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第4讲 三角形中的边角关系 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解三角形及有关概念，会按边、按角对三角形分类
· · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形
· · 掌握三角形的角平分线、中线、高的概念，能正确画出三种重要线段
· · 会利用三边关系、中线性质解决周长差、面积比等计算问题
知识梳理
☆ 1.三角形的概念与分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）
在一个三角形中，大边对大角，小边对小角
概念辨析例题：△ABC中∠A=89°，判断三角形类型
解析：最大角∠A=89°<90°，故三个角均为锐角，是锐角三角形
☆ 2.三角形三边关系
三角形任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a
任意两边之差小于第三边：｜a-b｜判断能否构成三角形：较短两边之和>最长边即可
已知两边a,b，则第三边c的范围：｜a-b｜概念辨析例题：两边长2和5，第三边为奇数，求周长
解析：3☆ 3.三角形的高、中线、角平分线
高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部
中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于重心
角平分线：内角平分线与对边交点间的线段；三条角平分线交于内心
中线分三角形为两个面积相等的小三角形（等底同高）
概念辨析例题：AD是△ABC中线，S△ABC=2，求S△ACD
解析：中线分底边BD=DC，两小三角形等底同高，面积各半，故S△ACD=1
☆ 4.三种线段的综合应用
中线相关周长差：两小三角形周长差=AB与AC之差（公共边AD+BD=DC）
角平分线相关：分得的两个角相等
高相关：高垂直对边，形成直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
概念辨析例题：BD是中线，△ABD周长比△CBD多2cm，AB=5cm，求BC
解析：周长差=AB-BC=2，故BC=5-2=3cm
知识总结表
核心概念 定义/性质 注意事项
三角形 三条线段首尾相接 不在同一直线上
三边关系 两边之和>第三边 两边之差<第三边
高 顶点到对边垂线 钝角三角形两高在外
中线 顶点到对边中点 分面积相等两部分
角平分线 平分内角交对边 三条交于一点
直角三角形斜边中线 等于斜边一半 Rt△专用
核心考点
【考点1】三角形的概念与分类（第1-12题）
· · 数三角形按顺序枚举，避免重复遗漏
· · 按角分类看最大角是否>90°
· · 大边对大角：边越长对角越大
· · 外角为锐角→相邻内角为钝角→钝角三角形
1．（2025秋 金乡县期末）如图，图中以∠BEC为角的三角形是（　　）
A．△EBC B．△ABE C．△DEC D．△ABC
【分析】利用三角形内角的定义进行判断．
【解答】解：以∠BEC为角的三角形是△EBC．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形，三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
2．（2025春 上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
【分析】根据三角形的概念解答即可．
【解答】解：∵∠ABC＝89°，
则∠ABC是锐角，
∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
3．（2025秋 盐城期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断
【分析】先根据三角形概念得到AB、AC、BC的对角分别为∠C、∠B、∠A，再根据AB＞AC＞BC得出∠C＞∠B＞∠A结论．
【解答】解：∵AB＞AC＞BC，
∴∠C＞∠B＞∠A．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键．
4．（2025秋 汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是　钝　 角三角形．
【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角，
∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，
故相邻的内角大于90度，
故△ABC是钝角三角形．
故答案为：钝．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角与相邻的内角互补是解题的关键．
5．（2023秋 宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 　48+4π　 cm2．（结果保留π）
【分析】胶棒涂过的面积＝三个长方形的面积+3个圆弧的面积．
【解答】解：，
∠1＝360°﹣90°﹣90°﹣37°＝143°，
∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣53°＝127°，
胶棒涂过的面积＝（2×6+2×8+2×10）+（）＝（48+4π）（cm2），
故答案为：48+4π．
【点评】本题考查了半径为1cm的圆形在三角形外侧紧贴边移动一圈的面积，面积拆分计算是关键．
6．（2025秋 上杭县校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是BD ．
【分析】在△ABD中，∠A的对边是BD，∠ADB的对边是AB，∠ABD的对边是AD．据此即可得出答案．
【解答】解：在△ABD中，
∠A的对边是BD，∠ADB的对边是AB，∠ABD的对边是AD．
故答案为：BD．
【点评】此题主要考查了三角形的概念，准确识图，熟练掌握三角形的相关概念是解决问题的关键．
7．（2025秋 大兴区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　5　 个直角三角形，有　2　 个钝角三角形．
【分析】根据三角形按角分类的定义判断．
【解答】解：直角三角形：△ABD，△ADE，△ADC，△AFE，△CFE，共5个；
钝角三角形：△ABC，△AEC，共2个．
即图中有5个直角三角形，2个钝角三角形，
故答案为：5；2．
【点评】本题考查了三角形，关键是掌握三角形的定义及其分类．
8．（2025秋 荆州月考）如图，写出一个以∠B为角的三角形是　△ABD（答案不唯一）　 ．
【分析】根据三角形的定义进行求解即可．
【解答】解：以∠B为角的三角形是△ABD，
故答案为：△ABD（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义．
9．（2025秋 南沙区期中）如图，以AB为其中一边．
（1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是　△ABE，△ABD，△ABC ；
（2）属于等腰三角形的是　△ABD ．
【分析】（1）根据题意，画出以AB为一边的三角形即可；
（2）结合（1）中所画三角形进行判断即可．
【解答】解：（1）如图所示，
则所画三角形分别是：△ABE，△ABD，△ABC．
故答案为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）由（1）知，
属于等腰三角形的是△ABD．
故答案为：△ABD．
【点评】本题主要考查了三角形，能根据题意画出三角形并据此进行判断是解题的关键．
10．（2025秋 宿迁校级月考）如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD．
【分析】根据大边对大角原则证明即可．
【解答】证明：在△AOC中，
∵CO＞AC（已知），
∴∠A＞∠AOC，
∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
∴∠A＞∠BOD，
∵∠B＞∠A（已知），
∴∠B＞∠A＞∠BOD，即∠B＞∠BOD，
∴OD＞BD．
【点评】本题重点考查三角形，对顶角、邻补角，熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键．
11．（2026春 栾城区期末）一个三角形的两边b＝3，c＝4．
（1）当各边均为整数时，可以组成　5　 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，求其周长．
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则1＜a＜7，
由于三角形的各边均为整数，则a＝2或3或4或5或6，因此有五个三角形，
故答案为：5；
（2）①当b为腰时，a＝3＝3.3+3＞4，此时三角形的周长为3+3+4＝10；
②当c为腰时，a＝4＝c.3+4＞4能构成三角形，此时三角形的周长为4+4+3＝11；
所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是10或11．
【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答．
12．（2024春 长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b．
（1）用a，b表示图中阴影部分的面积；
（2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）阴影部分的面积等于正方形面积之和减去△DAM，△EBM的面积．将这四部分由含有a，b的代数式表示出来即可得到答案；
（2）由（1）得到阴影部分面积的表达式，利用完全平方公式得到a2+b2＝46代数求值即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，AP＝a，BP＝b，
∴BM＝AM（a+b），
∴S△DAMAD AMa（a+b）a（a+b），
∴S△EBMBE BMb（a+b）b（a+b），
∴阴影部分的面积＝a2+b2a（a+b）b（a+b）．
故图中阴影部分的面积是．
（2）∵a+b＝8，ab＝9，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，
∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣18＝46，
∴30．
故图中阴影部分的面积是30．
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，正方形的性质，将阴影部分的面积用含有a，b的代数式表示出来是解题的关键．
【考点2】三角形三边关系（第13-23题）
· · 判断能否构成：短两边之和>最长边
· · 已知两边求第三边：｜a-b｜· · 整数边/等腰问题在范围内枚举
· · 化简含绝对值：利用三边关系判断正负
13．（2025秋 徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形的两边长分别为2和5，
∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，
∴该三角形的周长为2+5+5＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
14．（2026 徐州二模）若长度分别是a，2，3的三条线段能够组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．7
【分析】根据三角形三边关系定理得出3﹣2＜a＜3+2，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：3﹣2＜a＜3+2，
即1＜a＜5，
即符合的只有4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
15．（2026春 西城区校级月考）已知三角形的三边长分别为3，x﹣2，5，则x的取值可以是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，x﹣2，5，
∴5﹣3＜x﹣2＜5+3，
即4＜x＜10．
故x的取值范围是4＜x＜10，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
16．（2025秋 大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
17．（2025秋 柯桥区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形；
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边．
18．（2025秋 绵阳期末）长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有　2　 种选法．
【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：有两种选法，
根据题意分为四种情况：100cm，30cm，50cm；30cm，70cm，50cm；100cm，70cm，50cm；100cm，70cm，30cm；
在第一种情况中：30+50＝80＜100，不能构成三角形；
在第二种情况中：30+50＝80＞70，能构成三角形；
在第三种情况中：50+70＝120＞100，能构成三角形；
在第四种情况中：30+70＝100，不能构成三角形；
综上，从长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
19．（2025秋 长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 　2＜c＜8　 ．
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3，
∴2＜c＜8．
故答案为：2＜c＜8．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
20．（2025秋 合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　22或24或26　 ．
【分析】整理a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0得（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，故a＝6，b＝8，结合三角形三边关系得2＜c＜14，又因为c为最长边且为偶数，故c＝8或c＝10或c＝12，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答．
【解答】解：∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，
则（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
解得a＝6，b＝8，
∵三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，
∴8﹣6＜c＜6+8，
∴2＜c＜14，
∵c为最长边，
∴8≤c＜14，
∵c为偶数，
故c＝8或c＝10或c＝12，
则6+8+8＝22或6+8+10＝24或6+8+12＝26，
综上所述，该三角形的周长为22或24或26，
故答案为：22或24或26．
【点评】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．（2025春 闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　3　 ．
【分析】分两种情况，①当AC＝2AB＝4时，②当BC＝2AB＝6时，分别求出AB的长，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当AC＝2AB＝4时，AB＝2，
此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去；
②当BC＝2AB＝6时，AB＝3，
此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意；
综上所述，边AB的长为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的三边关系以及新定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
22．（2025春 徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
【分析】延长AP交BC于点D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC（AB+BC+AC），即可证明问题．
【解答】证明：延长AP交BC于点D，
由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD，
∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
∴AP+PB＜AC+BC，
同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，
∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC），
∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC；
由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，
∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC（AB+BC+AC），
∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题．
23．（2026春 西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长；
（2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为奇数，
∴c＝5，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12．
（2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|
＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c）
＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c
＝b﹣a﹣3c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质．
【考点3】三角形的高、中线、角平分线（第24-35题）
· · 中线分底边相等，分面积相等
· · 两小三角形周长差=两邻边之差
· · 直角三角形斜边上的中线=斜边一半
· · 高一定从顶点向对边（或延长线）作垂线
24．（2025秋 浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　）
A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB
【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解．
【解答】解：线段CD为△ABC的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线，
∴，
∴∠BCE＝∠B，
∵∠B＝∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意；
根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键．
25．（2025秋 嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高
【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误．
【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；
B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；
C、∵BD是△BCE的角平分线，
∴∠3＝∠2，
∵BE是中线，
∴∠1≠∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意．
D、由图可知：
∵∠C＝90°
∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
26．（2025秋 凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm
【分析】由于BD是AC边上中线，所以AD＝CD，所以△ABD的周长比△ADC的周长多的部分等于AB﹣BC，再根据AB＝5cm即可得出BC的长．
【解答】解：∵BD是AC边上中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC，
∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm．
∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟知三角形的角平分线、中线、高的定义解答此题的关键．
27．（2026 西安模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由于AD⊥BC于点D，找出所有一边在直线CB上且以A为顶点的三角形即可解答．
【解答】解：根据题意可知，AD⊥BC于点D，
∴图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△AED，△AEC，△ADC，共6个，
综上所述，以AD为高的三角形有6个，所以只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，理解三角形的高定义是解题的关键．
28．（2025春 崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误；
④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误；
则正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键．
29．（2026 城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 　10　 ．
【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，
∴，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
30．（2025秋 琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC，
∵S△ABC＝2，
∴S△ACD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
31．（2026春 上海校级月考）如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　2　 ．
【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC的一条中线，
∴BD＝DC（三角形中线定理）．
∵△ABD的周长为10，△ACD的周长为12，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝12﹣10，
AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝2，
即AC﹣AB＝2，
所以AC﹣AB的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握．
32．（2024秋 义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段 CE ．
【分析】根据概念可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段CE，
故答案为：CE．
【点评】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
33．（2025秋 黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长．
【分析】（1）由题意知∠4＝∠3＝∠1+∠2，根据∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4，计算求解即可；
（2）由AD为△ABC的中线，可得BD＝CD，由△ABD的周长比△ACD的周长大3，可得AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，进而可得11﹣AC＝3，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°，
∴∠3＝∠1+∠2＝32°+32°＝64°，
∴∠3＝∠4＝64°，
∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴∠DAC的度数是52°；
（2）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大3，
∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，即AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3，
∴AB﹣AC＝3，即11﹣AC＝3，
解得：AC＝8，
即AC的长为8．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．熟练掌握相关知识是解题的关键．
34．（2025秋 绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE；
（2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；
（2）∵AD是△ABE的中线，
∴BD＝DE，
∵CE＝3cm，
∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm，
∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm，
∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
∴AC＝4cm．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键．
35．（2024秋 吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差．
【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE∠ACB50°＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）∵BF是△ABC的中线，
∴AF＝CF，
∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9，
∴△BCF与△BAF的周长之差为9．
【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义．
【考点4】创新及压轴题（第36-39题）
· · 数三角形按顶点组合枚举
· · 篱笆转问题用三边关系求范围
· · 中线+周长条件联立求边长范围
· · 偶数边条件在范围内筛选
36．如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC上的点，AD，BE相交于点F．
（1）图中共有多少个三角形？请把它们表示出来．
（2）以AB为边的三角形有哪些？
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？
【分析】（1）在数图中的三角形时，要做到不重不漏，可以先数以AB为边的三角形，再数以BD为边的三角形等；
（2）以AB为边的三角形有4个；
（3）以∠C为内角的三角形有3个．
【解答】解：（1）图中共有8个三角形，它们是：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD、△ACD、△AEF、△BDF、△BEC．
（2）以AB为边的三角形为：△ABC、△ABF、△ABE、△ABD．
（3）以∠C为内角的三角形为：△ACD、△BCE、△ACB．
【点评】此题考查的是三角形，掌握它的定义是解决此题的关键．
37．（2025秋 绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　4　 m（写一个即可）．
【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答．
【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm，
∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，
即5＜2+x＜11，
∴3＜x＜9，
∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键．
38．（2026春 红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，．
（1）当AC＝10时，求BD的长．
（2）AC能否等于12？为什么？
（3）直接写出AC的取值范围．
【分析】（1）先根据AC＝10，，算出AB＝15，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，即可作答；
（2）假设AC＝12，结合，得出AB＝18，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，得BC＝3，运用三角形三边的关系进行分析，即可作答；
（3）根据三角形的周长得，利用三角形三边的关系即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AC＝10，，
∴，
∵△ABC的周长为33，
∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8，
∵AD是BC边上的中线，
∴；
（2）AC不能等于12，理由如下：
∵，
∴当AC＝12时，，
∵△ABC的周长为33，
∴BC＝33﹣AC﹣AB＝33﹣12﹣18＝3，
∵12+3＝15＜18，
∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形，
∴AC不能等于12；
（3）∵，
∴，
∴，
当AB＞BC时，AB﹣BC＜AC＜AB+BC，即，
解得AC＜11；
当BC＞AB时，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即
解得，
∴．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
39．（2025秋 子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长．
【分析】先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC的三条边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，
∴6﹣2＜c＜6+2，即4＜c＜8．
∵c是偶数，
∴c＝6，
∴2+6+6＝14，所以△ABC的周长为14．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，关键是三角形三边的熟练掌握．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 涪城区校级期末）若三角形的三边长分别为3，2x+1，8，则x的取值范围是　2＜x＜5　 ．
【分析】根据三角形三边的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为三角形的三边长分别为3，2x+1，8，
所以8﹣3＜2x+1＜8+3，
解得2＜x＜5．
故答案为：2＜x＜5．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
【练习 2】（2026 迁安市二模）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 　6（答案不唯一）　 ．
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜x＜12，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣5＜x＜7+5，
∴2＜x＜12，
∴x可能的取值可以是6（答案不唯一）．
故答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【练习 3】（2025秋 滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　2　 倍．
【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AB DEAC DF，
∵DF＝2DE，
∴AB＝2AC，
∴AB是AC的2倍，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
【练习 4】（2025秋 晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边．
（1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围；
（2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状；
（3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|．
【分析】（1）根据三角形的三边关系即可求解；
（2）根据三角形的三边关系得3＜c＜7，求出c＝5，即可得到答案；
（3）根据三角形的三边关系得a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后化简即可．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7；
（2）由（1）知3＜c＜7，
∵第三边c为奇数，
∴c＝b＝5，
∴△ABC为等腰三角形；
（3）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a＜b+c，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|
＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）]
＝a+b﹣c﹣a+b+c
＝2b．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
课后巩固
复习建议
· · 三边关系：短两边之和>最长边，最快判断法
· · 已知两边a,b，第三边c满足｜a-b｜· · 中线分三角形为面积相等的两部分
· · 两小三角形周长差=两邻边之差
· · 直角三角形斜边中线等于斜边一半
【作业 1】（2026 鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm
【分析】根据已知两边长2cm和5cm，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm，
∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2，
解得3＜x＜7．
综上所述，只有C在3和7之间，满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【作业 2】（2026春 朝阳区校级期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　）
A．CF B．BE C．CG D．AD
【分析】根据三角形的高的定义判断．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴△ABC中BC边上的高是AD，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【作业 3】（2025秋 京山市月考）如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为　　 ．
【分析】设AC＝b，AB＝nb，先求证．然后由角平分线定理得BD：DC＝n：1，设BC＝a，表示出BD；结合中线性质得，进而表示DE，再根据列方程求解n．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD为三角形的角平分线，
∴DM＝DN，
∵，
∴．
设AC＝b，则AB＝nb，设BC＝a，则，
则BD：DC＝AB：AC＝n：1，
∴BD＝n CD＝n （BC﹣BD）＝n （a﹣BD），
解得．
∵AE是中线，
∴，
又∵BD﹣BE＝DE，
即，
两边除以a，得：．
化简得：5（2n）﹣5（n+1）＝2（n+1），
10n﹣5n﹣5＝2n+2
即3n＝7，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线定理与三角形中线的性质，解题的关键是通过角平分线定理得线段比例，结合中线定义表示出DE，再建立方程求解．
【作业 4】（2026春 会泽县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BC边上的高是AB ．
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∴顶点A到BC边的垂线就是线段AB，
∴BC边上的高是AB．
故答案为：AB．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高是解题的关键．
【作业 5】（2026春 镇江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　3　 ．
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：∵E是边AC的中点，△ABC的面积等于12，
∴S△ABES△ABC＝6，
∵点D是边AB的中点，
∴△BDE的面积S△ABE，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
【作业 6】（2025秋 凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c．
（1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围；
（2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案；
（2）由三角形三边关系定理得到a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，即可化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3，
∴2＜c＜8；
（2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|
＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c）
＝a+b﹣c﹣a+b﹣c
＝2b﹣2c．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【作业 7】（2025秋 栖霞区校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB；
（2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由．
【分析】（1）由三角形三边关系定理得到AC+CD＞AD，即可证明AC+BC＞AD+BD；
（2）由∠ADC＞∠A，推出AC＞CD．
【解答】证明：（1）∵AC+CD＞AD，
∴AC+CD+BD＞AD+BD，
∴AC+BC＞AD+BD；
（2）AC＞CD，理由如下：
∵∠B＝90°，
∴∠B＞∠A，
∵∠ADC＞∠B，
∴∠ADC＞∠A，
∴AC＞CD．
【点评】本题考查三角形三边关系，大角对大边，关键是掌握三角形三边关系定理，大角对大边．
【作业 8】（2026春 秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
（2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度．
【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解；
（2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解．
【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°．
由角平分线定义可知：
．
∵AE为边BC上的高，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°．
（2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD．
又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2，
∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2，
∴AB﹣AC＝2，
∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业 9】（2025秋 西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD ，PD+CD＞PC ．
将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC ，即AB+AC＞PB+PC ．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由三角形两边的和大于第三边得到AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．将不等式左边、右边分别相加，得到AB+AC＞PB+PC；
（2）由三角形三边关系定理得到AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，将不等式左边、右边分别相加，得到AD+BD+CD（AB+AC+BC）．
【解答】解：（1）如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．
将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞PB+PC，
故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC；
（2）如图②，AD+BD+CD（AB+AC+BC）理由如下：
由三角形三边关系定理得到：AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，
∴2（AD+BD+CD）＞AB+BC+AC，
∴AD+BD+CD（AB+AC+BC）．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
第1页（共1页）第4讲 三角形中的边角关系 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解三角形及有关概念，会按边、按角对三角形分类
· · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形
· · 掌握三角形的角平分线、中线、高的概念，能正确画出三种重要线段
· · 会利用三边关系、中线性质解决周长差、面积比等计算问题
知识梳理
☆ 1.三角形的概念与分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）
在一个三角形中，大边对大角，小边对小角
概念辨析例题：△ABC中∠A=89°，判断三角形类型
解析：最大角∠A=89°<90°，故三个角均为锐角，是锐角三角形
☆ 2.三角形三边关系
三角形任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a
任意两边之差小于第三边：｜a-b｜判断能否构成三角形：较短两边之和>最长边即可
已知两边a,b，则第三边c的范围：｜a-b｜概念辨析例题：两边长2和5，第三边为奇数，求周长
解析：3☆ 3.三角形的高、中线、角平分线
高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部
中线：连接顶点与对边中点的线段；三条中线交于重心
角平分线：内角平分线与对边交点间的线段；三条角平分线交于内心
中线分三角形为两个面积相等的小三角形（等底同高）
概念辨析例题：AD是△ABC中线，S△ABC=2，求S△ACD
解析：中线分底边BD=DC，两小三角形等底同高，面积各半，故S△ACD=1
☆ 4.三种线段的综合应用
中线相关周长差：两小三角形周长差=AB与AC之差（公共边AD+BD=DC）
角平分线相关：分得的两个角相等
高相关：高垂直对边，形成直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
概念辨析例题：BD是中线，△ABD周长比△CBD多2cm，AB=5cm，求BC
解析：周长差=AB-BC=2，故BC=5-2=3cm
知识总结表
核心概念 定义/性质 注意事项
三角形 三条线段首尾相接 不在同一直线上
三边关系 两边之和>第三边 两边之差<第三边
高 顶点到对边垂线 钝角三角形两高在外
中线 顶点到对边中点 分面积相等两部分
角平分线 平分内角交对边 三条交于一点
直角三角形斜边中线 等于斜边一半 Rt△专用
核心考点
【考点1】三角形的概念与分类（第1-12题）
· · 数三角形按顺序枚举，避免重复遗漏
· · 按角分类看最大角是否>90°
· · 大边对大角：边越长对角越大
· · 外角为锐角→相邻内角为钝角→钝角三角形
1．（2025秋 金乡县期末）如图，图中以∠BEC为角的三角形是（　　）
A．△EBC B．△ABE C．△DEC D．△ABC
2．（2025春 上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
3．（2025秋 盐城期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（　　）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断
4．（2025秋 汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是_____ 角三角形．
5．（2023秋 宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 __________ cm2．（结果保留π）
6．（2025秋 上杭县校级月考）如图，在△ABD中，∠A的对边是_______ ．
7．（2025秋 大兴区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有_____ 个直角三角形，有_____ 个钝角三角形．
8．（2025秋 荆州月考）如图，写出一个以∠B为角的三角形是________________ ．
9．（2025秋 南沙区期中）如图，以AB为其中一边．
（1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是___________________ ；
（2）属于等腰三角形的是_________ ．
10．（2025秋 宿迁校级月考）如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD．
11．（2026春 栾城区期末）一个三角形的两边b＝3，c＝4．
（1）当各边均为整数时，可以组成_____ 个不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，求其周长．
12．（2024春 长安区期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b．
（1）用a，b表示图中阴影部分的面积；
（2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
【考点2】三角形三边关系（第13-23题）
· · 判断能否构成：短两边之和>最长边
· · 已知两边求第三边：｜a-b｜· · 整数边/等腰问题在范围内枚举
· · 化简含绝对值：利用三边关系判断正负
13．（2025秋 徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
14．（2026 徐州二模）若长度分别是a，2，3的三条线段能够组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．7
15．（2026春 西城区校级月考）已知三角形的三边长分别为3，x﹣2，5，则x的取值可以是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
16．（2025秋 大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
17．（2025秋 柯桥区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
18．（2025秋 绵阳期末）长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____ 种选法．
19．（2025秋 长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 __________ ．
20．（2025秋 合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____________ ．
21．（2025春 闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 _____ ．
22．（2025春 徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
23．（2026春 西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|．
【考点3】三角形的高、中线、角平分线（第24-35题）
· · 中线分底边相等，分面积相等
· · 两小三角形周长差=两邻边之差
· · 直角三角形斜边上的中线=斜边一半
· · 高一定从顶点向对边（或延长线）作垂线
24．（2025秋 浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　）
A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB
25．（2025秋 嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高
26．（2025秋 凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm
27．（2026 西安模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
28．（2025春 崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2026 城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 _______ ．
30．（2025秋 琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝_____ ．
31．（2026春 上海校级月考）如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝_____ ．
32．（2024秋 义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥CD，CE⊥AE，则AB边上的高线为线段 _______ ．
33．（2025秋 黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长．
34．（2025秋 绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长．
35．（2024秋 吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差．
【考点4】创新及压轴题（第36-39题）
· · 数三角形按顶点组合枚举
· · 篱笆转问题用三边关系求范围
· · 中线+周长条件联立求边长范围
· · 偶数边条件在范围内筛选
36．如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC上的点，AD，BE相交于点F．
（1）图中共有多少个三角形？请把它们表示出来．
（2）以AB为边的三角形有哪些？
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？
37．（2025秋 绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 _____ m（写一个即可）．
38．（2026春 红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，．
（1）当AC＝10时，求BD的长．
（2）AC能否等于12？为什么？
（3）直接写出AC的取值范围．
39．（2025秋 子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 涪城区校级期末）若三角形的三边长分别为3，2x+1，8，则x的取值范围是__________ ．
【练习 2】（2026 迁安市二模）已知三角形的三边长分别是5、7、x，请写出一个x可能的取值 _____________ ．
【练习 3】（2025秋 滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的_____ 倍．
【练习 4】（2025秋 晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边．
（1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围；
（2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状；
（3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|．
课后巩固
复习建议
· · 三边关系：短两边之和>最长边，最快判断法
· · 已知两边a,b，第三边c满足｜a-b｜· · 中线分三角形为面积相等的两部分
· · 两小三角形周长差=两邻边之差
· · 直角三角形斜边中线等于斜边一半
【作业 1】（2026 鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm
【作业 2】（2026春 朝阳区校级期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　）
A．CF B．BE C．CG D．AD
【作业 3】（2025秋 京山市月考）如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为__________________ ．
【作业 4】（2026春 会泽县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BC边上的高是_______ ．
【作业 5】（2026春 镇江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 _____ ．
【作业 6】（2025秋 凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c．
（1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围；
（2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|．
【作业 7】（2025秋 栖霞区校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB；
（2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由．
【作业 8】（2026春 秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．
（2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度．
【作业 9】（2025秋 西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞_______ ，PD+CD＞_______ ．
将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞__________ ，即AB+AC＞__________ ．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由．
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