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八年级数学（人教版）上册阶段压轴题训练（一）
（第十三章 三角形）
一、三角形的三边关系
已知三角形的三边长分别为 、、，若 为整数，则这样的三角形共有（　　）
A. 个　 B. 个　 C. 个　 D. 个
已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长为______。
如图，点 是 内部一点。求证：。
二、三边关系与整数边计数
已知 的三边长 、、 都是正整数，且 ，，求满足条件的三角形的个数。
若一个三角形的三边长分别为 、、，且它的周长不超过 ，则 的最大整数值是______。
三、三角形的高、中线与面积
如图，在 中， 是 边上的中线，点 是 的中点，连接 、。若 的面积为 ，求 的面积。
如图， 和 分别是 中 边和 边上的高。若 ，，，求 的长。
如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点。若 的面积为 ，求 的面积。
四、三角形的角平分线与夹角模型
如图，在 中， 与 的平分线相交于点 。
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）直接写出 与 之间的数量关系。
如图，在 中， 的平分线与 的外角平分线相交于点 。
（1）若 ，求 的度数；
（2）直接写出 与 之间的数量关系。
在 中， 与 的外角平分线相交于点 。若 ，则 的度数是______。
如图，在 中， 是 边上的高， 是 的平分线。
（1）若 ，，求 的度数；
（2）若 ，（），用含 、 的式子表示 。
五、三角形内角和定理的运用
在 中，，，求 各内角的度数。
如图，在 中，，、 分别是 、 边上的高， 与 相交于点 。求 的度数。
六、外角性质与典型倒角模型
如图，点 是 内部一点，连接 、。
（1）求证：；
（2）若 ，， 的平分线与 的平分线相交于点 ，求 的度数。
如图，线段 与 相交于点 ，连接 、。
（1）求证：；
（2）若 ，，，求 的度数。
七、直角三角形中的角
在 中，，若 ，则 的度数是______。
如图，在 中，， 于点 。
（1）图中共有几个直角三角形？请分别写出来；
（2）求证：，。
八、多边形内角和与外角和
一个多边形的内角和是它外角和的 倍，则这个多边形的边数是______。
已知一个正多边形的每个内角都比它相邻外角的 倍多 ，求这个正多边形的边数。
一个多边形截去一个角后，所得新多边形的内角和为 ，求原多边形的边数。
九、三角形的折叠与翻折
如图，把 沿 折叠，使点 落在四边形 内部的点 处。
（1）若 ，求 的度数；
（2）直接写出 与 之间的数量关系。
如图，把 沿 折叠，点 落在四边形 内部的点 处。若 ，，求 的度数。
十、综合探究与新定义
定义：如果三角形中有一个角是另一个角的 倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”。
（1）在 中，，。若 是倍角三角形，求 、 的度数；
（2）判断“所有的直角三角形都是倍角三角形”这个说法是否正确，并说明理由。
【解答】（1）因为 ，所以 。
因为 是倍角三角形，所以需要分类讨论。
① 若 ，则 ，，满足 ；
② 若 ，则 ，，不满足 ，舍去；
③ 若 ，则 ，，此时 ，舍去；
④ 若 ，则 ，，满足 。
所以 、，或 、。
（2）这个说法不正确。
例如三内角分别为 、、 的直角三角形。
因为 ，而 不是这个三角形的内角；， 不是内角；， 也不是内角，
所以这个三角形中任何一个角都不是另一个角的 倍，它不是倍角三角形。
所以“所有的直角三角形都是倍角三角形”这个说法不正确。
在 中， 与 的平分线相交于点 ， 与 的外角平分线相交于点 ， 的平分线与 的外角平分线相交于点 。
（1）若 ，分别求 、、 的度数；
（2）写出 与 之间的数量关系，并说明理由。
【解答】（1）由前面几题的结论：
；
；
。
（2）。理由如下：
因为 ，，
所以 。
所以 与 互补。八年级数学（人教版）上册阶段压轴题训练（一）
（第十三章 三角形）
一、三角形的三边关系
已知三角形的三边长分别为 、、，若 为整数，则这样的三角形共有（　　）
A. 个　 B. 个　 C. 个　 D. 个
【答案】A
【解答】由三角形的三边关系，得 ，即 。
因为 为整数，所以 可以取 ，共 个。
已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长为______。
【答案】
【解答】因为已知的两边中哪一条是腰不确定，所以需要分类讨论。
当腰长为 、底边长为 时，三边为 、、。因为 ，不能构成三角形，这种情况舍去；
当腰长为 、底边长为 时，三边为 、、。因为 ，能构成三角形，此时周长为 。
如图，点 是 内部一点。求证：。
证明：延长 交 于点 。
在 中，由三角形的三边关系，得 ，
即 。
在 中，由三角形的三边关系，得 。
把上面两个不等式相加，得
，
即 ，
所以 。
二、三边关系与整数边计数
已知 的三边长 、、 都是正整数，且 ，，求满足条件的三角形的个数。
【解答】由三角形的三边关系，得 。
因为 ，所以 ，即 。
又因为 是三边中最大的边，所以 ，即 ，所以 。
所以 只能取 或 。
当 时，，且 。
由 得 ，所以 可以是 、，共 种；
当 时，，且 。
所以 可以是 、、，共 种。
综上，满足条件的三角形共有 （个）。
若一个三角形的三边长分别为 、、，且它的周长不超过 ，则 的最大整数值是______。
【解答】由三角形的三边关系，得 ，
解得 。
由周长得 ，
即 ，解得 。
所以 ， 的最大整数值是 。
三、三角形的高、中线与面积
如图，在 中， 是 边上的中线，点 是 的中点，连接 、。若 的面积为 ，求 的面积。
【解答】因为 是 边上的中线，所以点 是 的中点，
所以 。
因为点 是 的中点，
所以 ，
同理 。
所以 。
如图， 和 分别是 中 边和 边上的高。若 ，，，求 的长。
【解答】因为 是 边上的高，
所以 。
又因为 是 边上的高，
所以 ，
即 ，
解得 。
如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点。若 的面积为 ，求 的面积。
【解答】因为 是 的中点，所以 。
因为 是 的中点，所以 。
因为 是 的中点，所以点 到 的距离是点 到 的距离的一半，
所以 。
同理，，。
所以 。
四、三角形的角平分线与夹角模型
如图，在 中， 与 的平分线相交于点 。
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数；
（3）直接写出 与 之间的数量关系。
【解答】（1）在 中，。
因为 平分 ， 平分 ，
所以 ，，
所以 。
在 中，。
（2）由（1）中的方法可得
。
所以 ，
解得 ，。
（3）。
如图，在 中， 的平分线与 的外角平分线相交于点 。
（1）若 ，求 的度数；
（2）直接写出 与 之间的数量关系。
【解答】（1）设 ，则 （因为 平分 ）。
设点 在 的延长线上，则 是 的外角，
所以 。
因为 平分 ，所以 。
在 中， 与 互补，
所以 。
所以 。
（2）一般地，
。
所以 。
在 中， 与 的外角平分线相交于点 。若 ，则 的度数是______。
【答案】
【解答】设点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，
则 是 的外角， 是 的外角。
因为 ，，
所以 。
因为 平分 ， 平分 ，
所以 ，，
所以 。
在 中，。
当 时，。
如图，在 中， 是 边上的高， 是 的平分线。
（1）若 ，，求 的度数；
（2）若 ，（），用含 、 的式子表示 。
【解答】（1）在 中，
。
因为 平分 ，所以 。
因为 是 边上的高，所以 。
在 中，。
所以 。
（2），
。
在 中，。
所以
。
五、三角形内角和定理的运用
在 中，，，求 各内角的度数。
【解答】设 ，则 ，。
由三角形内角和定理，得
，
即 ，解得 。
所以 ，，。
如图，在 中，，、 分别是 、 边上的高， 与 相交于点 。求 的度数。
【解答】在 中，。
因为 ，所以 。
在 中，。
同理，因为 ，所以 ，
在 中，。
在 中，
。
六、外角性质与典型倒角模型
如图，点 是 内部一点，连接 、。
（1）求证：；
（2）若 ，， 的平分线与 的平分线相交于点 ，求 的度数。
【解答】（1）证明：延长 交 于点 。
因为 是 的外角，
所以 。
因为 是 的外角，
所以 。
（2）由（1）得 ，
所以 。
因为 平分 ， 平分 ，
所以 ，，
所以 。
在图形 中，由（1）的结论得
。
如图，线段 与 相交于点 ，连接 、。
（1）求证：；
（2）若 ，，，求 的度数。
【解答】（1）证明：在 中，。
在 中，。
因为 与 是对顶角，所以 。
所以 。
（2）由（1）得 ，
即 ，
解得 。
七、直角三角形中的角
在 中，，若 ，则 的度数是______。
【解答】因为 ，所以 。
又因为 ，
把两式相加，得 ，
所以 。
如图，在 中，， 于点 。
（1）图中共有几个直角三角形？请分别写出来；
（2）求证：，。
【解答】（1）图中共有 个直角三角形，分别是 、、。
（2）证明：因为 ，所以 。
因为 ，所以 ，
在 中，。
所以 （同角的余角相等）。
同理，在 中，，
所以 。
八、多边形内角和与外角和
一个多边形的内角和是它外角和的 倍，则这个多边形的边数是______。
【解答】设这个多边形的边数为 。
因为任意多边形的外角和都是 ，所以它的内角和是 。
由多边形内角和公式，得 ，
所以 ，解得 。
已知一个正多边形的每个内角都比它相邻外角的 倍多 ，求这个正多边形的边数。
【解答】设这个正多边形的每个外角为 ，则每个内角为 。
因为正多边形的每个内角与它相邻的外角互补，
所以 ，
即 ，解得 。
所以这个正多边形的每个外角都是 。
因为正多边形的外角和为 ，
所以它的边数为 。
一个多边形截去一个角后，所得新多边形的内角和为 ，求原多边形的边数。
【解答】设新多边形的边数为 。
由多边形内角和公式，得 ，
所以 ，解得 。
把一个多边形截去一个角，截法有三种：
① 截线经过两个顶点，边数减少 ，此时原多边形的边数为 ；
② 截线经过一个顶点和一条边，边数不变，此时原多边形的边数为 ；
③ 截线经过两条边，边数增加 ，此时原多边形的边数为 。
所以原多边形的边数可能是 、 或 。
九、三角形的折叠与翻折
如图，把 沿 折叠，使点 落在四边形 内部的点 处。
（1）若 ，求 的度数；
（2）直接写出 与 之间的数量关系。
【解答】（1）由折叠可知 ，。
因为点 、、 在同一条直线上，
所以 ，
即 ，
所以 。
同理，因为点 、、 在同一条直线上，
所以 。
在 中，，
所以 ，
即 ，
所以 。
当 时，。
（2）。
如图，把 沿 折叠，点 落在四边形 内部的点 处。若 ，，求 的度数。
【解答】由上一题的结论，得 。
所以 ，
解得 。
十、综合探究与新定义
定义：如果三角形中有一个角是另一个角的 倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”。
（1）在 中，，。若 是倍角三角形，求 、 的度数；
（2）判断“所有的直角三角形都是倍角三角形”这个说法是否正确，并说明理由。
【解答】（1）因为 ，所以 。
因为 是倍角三角形，所以需要分类讨论。
① 若 ，则 ，，满足 ；
② 若 ，则 ，，不满足 ，舍去；
③ 若 ，则 ，，此时 ，舍去；
④ 若 ，则 ，，满足 。
所以 、，或 、。
（2）这个说法不正确。
例如三内角分别为 、、 的直角三角形。
因为 ，而 不是这个三角形的内角；， 不是内角；， 也不是内角，
所以这个三角形中任何一个角都不是另一个角的 倍，它不是倍角三角形。
所以“所有的直角三角形都是倍角三角形”这个说法不正确。
在 中， 与 的平分线相交于点 ， 与 的外角平分线相交于点 ， 的平分线与 的外角平分线相交于点 。
（1）若 ，分别求 、、 的度数；
（2）写出 与 之间的数量关系，并说明理由。
【解答】（1）由前面几题的结论：
；
；
。
（2）。理由如下：
因为 ，，
所以 。
所以 与 互补。

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