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第二十六章 二次函数 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·惠州模拟）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·泸县模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·延庆期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x ．．． 0 1 2 ．．．
y ．．． 0 4 6 6 4 ．．．
给出下面四个结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与y轴的交点坐标是；
③抛物线的对称轴是直线；
④关于x的一元二次方程的根是和；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025九上·临洮期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若且，则
D．若，两点都在抛物线上，则
5．（2025九上·东莞期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·衢州月考）已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
7．（2025九上·缙云期中）将抛物线y=（x+2）2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·岳麓模拟）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·钟山模拟）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
10．（2025·宁国自主招生）对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（　　）
A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·南京会考）在平面直角系xOy 中。将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 点 在抛物线( 上。点 在抛物线上。当 时，总有， 则a 的取值范围是　 　。
12．（2025九上·嵊州期中） 已知抛物线与x轴的交点为(-3， 0)，(2， 0)，那方程的根为　 　.
13．（2025九上·余杭月考）用“描点法”画二次函数. 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 5 6 5 2 -3 　
根据表格信息可知，当x=-1时，函数值y=　 　.
14．（2025九上·衡阳期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为　 　米．
15．（2025九上·杭州月考）已知实数，满足，当　 　时，代数式的值最大.
16．（2026·成都模拟）已知， ，是二次函数图象上的任意三点，若对于，恒有且不存在的情形，则的取值范围是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·广元月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
（1）试确定，，的值；
（2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（2025九上·浙江月考）掷实心球是中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
19．（2026九上·广东期末）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示．
（1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值；
（2）设矩形菜园的面积为平方米，
①列出与的函数关系式；
②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
20．（2025九上·滨江月考）已知二次函数y=a(x-1)(x+2a+1)(a≠0， 且为常数) 。
（1）若a=1，求该二次函数的图象的顶点坐标。
（2）若a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，求a的取值范围。
（3） 当-a-1≤x≤a+1时， 该二次函数的最大值为m， 最小值为n'， 若m-n=9a， 求a的值。
21．（2025九上·温州期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量m(千克)与时间 (天)存在一次函数关系，数据如下表：
时间t(天) 1 2 5 10 20
日销售量m(kg) 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格y(元/千克)与时间t(天)的函数关系式为 (1≤t≤25且t为整数)；从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克.
（1）直接写出m关于t的函数关系式　 　.
（2）求第30天当天的销售利润.
（3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润.
22．（2026·珠海模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
23．（2025九上·德清期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
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第二十六章 二次函数 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2026·惠州模拟）若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故答案为：D．
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向向下可得离对称轴越近所对的函数值越大，即可根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解.
2．（2026·泸县模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故答案为：B．
【分析】设二倍点所在直线为y=2x，联立二次函数可得方程x2-x+c=2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，求得c的取值范围，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点；把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，则，解不等式组即可。
3．（2025九上·延庆期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x ．．． 0 1 2 ．．．
y ．．． 0 4 6 6 4 ．．．
给出下面四个结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与y轴的交点坐标是；
③抛物线的对称轴是直线；
④关于x的一元二次方程的根是和；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 当 x=0 和 x=1 时，y=6，
∴ 抛物线的对称轴为 ，故③ 正确；
∵ 对称轴为 ，根据表格可知 x=0 时 y=6 为最大值，随 增大，y 减小（如 x=-1 时 y=4 < 6，x=-2 时 y=0 < 4），
∴ 抛物线开口向下，故① 错误；
∵ 当 x=0 时，y=6，
∴ 抛物线与 y 轴交点为 (0，6)，故② 正确；
∵ 当 x=-2 时，y=0，即 x=-2 是方程 的根，
又 ∵ 对称轴为 ，
∴ 另一根为 ，故④ 正确；
综上，正确结论为②③④ ，共 3 个.
故选 ：C.
【分析】通过表格数据确定二次函数的对称轴、开口方向、与y轴交点及方程根，逐一判断各结论.
4．（2025九上·临洮期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若且，则
D．若，两点都在抛物线上，则
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，
故选项A错误，不符合题意；
∵对称轴为直线
故选项B错误，不符合题意；
且
和x=x2关于对称轴直线x=2对称，
；故选项C正确，符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，若 )两点都在抛物线 x+c的图象上，
故选项D错误，不符合题意；
故选： C.
【分析】根据图象开口方向和抛物线与y轴交点位置判断A；根据二次函数得对称轴得到a，b得关系式判断B；根据题意得到和x=x2关于对称轴直线x=2对称，判断C；利用二次函数得增减性判断D解答即可.
5．（2025九上·东莞期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据抛物线平移法则得：∴ 新抛物线表达式为，
故选：A．
【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”对原二次函数进行平移即可得答案.
6．（2025九上·衢州月考）已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象在x轴上方，
∴抛物线的开口向上，抛物线与x轴无交点，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】
由题意知抛物线与x轴无交点，即关于x的一元二次方程无实数根且二次项系数为正，即根的判别式且，再解关于k的不等式组即可．
7．（2025九上·缙云期中）将抛物线y=（x+2）2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将抛物线y=(x+2)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得抛物线的解析式为y=(x+2-2)2-3，即y=x2-3，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案.
8．（2025·岳麓模拟）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：从一次函数的图象来看，
图象从左到右上升，
；
图象与轴交点在正半轴，即当时，，
．
对于二次函数：
，
二次函数图象开口向上，排除、选项；
对称轴为，
，，
，即对称轴在轴右侧；
当时，，即二次函数与轴交点在负半轴．
综上，符合条件的是选项．
故选： ．
【分析】先根据一次函数图象确定、的符号，再利用二次函数（开口方向、对称轴位置和与轴交点情况），进行判断即可．
9．（2025·钟山模拟）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以，
根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的对称轴是，
∴，即
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴是直线．且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，，即，故③错误；
∵时，函数值最小，
∴，
∴，所以④正确；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象吗，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·宁国自主招生）对于自变量为x的函数，我们把使函数值y等于零的实数x叫做函数的零点．如果函数在a≤x≤b上的图象是一条连续不断的曲线，并且在x＝a和x＝b时的函数值乘积为非正值，则该函数在a≤x≤b范围内至少有一个零点，那么对于函数y＝2x+2x2﹣4x﹣5在下列范围内一定有零点的是（　　）
A．﹣2≤x≤﹣1 B．﹣1≤x≤0 C．0≤x≤1 D．1≤x≤2
【答案】B
【解析】【解答】解：函数 在实数范围内连续，
只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正，
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为非正值，符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意；
选项，时，，
时，，
在和时的函数值乘积为正值，不符合题意．
故选：．
【分析】根据题意，求出各选项中x取值范围端点处的函数值，然后根据题意中的新定义解答即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·南京会考）在平面直角系xOy 中。将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 点 在抛物线( 上。点 在抛物线上。当 时，总有， 则a 的取值范围是　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：已知t=2a，则抛物线
∵点 在抛物线 上，
把 代入
可得
∵点在抛物线上，
把x=x2代入 可得
整理得
即
解不等式 可得
解不等式 可得
又 时，总有
解得
故答案为：
【分析】配方求出C1的顶点式，根据平移得到C2的解析式，然后把 代入得到y1=-3a3，再把B点坐标代入C2的解析式，求出y2，然后根据题意得到关于a的不等式组，求出a的取值范围即可.
12．（2025九上·嵊州期中） 已知抛物线与x轴的交点为(-3， 0)，(2， 0)，那方程的根为　 　.
【答案】；
【解析】【解答】解：方程的根恰为二次函数与x轴交点的横坐标，即-3和2，故方程的根为；.
故答案为：； .
【分析】根据二次函数与x轴交点与方程的联系，即可得方程的根.
13．（2025九上·余杭月考）用“描点法”画二次函数. 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 5 6 5 2 -3 　
根据表格信息可知，当x=-1时，函数值y=　 　.
【答案】－3
【解析】【解答】解： 由表格可知，当x=1和x=3时，y均为5，因此对称轴为 x == 2，
根据二次函数的对称性知，当x=-1和x=5时，函数值相等，
又当x=5时，y=-3，
∴当x=-1时，函数值y=-3.
故答案为：-3.
【分析】观察表中数据确定二次函数的对称轴，再根据其对称性知x=-1时的函数值与 x=5时的函数值相等.
14．（2025九上·衡阳期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为　 　米．
【答案】6
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
抛物线顶点坐标为(0，0)，且经过（-2，-2），（2，-2）
设抛物线的解析式是
代入得：0=a×0+b×0+C，
-2=4a-2b+c
-2=4a+2b+c
求出a=-0.5，b=0，c=0
抛物线解析式，
若水面下降米时 此时Y=-2+(-2.5)=-4.5
把代入抛物线解析式得出：-4.5=-0.5x，
解得：，
所以水面宽度为米，
故答案为：
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式，水面下降米时 此时Y=-2+(-2.5)=-4.5把y=-4.5代入抛物线解析式得出水面的横坐标．再根据坐标系中求两点之间的距离方法求出水面宽度。
15．（2025九上·杭州月考）已知实数，满足，当　 　时，代数式的值最大.
【答案】1
【解析】【解答】解：因为x+y=1，
所以y=1-x，
所以(x+1)(y+2)=(x+1) (1-x+2)
=-+2x+3
=-(x-1)2+4，
∵(x-1)2≥0，
：.-(x-1)≤0 ，
..当x=1时，-+4有最大值4，
即当x=1时，(x+1)(y+2)有最大值4.
故答案为：1
【分析】x+y=1，y=1-x，把(x+1)(y+2)中的y代换成1-x，变形成二次三项式，用配方法求出最大值.
16．（2026·成都模拟）已知， ，是二次函数图象上的任意三点，若对于，恒有且不存在的情形，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：因为 是二次函数，所以
二次函数的对称轴为：
由题意，对于，不存在，
所以，对称轴不在范围，且范围内所有点的函数值都小于（是处的函数值）
分两种情况讨论：
1. 当时，抛物线开口向上
对称轴，对称轴在右侧，在内，随的增大而减小，满足不存在，
因为开口向上，离对称轴越远，函数值越大，在内点到对称轴的最大距离为
点到对称轴的距离为
要使所有区间内，需
解得，符合的条件；
2. 当时，抛物线开口向下，
对称轴不在内，则 或，
即或，
①当时，对称轴 ，时的图象在对称轴右侧，随的增大而减小，满足不存在，
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为，
点到对称轴的距离为，
要使所有区间内，需，
解得，与矛盾，此情况无解，
② 当时，对称轴，时的图象在对称轴左侧，随的增大而增大，满足不存在，
开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为，
点到对称轴的距离为，
要使所有区间内，需，即，
等价于，
解得，符合的条件，
综上，的取值范围是或．
【分析】
先由二次函数的定义知m不为0，再由二次函数的对称性可得对称轴为直线，再由已知可得当时所有的函数值y均小于，则可分和两种情况进行讨论，当m>0时，由于对称轴在直线的右侧，由于抛物线开口向上，则到对称轴距离越大对应的函数值越大，则可得关于m的不等式，解得；当m<0时，由于，则对称轴不超过直线的右侧或不超过直线的左侧，即或， 再分两种情况，当时，由于抛物线开口向下，则距离对称轴越远对应的函数值越小，则可得关于m的不等式，解得，与题设矛盾；当时，对称轴在直线的右侧，则可得关于m的不等式组，解得．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·广元月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
（1）试确定，，的值；
（2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）解：把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到原二次函数的解析式为，
所以，，；
（2）解：由（1）得，，，
∴抛物线的解析式为
∴该函数对称轴为直线，顶点坐标为；
∵二次函数中，，
∴图象开口向下.
【解析】【分析】（1）根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”由平移后抛物线的解析式反方向移到即可得到原抛物线的解析式；
（2）根据（1）可得原抛物线的解析式，然后根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)，对称轴直线为x=h，当a＞0时图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，解答即可.
（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
（2）解：二次函数，即
∵，
∴图象开口向下，
二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
18．（2025九上·浙江月考）掷实心球是中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1） 解：已知抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的顶点式为．
∵掷出时起点处高度为，即当时，，
解得．
所以y关于x的函数表达式为．
（2）解： 当时x的值．
令，则
解得，（舍去）．
因为，所以该女生在此项考试中不得满分
【解析】【分析】（1）题目已经给出抛物线的顶点坐标为，因此我们可以直接设抛物线的顶点式方程，再把抛出起点的坐标代入所设的顶点式，解出系数a的值，就可以得到抛物线的函数表达式。
（2）要判断这次投掷能不能得到满分，只需要求出实心球落地点对应的水平距离：令抛物线解析式中，解这个一元二次方程，取得到的正根，也就是落地点对应的水平距离，再将它和满分标准比较大小，即可得出结论.
（1）已知抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的顶点式为．
∵掷出时起点处高度为，即当时，，
解得．
所以y关于x的函数表达式为．
．
（2）当时x的值．
令，则
解得，（舍去）．
因为，所以该女生在此项考试中不得满分．
19．（2026九上·广东期末）用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示．
（1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值；
（2）设矩形菜园的面积为平方米，
①列出与的函数关系式；
②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可列方程为：（18-2x）x=40，
解这个方程，得：，，
当x=4时，18-2x=18-2×4=10，（与题意不符，舍去）
当x=5时，18-2x=18-2×5=8，
∴的值为.
（2）解：①根据题意可列函数关系为：，
∴与的函数关系式为：；
②根据题意可知，x的取值范围是：≤x＜9，
y与x的函数关系式，
根据二次函数的性质可知：当时，有最大值，最大值为，
答：当时，菜园面积最大，最大面积是平方米
【解析】【分析】（1）设矩形菜园的一边长为米，则另一边长为米，根据“矩形菜园的面积为平方米”列出方程求解即可；
（2）①根据题意列出与的函数关系式；
②根据篱笆的总长度为18米，墙长9米得出的取值范围，再将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，
由题意可得，
解得，，
当时，，
当时，，
∵墙长为米，
∴，
即的值为．
（2）解：①由题意可得，
即与的函数关系式为：；
②∵墙长为米，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米．
20．（2025九上·滨江月考）已知二次函数y=a(x-1)(x+2a+1)(a≠0， 且为常数) 。
（1）若a=1，求该二次函数的图象的顶点坐标。
（2）若a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，求a的取值范围。
（3） 当-a-1≤x≤a+1时， 该二次函数的最大值为m， 最小值为n'， 若m-n=9a， 求a的值。
【答案】（1）解：当a=1时， y=(x-1)(x+3)=(x+1)2-4，
∴ 二次函数的图象的顶点坐标(-1，-4)
（2）解：令y=0，则 a(x-1)(x+2a+1)=0，
解得x=1或x=-2a-1，
∴ 对称轴为直线x=，
又∵ a<0，当x>2时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴对称轴x=-a≤2，
解得-2≤a<0
（3）解：∵ 二次函数的最大值为m， 最小值为n， m-n=9a，
∴a>0，
即-a-1≤ -a≤a+1，
当x=-a时为最小值，最小值为n=a(-a-1)(a+1)，
又∵a+1离对称轴的距离比-a-1离对称轴的距离大，
∴当x=a+1时有最大值，最大值为m=a2(3a+2)，
∴m-n=a2(3a+2)-a(-a-1)(a+1)=9a，
解得：a=-2（舍去）或a=1
【解析】【分析】（1）把a=1代入，配方为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）令y=0，求出与x轴的焦点横坐标，得到对称轴为直线x=-a，然后根据函数的增减性解答即可；
（3）由题意可得a>0，然后根据二次函数的对称轴的位置和增减性得到m和n的值，代入计算即可.
21．（2025九上·温州期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量m(千克)与时间 (天)存在一次函数关系，数据如下表：
时间t(天) 1 2 5 10 20
日销售量m(kg) 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格y(元/千克)与时间t(天)的函数关系式为 (1≤t≤25且t为整数)；从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克.
（1）直接写出m关于t的函数关系式　 　.
（2）求第30天当天的销售利润.
（3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润.
【答案】（1）且t为整数
（2）解：第30天价格元/千克，销售量千克，
故利润元．
答：第30天当天销售利润为3600元；
（3）解：①当时，
利润，
展开得，
二次函数开口向下，顶点横坐标，
故或16时，最大，计算得元；
②当时，利润，随t增大而增大，
故时，元；
比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元．
答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元．
【解析】【解答】解：设，
将，和，代入得：
，
②-①得，代入①得，
故验证其他数据均成立
故答案为：且t为整数；
【分析】（1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，验证所得关系式是否符合所有表格数据；
（2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润价格-成本，再乘以销售量得总利润；
（3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，前25天：建立利润二次函数，求顶点横坐标整数天，计算最大利润，后5天：建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论．
22．（2026·珠海模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
23．（2025九上·德清期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
【答案】（1）33150
（2）解： ①-50x2+5300x
②设两个公司的月利润分别为 ，，
则，
令y=y甲-y乙==
，
当y=0时，则=0，
解得x1=-1，x2=37，
∵x的取值范围是0≤x≤50（x是整数），二次函数y的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当0≤x≤37时，y≥0，且当x=18时，
y取得最大值是-50×182+1800×18+1850=18050，此时甲乙利润差是18050元；
当37综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴.
解得：.
（如果计算结果为也可以）
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，当乙公司租车的汽车为10辆时，该公司的月利润是10×3500-1850=33150（元），
故填：33150.
（2）① 甲公司租出x辆汽车时，每辆汽车月租费是3000+50(50-x)=5500-50x（元），
甲公司月租车费=（5500-50x）x，
月维护费=200x，
月利润=（5500-50x）x-200x=-50x2+5300x（元）.
故填：-50x2+5300x.
【分析】（1）由题意可得，公司的月利润=月租车费用-月维护费用，租出的汽车为10辆，那么月租车费用是“10×3500”， 月维护费用是1850元，代入计算即可；
（2）①根据“ 如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车”可得，当甲公司租出汽车x辆时，减少了（50-x）辆，那么每辆汽车月租费就增加了50（50-x）元，即每辆汽车月租费就是3000+50(50-x)元，再表示出月租车费和月维护费，代入 月利润=月租车费-月维护费，即可解答；
②由①可得甲公司月利润，由题意可得乙公司月利润，构建一个新的函数令y=y甲-y乙，令y=0，确定y≥0时的x取值范围，y<0时的x取值范围，分别求出最值得出利润差，再作比较即可；
（3）由“ 如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润 ”可用（2）题中“y甲-y乙”的函数，在此函数基础上减去ax，就是新的利润差函数，再根据“ 当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大 ”确定新的利润差函数的对称轴的取值范围，从而求出a的取值范围.
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