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有理数的运算 单元核心素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·盐亭期中） 某地区星期一到星期五的每日最高气温与最低气温的变化趋势如图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
最高气温 最低气温 1℃ -9℃ 0℃ -11℃ 2℃ -10℃ 4℃ -7℃ -1℃ -4℃
A．星期一的日温差为8℃
B．星期五的日温差是5℃
C．星期二与星期四的日温差相同
D．星期一的日温差是星期五日温差的2倍
2．（2025七上·椒江期中）第届亚运会在杭州举办，组委会共招募志愿者约，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七上·金东期中）已知|m|=5， n2=4，且m>n， 则m+n 的值是 (　　)
A．7 B．-3 C．3或7 D．-3 或-7
4．（2025七上·北京期中）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七上·兰州期中）下列说法正确的是（　　）
A．两个数的差为正数，至少其中有一个正数
B．一个有理数不是正数就是负数
C．绝对值等于本身的数有且仅有0和1
D．有理数不一定比大
6．（2025七上·红花岗月考）把写成省略括号的和的形式是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七上·游仙期中）小灵做了以下4道计算题：①-6-6=0；②-3-|-3|=-6；③3 =12；④0-（-1）=1．则她做对的道数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025七上·定州月考）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026七上·杭州开学考）若|x+2|+|y﹣3|=0，则x+y 的值是（　　）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
10．（2025七上·义乌期中）若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，且公式，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·北京期中）已知，则x3的值是　 　.
12．（2025七上·宝安期中）近几年来魔术风靡我国，小亮发明了一个魔术盒，把一个实数对（a，b）放入其中，就得到一个数为如把（3，2）放入其中，就得到若把（-3，-2）放入其中，则得到的数是　 　.
13．（2025七上·新会月考）我们定义一种新运算：，则的值为　 　．
14．（2025七上·武安期中）每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则10袋小麦对应的数分别为．则这10袋小麦的总质量是　 　．
15．（2025七上·双流月考）若a、b、c均为整数，且满足（a﹣b）2+（a﹣c）2＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝　 　 ．
16．（2025七上·镇海区期中）在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·萧山期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七上·金华期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是　 　；
（2）取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“+，一，×，÷”选取你所需要的运算，使结果为24(每张卡片用一次).请设计1个算式，并写出计算过程.
19．（2025七上·浦北期末）某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球山赛的情况，标准为每人垫球25个．
垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 12
人数 5 10 10 5 10 5
（1）求这个班45人平均每人垫球多少个；
（2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分．
20．（2025七上·衢州期末）计算 小明同学的过程如图所示。
（1）请用横线画出最早开始出错的步骤，并说明错误原因。
（2）请写出你的解答过程。
21．（2025七上·成都期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：．
（1）计算：　 　．
（2）若，则　 　．
（3）若，，，…，，当时，求的值（用含的式子表示）．
22．（2025七上·杭州期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的中山路上连续接送 5 批客人，行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负，单位： km)：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km -4km -3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元
23．（2023七上·浙江月考）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm；
（2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　；
（3）由（1） （2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
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有理数的运算 单元核心素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·盐亭期中） 某地区星期一到星期五的每日最高气温与最低气温的变化趋势如图，根据图中信息，下列说法正确的是（　　）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
最高气温 最低气温 1℃ -9℃ 0℃ -11℃ 2℃ -10℃ 4℃ -7℃ -1℃ -4℃
A．星期一的日温差为8℃
B．星期五的日温差是5℃
C．星期二与星期四的日温差相同
D．星期一的日温差是星期五日温差的2倍
【答案】C
【解析】【解答】解：星期一的日温差为1-(-9)=10(℃)，
星期二的日温差为0-(-11)=11(℃)
星期三的日温差为2-(-10)= 12(℃)
星期四的日温差为4-(-7)=11(℃)，
星期五的日温差为-1-(-4)=3(℃)
则星期二与星期四的日温差相同，
故答案为：C .
【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算求得每天的温差后进行判断即可.
2．（2025七上·椒江期中）第届亚运会在杭州举办，组委会共招募志愿者约，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤≤10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
3．（2025七上·金东期中）已知|m|=5， n2=4，且m>n， 则m+n 的值是 (　　)
A．7 B．-3 C．3或7 D．-3 或-7
【答案】C
【解析】【解答】解：∵|m|＝5，n2＝4，
∴m＝±5，n＝±2，
∵m＞n，
∴m＝5，n＝±2，
∴m+n＝5+2＝7或m+n＝5﹣2＝3．
故答案为：C．
【分析】利用绝对值的定义，有理数的乘方运算法则，有理数的加法法则，有理数的大小比较解答．
4．（2025七上·北京期中）腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：两个皇冠的等级是，
即其等级为，
故选：B．
【分析】根据等级规则可得一个皇冠是级，结合有理数的乘法，乘方即可求出答案.
5．（2025七上·兰州期中）下列说法正确的是（　　）
A．两个数的差为正数，至少其中有一个正数
B．一个有理数不是正数就是负数
C．绝对值等于本身的数有且仅有0和1
D．有理数不一定比大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、当两个数的差为正数，如，两个数都为负数，故该项不正确，不符合题意；
B、有理数分为正数、0、负数，故该项不正确，不符合题意；
C、绝对值等于本身的数有0和正数，故该项不正确，不符合题意；
D、当，，即有理数a不一定比大，故该项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的混合运算的计算方法、正负数的定义和绝对值的性质逐项分析判断即可.
6．（2025七上·红花岗月考）把写成省略括号的和的形式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：原式=5﹣3+1﹣4．
故答案为：C．
【分析】利用去括号和添括号的计算方法及步骤（①如果括号前面是加号或乘号，加上括号后，括号里面的符号不变；②如果括号前面是减号或除号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号）分析求解即可.
7．（2025七上·游仙期中）小灵做了以下4道计算题：①-6-6=0；②-3-|-3|=-6；③3 =12；④0-（-1）=1．则她做对的道数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解： -6-6=-12，故①不正确；
-3-|-3|=-6，故②正确；
3 =3×2×2=12，故③正确；
0-（-1）=1，故④正确．
综上所述，小灵做对了3道题，
故答案为：C.
【分析】根据有理数混合运算法则进行计算，判断正误即可.
8．（2025七上·定州月考）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，图2表示的计算过程是：，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法直接列出算式，再利用有理数加法的计算方法分析求解即可.
9．（2026七上·杭州开学考）若|x+2|+|y﹣3|=0，则x+y 的值是（　　）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得，x+2=0，y-3=0，
解得x=-2，y=3，
所以，x+y=-2+3=1．
故答案为：A．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
10．（2025七上·义乌期中）若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，且公式，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，有
故答案为：C .
【分析】根据题目信息，表示出与 ，然后通分整理计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·北京期中）已知，则x3的值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴.
故答案为：-1.
【分析】根据绝对值非负性，偶次方非负性，结合可得，，代入x3即可得答案.
12．（2025七上·宝安期中）近几年来魔术风靡我国，小亮发明了一个魔术盒，把一个实数对（a，b）放入其中，就得到一个数为如把（3，2）放入其中，就得到若把（-3，-2）放入其中，则得到的数是　 　.
【答案】16
【解析】【解答】解：将代入公式，得：．
故答案为：
【分析】根据题意将点代入公式，进而根据有理数的混合运算即可求解。
13．（2025七上·新会月考）我们定义一种新运算：，则的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用题干中的定义及计算方法列出算式，再利用有理数混合运算的计算方法求解即可.
14．（2025七上·武安期中）每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则10袋小麦对应的数分别为．则这10袋小麦的总质量是　 　．
【答案】904千克
【解析】【解答】解：（千克）
（千克）
答：这10袋小麦的总质量是904千克，
故答案为：904千克．
【分析】先将题干中的数据相加，再加上10×90求出总质量即可.
15．（2025七上·双流月考）若a、b、c均为整数，且满足（a﹣b）2+（a﹣c）2＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|＝　 　 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ a、b、c均为整数，
∴a-b，a-c都是整数，
∵ （a﹣b）2+（a﹣c）2＝1，
∴a-b=0，|a-c|=1或|a-b|=1，a-c=0，
∴当a-b=0，|a-c|=1时，|b-c|=1，原式=0+1+1=2，
∴当|a-b|=1，a-c=0时，|b-c|=1，原式=0+1+1=2，
综上所述：原式=2.
故答案为：2.
【分析】根据偶次方的非负性可得两个平方项一个为0，一个为1，进行分类讨论，即可得出答案.
16．（2025七上·镇海区期中）在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，所得商最小的是，
故答案为：．
【分析】根据“同号两数相除商为正数，异号两数相除，商为负数，0除以任何一个不为零的数商都等于零”及“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”可得要使两数相除所得的商最小，只需在所给的数中，用绝对值最大的正数除以绝对值最小的负数即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·萧山期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
=18
=10；
（2）解：
=
=
=9.
【解析】【分析】（1）根据有理数乘法的运算法则，并运用乘法分配律进行简便计算即可；
（2）按照有理数的混合运算法则计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；如有括号先算括号里的运算．
18．（2025七上·金华期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是　 　；
（2）取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“+，一，×，÷”选取你所需要的运算，使结果为24(每张卡片用一次).请设计1个算式，并写出计算过程.
【答案】（1）- 60
（2）解： 10–3×(–6)+(–4) =10+18–4=24或[(–6)–(–4) +10]×3=(–6+4+10)×3=24或3×[10+(-4)]-(-6)=3×6+6=24
【解析】【解答】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是；
故答案为：-60；
【分析】（1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可；
（2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可．
19．（2025七上·浦北期末）某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球山赛的情况，标准为每人垫球25个．
垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 12
人数 5 10 10 5 10 5
（1）求这个班45人平均每人垫球多少个；
（2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分．
【答案】（1）解：
（个），
（个），
答：这个班45人平均每人垫球27个.
（2）解：（分），
答：这个班垫球总共获得290分．
【解析】【分析】（1）先求出总的垫球数，再利用平均数的计算方法求解即可；
（2）结合表格中的数据并结合“ 过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分 ”列出算式求解即可.
（1）解：
（个），
（个），
答：这个班45人平均每人垫球27个；
（2）（分），
答：这个班垫球总共获得290分．
20．（2025七上·衢州期末）计算 小明同学的过程如图所示。
（1）请用横线画出最早开始出错的步骤，并说明错误原因。
（2）请写出你的解答过程。
【答案】（1）解：
=4×（符号错误）①
=-3-②
=-③
（2）解：
=（-4）×
=3+
=
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法法则及去括号法则可得出最早开始出错的步骤是①步，符号错误；
（2）根据有理数混合运算的正确方法进行运算即可。
21．（2025七上·成都期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：．
（1）计算：　 　．
（2）若，则　 　．
（3）若，，，…，，当时，求的值（用含的式子表示）．
【答案】（1）12
（2）-1或5
（3）解：由题意得：|x0-1|+|x1-1|=1，|x1-2|+|x2-2|=1，|x2-3|+|x3-3|=1，...，|x30-31|+|x31-31|=1
∵0∴1-x0+|x1-1|=1
∴|x1-1|=x0，
∵|x1-2|+|x2-2|=1，
∴x1>1，
∴x1-1=x0，
∴x1=x0+1
∴|x0+1-2|+|x2-2|=1
即|x0-1|+|x2-2|=1，
∴1-x0+|x2-2|=1，
∴|x2-2|=x0，
∵|x2-3|+|x3-3|=1，
∴x2>2
∴x2-2=x0
∴x2=x0+2
同理可得x3=x0+3
......
x30=x0+30
∴x0+x1+x2+...+x30
=x0+(x0+1)+(x0+2)+...+(x0+30)
=31x0+(1+30)×15
=31x0+465
【解析】【解答】解：(1)(-5) 7△1=|-5-1|+7-1=6+6=12；
故答案为：12.
(2)由题意得：|a-2|+|3-2|=4.
∴|a-2|=3
∴a-2=±3
∴a=-1或a=5
故答案为：-1或5.
【分析】(1)根据新定义运算计算即可求解；
(2)根据新定义运算列出方程即可求解；
(3)根据新定义运算列出方程，求出x1、x2、x3、….x31与x0的关系，再代入代数式计算即可求解.
22．（2025七上·杭州期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的中山路上连续接送 5 批客人，行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负，单位： km)：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km -4km -3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元
【答案】（1）解：5+2+(-4)+(-3)+10=10(km)
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处.
（2）解：(5+2+|-4|+|-3|+10)×0.2=24×0.2=4.8(升)，
答：在这个过程中共耗油4.8升.
（3）解：[10+ (5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+(10-3)×1.8]=68(元)，
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元.
【解析】【分析】(1)将5批行驶路程相加，根据结果正负判断方向，绝对值为距离；
(2)计算各批路程绝对值之和，乘以每千米耗油量得总耗油量；
(3)分别计算每批车费(不超过3km收10元，超过部分每千米1.8元)，再求和得总车费.
23．（2023七上·浙江月考）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm；
（2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　；
（3）由（1） （2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：结合（1）（2），将妙妙的年龄记为点A，将奶奶的年龄记为点B，如图
可知AB==156=52；
所以A表示的数为-37+52=15，即妙妙的年龄为15岁；
B表示的数为15+52=67，即奶奶的年龄为67岁。
答：妙妙的年龄为15岁，奶奶的年龄为67岁。
【解析】【解答】（1）由图可知，三段木棒的总长度为30-6=24，故每段长为24÷3=8，故答案为8.
（2）由（1）可知这根木棒的长为8cm，
∴点A表示6+8=14；点B表示6+8+8=22；
故答案为：8；22.
【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30-6=24 ( cm )，即可求A B的长度；
( 2 ) A点在6的右侧，距离6有8个单位长度，故A点为14； B点在A点右侧，距离A点有8个单位长度，故B点为22；
( 3 ) 本题考查运用知识的迁移能力，利用数形结合的方法巧妙地解决生活中的问题.由（1）（2）的引导示范，将妙妙的年龄记为点A，将奶奶的年龄记为点B，由“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！”
分析出左端数字为-37，右端数字为119：再求出AB的长度，然后可分别求出A、B的值.
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