② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 、 互为相反数；
④ 数轴上表示 的点一定在原点的左边。
A. 个　 B. 个　 C. 个　 D. 个
【答案】A
【解答】① 的绝对值是 ，而 不是正数，所以①错误；
② 由 只能得到 或 ，例如 ，但 ，所以②错误；
③ 根据相反数的定义，若 ，则 、 互为相反数，所以③正确；
④ 当 是负数时， 是正数，表示 的点在原点右边，例如 时 ，所以④错误。
所以正确的只有③，共 个，选 A。
数轴上点 表示的数是 ，点 与点 相距 个单位长度，则点 表示的数是______。
【答案】 或
【解答】点 可能在点 的右边，也可能在点 的左边，需要分类讨论。
当点 在点 的右边时，点 表示的数是 ；
当点 在点 的左边时，点 表示的数是 。
所以点 表示的数是 或 。
三、绝对值的非负性
若 ，则 的值是______。
【答案】
【解答】因为 ，，且这两个非负数的和为 ，
所以 且 。
由 得 ，即 ；
由 得 ，即 。
所以 ，
。
已知 与 互为相反数，求 的值。
【答案】
【解答】因为 与 互为相反数，
所以 。
又因为 ，，
所以 ，，
解得 ，。
所以 。
式子 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______，此时 ______。
【解答】因为 ，所以 。
当 ，即 ， 时， 取得最大值 。
所以式子 有最大值 ，此时.
四、绝对值的几何意义与化简
有理数 、、 在数轴上的位置如图所示，且 。化简：。
【答案】
【解答】由数轴可知 。
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 。
原式
。
已知 ，，且 ，则 的值是______。
【答案】 或
【解答】由 得 或 ；由 得 或 。
因为 ，所以 。
当 ， 时，，符合条件；
当 ， 时，，符合条件；
当 ， 时，，不符合条件；
当 ， 时，，不符合条件。
所以 ， 或 ，。
当 ， 时，；
当 ， 时，。
所以 的值是 或 。
五、绝对值的距离和最值与分类讨论
阅读材料：
数轴上表示 和 的两点之间的距离是 。一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 。例如，表示 和 的两点之间的距离可以表示为 。
根据上述材料，解答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是______；
（2）若数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ，则 的值是______；
（3）求 的最小值，并写出此时 的取值范围。
【解答】（1）。
（2）由题意，得 ，
所以 或 ，
解得 或 。
（3） 表示数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离， 表示表示 的点与表示 的点之间的距离。
所以 表示表示 的点到表示 的点与表示 的点的距离之和。
当表示 的点在 与 之间（含端点）时，这两段距离之和恰好等于 与 之间的距离，即 ；
当表示 的点在 的左边或在 的右边时，这两段距离之和都大于 。
所以 的最小值是 ，此时 。
结合数轴求 的最小值，并指出此时 的值。
【解答】、、 分别表示数轴上表示 的点到表示 、、 的三个点的距离。
当表示 的点在表示 的点与表示 的点之间（含端点）时，它到表示 的点的距离与到表示 的点的距离之和为 ，是一个定值；
要使三个距离之和最小，只需使它到表示 的点的距离最小，而当 时这个距离为 。
所以当 时， 取得最小值，
最小值为 。
若 ，则 的取值范围是______。
【答案】
【解答】 表示数轴上表示 的点到表示 的点和表示 的点的距离之和。
因为表示 的点与表示 的点之间的距离为 ，
所以当表示 的点在 与 之间（含端点）时，两段距离之和恰好等于 ；
当表示 的点在 的左边或在 的右边时，两段距离之和大于 。
所以 的取值范围是 。
六、有理数的加减运算与巧算
计算：。
【解答】把相邻两项分为一组：
原式 。
每一组的结果都是 。
从 到 共 个数，两两一组共有 组，
所以原式 。
计算：
【解答】去掉括号后，中间的项两两抵消：
原式
计算：
【解答】因为
所以
原式
七、有理数的乘除与乘方
下列各组数中，值相等的一组是（　　）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【解答】逐项计算：
A 中 ，，两数相等；
B 中 ，，两数不相等；
C 中 ，，两数不相等；
D 中 ，，两数不相等。
所以选 A。
计算：______。
【解答】 的奇次幂等于 ，偶次幂等于 。
把相邻两项分为一组：，，……，每一组的和都是 。
从 到 共 项，两两一组共 组，
所以原式 。
已知 ，，且 ，求 的值。
【解答】由 得 或 ；由 得 或 。
因为 ，所以 与 异号，即一个为正数、一个为负数。
当 ， 时，，符合题意，此时 ；
当 ， 时，，符合题意，此时 。
所以 的值是 或 。
八、有理数的混合运算与运算律
计算：
【解答】用乘法分配律：
原式
。
计算：。
【解答】按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。
表示 的相反数，所以 ；
，；
，。
所以原式 。
计算：
【解答】把带分数改写成整数与分数的差，再用乘法分配律：
所以
原式
九、数轴上的动点问题
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 秒。
（1）用含 的式子表示点 、点 对应的数；
（2）当 为何值时，、 两点相遇？相遇点表示的数是多少？
（3）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
【解答】（1）点 从 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度，运动 秒后，点 对应的数是 ；
点 从 出发向左运动，速度为每秒 个单位长度，运动 秒后，点 对应的数是 。
（2）、 两点相遇时，两点对应的数相等，即
。
移项，得 ，
即 ，解得 。
此时点 对应的数是 。
所以 时 、 两点相遇，相遇点表示的数是 。
（3）、 两点之间的距离为 。
由题意，得 ，
所以 或 ，
解得 或 。
所以当 或 时，、 两点之间的距离为 个单位长度。
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动。设运动时间为 秒。
（1）用含 的式子表示点 、点 对应的数；
（2）经过几秒，点 追上点 ？
（3）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
【解答】（1）点 对应的数是 ，点 对应的数是 。
（2）点 追上点 时，两点对应的数相等，即
。
移项，得 ，
即 ，解得 。
所以经过 秒，点 追上点 。
（3）、 两点之间的距离为 。
由题意，得 ，
所以 或 ，
解得 或 。
所以当 或 时，、 两点之间的距离为 个单位长度。
如图，数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 。动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 秒。
（1）当 为何值时，、 两点相遇？相遇点表示的数是多少？
（2）当 为何值时，、 两点之间的距离为 个单位长度？
（3）若点 是线段 的中点，用含 的式子表示点 对应的数，并求当 时点 对应的数。
【解答】（1）点 对应的数是 ，点 对应的数是 。
两点相遇时，对应的数相等，即
。
移项，得 ，
即 ，解得 。
此时点 对应的数是 。
所以 时两点相遇，相遇点表示的数是 。
（2）、 两点之间的距离为 。
由题意，得 ，
所以 或 ，
解得 或 。
所以当 或 时，、 两点之间的距离为 个单位长度。
（3）因为点 是线段 的中点，
所以点 对应的数是 。
当 时，点 对应的数是 。
十、新定义运算与规律探索
定义一种新运算：对任意有理数 、，规定 。
例如：。
（1）计算 的值；
（2）计算 的值；
（3）对于任意有理数 、， 与 的值是否相等？请说明理由。
【解答】（1）。
（2）先算括号内的：
。
再算 。
（3）相等。理由如下：
因为 ，
而 ，
所以 ，即对于任意有理数 、， 与 的值相等。
规定新运算：。
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的值。
【解答】（1）。
（2）先算括号内的：
。
再算 。
（3）先算 ，把 代入，得
。
再算 。
观察下列等式：
，
，
。
（1）仿照上面的等式，写出 的类似形式；
（2）利用上面的规律，计算 的值。
【解答】（1）。
（2）由上面的规律，
，
，
……
。
把以上九个等式相加，等式右边中间的各项两两抵消，得
。

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