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第6讲 全等三角形的性质 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解全等三角形的概念，能正确找出对应边、对应角
· · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等
· · 能利用全等三角形性质求边长、角度、周长
· · 能解决动点、旋转、折叠等综合问题
知识梳理
☆ 1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作△ABC≌△DEF
重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角
记全等时对应顶点字母要写在对应位置
对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边
概念辨析例题：△ABC≌△FDE，指出对应边和对应角
解析：按书写顺序找对应：A对应F，B对应D，C对应E
☆ 2.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等
全等三角形对应角相等
全等三角形周长相等、面积相等
全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等
概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠F=60°，求∠B
解析：对应角∠A=∠D=40°，∠C=∠F=60°，∠B=180-40-60=80°
☆ 3.利用性质求边长与角度
角度计算：利用对应角相等+三角形内角和180°
边长计算：利用对应边相等+线段和差
周长计算：△CDP与△BEP周长和=DC+DE+BC+BE
多个全等三角形共顶点时，周角360°找角度关系
概念辨析例题：△ABC≌△DBE，∠ABE=162°，∠CBD=36°，求∠CBE
解析：∠ABC=∠DBE，故∠ABD=∠CBE=(162-36)/2=63°
☆ 4.动点与旋转综合
动点问题：用t表示线段长，列方程求解
分类讨论：点在不同位置时对应关系不同
旋转：旋转角相等，对应边/角相等
折叠：折痕为对称轴，对应边/角相等
概念辨析例题：P从B向A以1m/s运动，Q从B向D以2m/s运动，何时△CAP≌△PBQ？
解析：BP=t,BQ=2t,AP=12-t；由AC=BP=4得t=4，且AP=8=BQ=8
知识总结表
核心概念 性质/方法 注意事项
全等三角形 能完全重合 对应顶点字母位置对应
对应边 相等 对应角所对的边
对应角 相等 对应边所对的角
周长面积 相等 反之不成立
对应线段 高/中线/角平分线相等 需对应边上
动点问题 用t列方程 注意分类讨论
核心考点
【考点1】全等三角形的性质（第1-9题）
· · 找对应边/角：按书写顺序
· · 角度计算用内角和180°
· · 多个全等共顶点用周角360°
· · 对应边相等列方程
1．（2026 成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　）
A．40° B．62° C．78° D．102°
2．（2025秋 西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　）
A．120° B．135° C．150° D．180°
3．（2026 镜湖区校级一模）如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
4．（2026 新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　）
A．40° B．45° C．60° D．70°
5．（2026春 龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　）
A．89° B．88° C．98° D．109°
6．（2026春 浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是_______ ．
7．（2025秋 裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．（2025秋 佳县期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
9．（2025秋 宁乡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【考点2】边长与线段计算（第10-18题）
· · 利用对应边相等+线段和差
· · BE=BD+AD+AE，且BD=AE
· · 动点问题用t表示线段
· · 分类讨论对应关系
10．（2026 成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为________ ．
11．（2025秋 乳山市期中）如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ _______ °．
12．（2024秋 邗江区月考）如图，AB＝12米，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动 _____ 分钟后△CAP≌△PBQ．
13．（2026秋 江宁区月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：
①∠ABF＝45°；
②△AFG≌△BFE；
③AG+CE＝AC；
④BC＝BG+2GF．
错误的是_____ ．（写出所有错误结论的序号）
14．（2026 泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 _________ ．
15．（2025秋 新吴区校级月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以1cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以2cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为____________________ ．
16．（2025秋 榆林期末）如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为________ ．
17．（2025 成都模拟）如图，△ABC≌△DAE，点A，C，E在同一条直线上，AD交BC于点F，BC∥DE．若AC＝5，CF＝3，则BF的长为 ___________________ ．
18．（2025秋 平房区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝10，AD＝4，AB＝ _____ ．
【考点3】解答题与周长面积（第19-22题）
· · 周长和=DC+DE+BC+BE（代换公共边）
· · 角度用外角=不相邻两内角和
· · 全等三角形对应边相等代换
· · 注意对应关系不要弄反
19．（2026春 镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和．
20．（2025春 同步）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝30°．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和．
21．（2023秋 鹿城区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点 D．若∠B＝66°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．
22．如图，△AFB≌△AED，∠F＝60°，∠B＝26°，求∠BOD的度数．
【考点4】创新及压轴题（第23-27题）
· · 中点倍长中线构造全等
· · 旋转问题找旋转角
· · 等腰三角形等边对等角
· · 综合题分小问逐步推导
23．（2025秋 广阳区期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠ABC，BE是△ABD边AD上的高，延长BE交AC于点F，且△ADC≌△BFC，设∠ABC＝α，∠ACB＝β．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求∠ABF的度数；
（3）判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段AF的垂直平分线上，请直接写出β的度数．）
24．（2025秋 绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′．
25．（2024春 香坊区期末）如图，在△ABC中，AD为高，AC＝12，点E为AC上的一点，AE＝2CE，连接BE交AD于点O，△BDO≌△ADC（∠DAC和∠EBD是对应角）．
（1）求∠BEC的度数；
（2）有一动点Q从点A出发沿线段AC以每秒4个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
26．（2023秋 淄川区期末）完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
（1）请说明：∠EAB＝∠CAF；
（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数．
27．（2024秋 许昌期末）已知，平面内线段AB，点C，M，N，满足：∠CAM+∠CBN＝180°，AC＝AM，BC＝BN，连接MN，D为MN的中点，连接AD、BD．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，AD与BD的位置关系如何？请说明理由．
小明仔细思考后得出结论：AD⊥BD．思路是：延长BD交AM延长线于点H，易证△DMH≌△DNB，可得DH＝BD，MH＝BN，即D为BH中点，于是…，请你帮小明写出完整的推理过程．
（2）如图2，当点C在线段AB上方时，若AB＝2BD，求∠MAC的度数．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 盐城期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是________ ．
【练习 2】（2025秋 桃源县期末）已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是________ ．
【练习 3】（2024秋 白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ ________ ．
【练习 4】（2025春 上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 _______ ．
课后巩固
复习建议
· · 全等三角形对应边相等、对应角相等
· · 记全等时对应顶点字母位置要对齐
· · 角度计算用内角和180°、外角定理
· · 周长问题善用代换，公共边消去
· · 动点问题分类讨论对应关系
【作业 1】（2024秋 太和县期末）如图，△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【作业 2】（2025秋 灵山县期中）如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【作业 3】（2025秋 大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 ___________ 秒．
【作业 4】（2026春 垦利区期末）如图，△ABC≌△DEC，∠DCE＝60°，∠ACE＝100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB的度数为_______ 度．
【作业 5】（2026春 雁塔区校级月考）如图，AB＝10，∠A＝∠B，AC＝8．点P在线段AB上从点A向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为________ ．
【作业 6】（2025秋 鄱阳县月考）（1）求出图中x的值．
（2）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数．
【作业 7】（2024秋 房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求DE的长；
（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【作业 8】（2025秋 桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由．
【作业 9】（2026春 余江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°．
（1）试说明∠BAD＝∠EAC；
（2）求∠ADE的度数．
【作业 10】（2024春 即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边．
（1）再写出其他的一组对应边和一组对应角；
（2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由；
（3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长．
第1页（共1页）第6讲 全等三角形的性质 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解全等三角形的概念，能正确找出对应边、对应角
· · 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等
· · 能利用全等三角形性质求边长、角度、周长
· · 能解决动点、旋转、折叠等综合问题
知识梳理
☆ 1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作△ABC≌△DEF
重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角
记全等时对应顶点字母要写在对应位置
对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边
概念辨析例题：△ABC≌△FDE，指出对应边和对应角
解析：按书写顺序找对应：A对应F，B对应D，C对应E
☆ 2.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等
全等三角形对应角相等
全等三角形周长相等、面积相等
全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等
概念辨析例题：△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠F=60°，求∠B
解析：对应角∠A=∠D=40°，∠C=∠F=60°，∠B=180-40-60=80°
☆ 3.利用性质求边长与角度
角度计算：利用对应角相等+三角形内角和180°
边长计算：利用对应边相等+线段和差
周长计算：△CDP与△BEP周长和=DC+DE+BC+BE
多个全等三角形共顶点时，周角360°找角度关系
概念辨析例题：△ABC≌△DBE，∠ABE=162°，∠CBD=36°，求∠CBE
解析：∠ABC=∠DBE，故∠ABD=∠CBE=(162-36)/2=63°
☆ 4.动点与旋转综合
动点问题：用t表示线段长，列方程求解
分类讨论：点在不同位置时对应关系不同
旋转：旋转角相等，对应边/角相等
折叠：折痕为对称轴，对应边/角相等
概念辨析例题：P从B向A以1m/s运动，Q从B向D以2m/s运动，何时△CAP≌△PBQ？
解析：BP=t,BQ=2t,AP=12-t；由AC=BP=4得t=4，且AP=8=BQ=8
知识总结表
核心概念 性质/方法 注意事项
全等三角形 能完全重合 对应顶点字母位置对应
对应边 相等 对应角所对的边
对应角 相等 对应边所对的角
周长面积 相等 反之不成立
对应线段 高/中线/角平分线相等 需对应边上
动点问题 用t列方程 注意分类讨论
核心考点
【考点1】全等三角形的性质（第1-9题）
· · 找对应边/角：按书写顺序
· · 角度计算用内角和180°
· · 多个全等共顶点用周角360°
· · 对应边相等列方程
1．（2026 成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　）
A．40° B．62° C．78° D．102°
【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠F＝∠A＝40°，然后在△FDE中，由三角形内角和定理可得∠EDF＝78°，据此可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°，
在△FDE中，∠E＝62°，∠F＝40°，
∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°．
故答案为：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握查了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
2．（2025秋 西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　）
A．120° B．135° C．150° D．180°
【分析】根据△ABC≌△DEF≌△PHG得∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH，再根据∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE得∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE）在△ABC中，根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠ACB＝180°，则∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°，在△ECG中，根据三角形内角和定理得∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°，由此即可得出∠1+∠2+∠3的度数．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC≌△DEF≌△PHG，
∴∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH，
∵∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE）
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°，
在△ECG中，∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣80°﹣180°＝180°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
3．（2026 镜湖区校级一模）如图，△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，若∠A＝45°，∠F＝65°，则∠CBE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠F＝65°，再根据三角形内角和定理即可求出∠CBE的度数．
【解答】解：△ABC≌△DEF，点A、E、B、D在同一直线上，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠F＝65°，
∵∠A＝45°，
∴∠CBE＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确进行计算是解题关键．
4．（2026 新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，
∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC，
∴∠ADC＝∠A＝70°，
∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．（2026春 龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　）
A．89° B．88° C．98° D．109°
【分析】由△ABC≌△ABE，得∠BAE＝∠1＝131°，则∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝98°，由△ABE≌△ADC，得∠E＝∠ACD，所以∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD，又因为∠CFE＝∠CAE+∠ACD，所以∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，则∠α＝∠CAE＝98°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ABE，
∴∠BAE＝∠1＝131°，
∴∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝360°﹣131°﹣131°＝98°，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠E＝∠ACD，
∴∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，
∴∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，
∴∠α＝∠CAE＝98°，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠CAE＝98°且∠α＝∠CAE是解题的关键．
6．（2026春 浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　18　 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可．
【解答】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下：
情况1：列方程组，解得，
此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意；
情况2：列方程组，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去；
情况3：列方程组，
由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去；
情况4：列方程组，
由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去，
故△ABC的周长为4+6+8＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025秋 裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠1，∠ACD＝∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α＝∠2，从而得解．
【解答】解：如图，
∵△ABC≌△ABE≌△ADC，∠1＝125°，∴∠BAE＝∠1＝125°，∠ACD＝∠E（全等三角形对应角相等），∴∠2＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝360°﹣125°﹣125°＝110°，∴∠DFE＝180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE＝∠AFC，∴180°﹣∠α﹣∠E＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α＝∠2＝110°，
∴∠α的度数为110°，故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角、邻补角，找出对应角是解题的关键．
8．（2025秋 佳县期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，∠D＝30°，∠EBD＝65°，则∠ABC 的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【分析】在△DEB中，由三角形内角和定理得∠DEB＝85°，然后根据全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEB＝85°，由此即可得出答案．
【解答】解：在△DEB中，∠D＝30°，∠EBD＝65°，
∴∠DEB＝180°﹣（∠D+∠EBD）＝85°，
∵△ABC≌△DEB，
∴∠ABC＝∠DEB＝85°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
9．（2025秋 宁乡市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【分析】由全等三角形的性质可得第二个图中∠1的对边为a，再由第一个图中边a的对角为72°，即可得出∠1．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴由全等三角形的性质得，第二个图中∠1的对边为a（全等三角形对应角相等），
∵第一个图中边a的对角为72°，
∴∠1＝72°（全等三角形对应角相等），
∴选项D正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用．
【考点2】边长与线段计算（第10-18题）
· · 利用对应边相等+线段和差
· · BE=BD+AD+AE，且BD=AE
· · 动点问题用t表示线段
· · 分类讨论对应关系
10．（2026 成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为　65°　 ．
【分析】由全等三角形的性质推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，得到∠BAD＝∠EAC＝50°，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ADB＝65°，于是得到∠ADE的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，
∴∠BAD＝∠EAC＝50°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB（180°﹣50°）＝65°，
∠ADE＝∠B＝65°．
故对答案为：65°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等．
11．（2025秋 乳山市期中）如图，△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，则∠BEA＝ 　50　 °．
【分析】由△ABE≌△CDF可得∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°，在△ABE中，由三角形内角和定理可得∠BEA＝50°．
【解答】解：∵△ABE≌△CDF，∠C＝30°，∠D＝100°，
∴∠A＝∠C＝30°，∠B＝∠D＝100°，
在△ABE中，∠A+∠B+∠BEA＝180°，
∴∠BEA＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+100°）＝50°．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2024秋 邗江区月考）如图，AB＝12米，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4米，P点从点B向点A运动，每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，若P、Q两点同时开始出发，运动 　4　 分钟后△CAP≌△PBQ．
【分析】设t分钟后△CAP≌△PBQ，依题意得：BP＝t，BQ＝2t，∠A＝∠B＝90°，AP＝12﹣t，根据全等三角形的性质得AC＝BP，AP＝BQ，由此解出t即可．
【解答】解：设t分钟后△CAP≌△PBQ，
依题意得：BP＝t，BQ＝2t，∠A＝∠B＝90°，
∴AP＝AB﹣BP＝12﹣t，
∵△CAP≌△PBQ，
∴AC＝BP，AP＝BQ，
由AC＝BP，得：t＝4，
由AP＝BQ，得：12﹣t＝2t，解得：t＝4，
∴4分钟后△CAP≌△PBQ．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，正确理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
13．（2026秋 江宁区月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：
①∠ABF＝45°；
②△AFG≌△BFE；
③AG+CE＝AC；
④BC＝BG+2GF．
错误的是　④　 ．（写出所有错误结论的序号）
【分析】根据BF⊥AE，AF＝BF，得出∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①；根据AAS证明△AFG≌△BFE，可判断②；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，根据AE平分∠CAD，得出∠CAE＝∠DAE＝∠EBF，证出AC＝BC，即可得AG+CE＝BE+CE＝BC＝AC，可判断③；得出BG+2GF＝AE，即可判断④．
【解答】解：∵BF⊥AE，AF＝BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴，①正确；
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠EBF＝90°﹣∠BEF＝∠GAF，
在△AFG与△BFE中，
，
∴△AFG≌△BFE（AAS），②正确；
∴AG＝BE，EF＝GF，
∴AG+CE＝BE+CE＝BC，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠DAE＝∠EBF，
∴∠ABF+∠EBF＝∠BAF+∠CAE，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∴AG+CE＝BE+CE＝BC＝AC，③正确；
∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，
∵∠AEC＞∠BFE，
∴∠AEC＞90°，
∴∠AEC＞∠C，
∴AE＜AC，
∴AE＜BC，
∴BC＞BG+2GF，④错误．
故答案为：④．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是根据AAS证明△AFG≌△BFE解答．
14．（2026 泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　110°　 ．
【分析】由全等三角形的对应角相等推出∠E＝∠ACB＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠E＝∠ACB＝40°，
∵∠D＝30°，
∴∠DCE＝180°﹣∠D﹣∠E＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
15．（2025秋 新吴区校级月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以1cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以2cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　1或或　 ．
【分析】分三种情况讨论，一是当点P在AC上，点Q在开始由点E向点C运动，则PC＝5t，CQ＝6﹣2t，由全等三角形的性质得PC＝CQ，所以5﹣t＝6﹣2t；二是当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，则PC＝5t，CQ＝2t﹣6，由PC＝CQ得5﹣t＝2t﹣6；当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，则CP＝t﹣5，CQ＝18﹣2t，由CP＝CQ，得t﹣5＝18﹣2t，解方程分别求出相应的t值即得到问题的答案．
【解答】解：如图1，点P在AC上，
∵PM⊥BD于点M，QN⊥BD于点N，∴∠PMC＝∠CNQ＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠CPM+∠PCM＝90°，∠QCN+∠PCM＝90°，
∴∠CPM＝∠QCN，
∴当△CPM≌△QCN时，则PC＝CQ，
当点P在AC上，点Q在开始由点E向点C运动，则PC＝5t，CQ＝6﹣2t，
∵PC＝CQ，
∴5﹣t＝6﹣2t，
解得t＝1；
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，则PC＝5t，CQ＝2t﹣6，
∵PC＝CQ
∴5﹣t＝2t﹣6，
解得t；
如图2，点P在CE上，
∵∠CMP＝∠CNQ＝90°，∠PCM＝∠QCN，
∴当△CPM≌△QCN时，则CP＝CQ，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，则CP＝t﹣5，CQ＝18﹣2t，
∵CP＝CQ，
∴t﹣5＝18﹣2t，
解得t，
综上所述，t的值为1或或，
故答案为：1或或．
【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、全等三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，根据全等三角形的对应边相等正确地列出方程是解题的关键．
16．（2025秋 榆林期末）如图，△DBE≌△ABC，点A在DE上，DE∥BC，若∠E＝41°，则∠ABD的度数为　41°　 ．
【分析】利用全等三角形的性质得出∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC，再利用平行线的性质得出∠E＝∠EBC＝41°，根据角度的等量代换即可得出∠ABD＝41°．
【解答】解：∵△DBE≌△ABC，∠E＝41°，
∴∠E＝∠C＝41°，∠DBE＝∠ABC（全等三角形对应角相等），
又∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC＝41°（两直线平行，内错角相等），
∵∠DBA+∠ABE＝∠ABE+∠EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD＝41°（等量代换），
故答案为：41°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
17．（2025 成都模拟）如图，△ABC≌△DAE，点A，C，E在同一条直线上，AD交BC于点F，BC∥DE．若AC＝5，CF＝3，则BF的长为 　　 ．
【分析】根据全等三角形的性质得DE＝AC＝5，BC＝AE，根据BC∥DE得△ACF∽△AED，根据相似三角形的性质得AE，所以BC＝AE，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DAE，AC＝5，
∴DE＝AC＝5，BC＝AE，
∵BC∥DE，
∴△ACF∽△AED，
∴，
∴，
∴AE，
∴BC＝AE，
∴BF＝BC﹣CF3．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质是关键．
18．（2025秋 平房区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝10，AD＝4，AB＝ 　7　 ．
【分析】根据全等三角形性质得AB＝ED，进而得BD＝AE，则BE＝BD+AD+AE＝2BD+AD，继而得10＝2BD+4，由此得BD＝3，然后根据AB＝AD+BD即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝ED，
∴AB﹣AD＝ED﹣AD，
∴BD＝AE，
∴BE＝BD+AD+AE＝2BD+AD，
∵BE＝10，AD＝4，
∴10＝2BD+4，
∴BD＝3，
∴AB＝AD+BD＝4+3＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，线段的计算是解决问题的关键．
【考点3】解答题与周长面积（第19-22题）
· · 周长和=DC+DE+BC+BE（代换公共边）
· · 角度用外角=不相邻两内角和
· · 全等三角形对应边相等代换
· · 注意对应关系不要弄反
19．（2026春 镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝36°，
∴∠ABD+∠CBE＝126°．
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD，
即∠ABD＝∠CBE，
∴．
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8，
∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE，
＝DC+DE+BC+BE
＝5+10+8+8
＝31．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键．
20．（2025春 同步）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝30°．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝30°，
∴∠ABD+∠CBE＝162°﹣30°＝132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD，
即∠ABD＝∠CBE，
∴∠CBE132°＝66°．
（2）∵△ABC≌△DBE，AD＝DC＝5，BC＝8，
∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8，
∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE，
＝DC+DE+BC+BE
＝5+10+8+8
＝31．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键．
21．（2023秋 鹿城区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点 D．若∠B＝66°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝AB，∠AEF＝∠B＝66°，求得∠AEB＝∠B＝66°，根据三角形外角的性质得到∠CDF＝∠DEC+∠C＝48°+30°＝78°．
【解答】解：∵△AEF≌△ABC，
∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝66°，
∵点E在BC边上，
∴∠AEB＝∠B＝66°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
又∵∠C＝30°，且∠CDF是△CDE的外角，
∴∠CDF＝∠DEC+∠C＝48°+30°＝78°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
22．如图，△AFB≌△AED，∠F＝60°，∠B＝26°，求∠BOD的度数．
【分析】先根据三角形外角性质得∠OAE＝∠F+∠B＝86°，再根据全等三角形性质得∠F＝∠E＝60°，在△OAE中，根据三角形内角和定理得∠AOE＝34°，然后再根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠OAE是△AFB的外角，∠F＝60°，∠B＝26°，
∴∠OAE＝∠F+∠B＝86°，
∵△AFB≌△AED，
∴∠F＝∠E＝60°，
在△OAE中，∠AOE＝180°﹣（∠OAE+∠E）＝180°﹣（86°+60°）＝34°，
∴∠BOD＝∠AOE＝34°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
【考点4】创新及压轴题（第23-27题）
· · 中点倍长中线构造全等
· · 旋转问题找旋转角
· · 等腰三角形等边对等角
· · 综合题分小问逐步推导
23．（2025秋 广阳区期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠ABC，BE是△ABD边AD上的高，延长BE交AC于点F，且△ADC≌△BFC，设∠ABC＝α，∠ACB＝β．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求∠ABF的度数；
（3）判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段AF的垂直平分线上，请直接写出β的度数．）
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝BC，从而可判断△ABC为等腰三角形；
（2）先利用互余得到∠DBE＝90°﹣α，所以∠ABF＝∠ABC﹣∠DBE＝2α﹣90°；
（3）先由CA＝CB得到∠BAC＝∠ABC＝α，再根据三角形内角和定理得到2α+β＝180°；当点B在线段AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BF，所以∠BFA＝∠BAF＝α，利用三角形内角和定理得到2α﹣90°+α+α＝180°，则可得到2α＝135°，然后利用α与β得关系可计算出此时∠β的度数．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．
理由如下：∵△ADC≌△BFC，
∴AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵BE是△ABD边AD上的高，
∴∠BED＝90°，
∵∠ADB＝∠ABC＝α，
∴∠DBE＝90°﹣α，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠DBE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；
（3）2α+β＝180°．
理由如下：∵CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC＝α，
∵∠ABC+∠BAC+ACB＝180°，
∴α+α+β＝180°，
即2α+β＝180°；
当点B在线段AF的垂直平分线上，则BA＝BF，
∴∠BFA＝∠BAF＝α，
在△ABF中，2α﹣90°+α+α＝180°，
∴2α＝135°，
∴135°+β＝180°，
∴β＝45°，
即点B在线段AF的垂直平分线上，此时β的度数为45°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质．
24．（2025秋 绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′．
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，再由三角形中线的定义推出BD＝B′D′，则可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），进而证明AD＝A′D′．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∵AD、A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线，
∴B′D′B′C′，BD，
∴BD＝B′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），
∴AD＝A′D′（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握三角形中线的定义是解题的关键．
25．（2024春 香坊区期末）如图，在△ABC中，AD为高，AC＝12，点E为AC上的一点，AE＝2CE，连接BE交AD于点O，△BDO≌△ADC（∠DAC和∠EBD是对应角）．
（1）求∠BEC的度数；
（2）有一动点Q从点A出发沿线段AC以每秒4个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可知∠ODB＝90°，再由△BDO≌△ADC，推出∠OBD＝∠DAC，结合∠BOD＝∠AOE即可得到∠BEC＝∠ODB＝90°；
（2）由△BDO≌△ADC，AE＝2CE，可推出BO＝AC＝12，AE＝8，CE＝4，由（1）可知，∠BEQ＝90°，即△BOQ以BO为底时高为QE，从而推出当0≤t＜2时，Q在线段AE上，此时8﹣4t，则，解之得到t；当 2≤t≤3时，Q在线段EC上，此时QE＝4t﹣8，则，解之得到t．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD为高，
∴∠ODB＝90°，
又∵△BDO≌△ADC，
∴∠OBD＝∠DAC，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠BEA＝∠ODB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣90°＝90°；
（2）∵△BDO≌△ADC，AC＝12，
∴BO＝AC＝12，
∵AE＝2CE，
∴，，
由（1）可知，∠BEC＝90°，且Q点从点A出发，在AC上以4个单位的速度运动，那么AQ＝4t，
∴∠BEQ＝90°，即△BOQ以BO为底时高为QE，如图所示，
当0≤t＜2时，Q在线段AE上，则QE＝AE﹣AQ＝8﹣4t，
∴，
解得：，
当 2≤t≤3时，Q在线段EC上，则QE＝AQ﹣AE＝4t﹣8，
∴，
解得：．
综上所述，存在t的值为或 ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用t表示出三角形的高是解题的关键．
26．（2023秋 淄川区期末）完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
（1）请说明：∠EAB＝∠CAF；
（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（3）求∠AMB的度数．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠BAC＝∠EAF，根据等角加同角相等即可得到∠EAB＝∠FAC；
（2）根据旋转的性质即可求解；
（3）由（1）知∠EAB＝∠FAC＝25°，由全等三角形的性质可得∠C＝∠F＝57°，根据三角形外角性质可得∠AMB＝∠C+∠FAC，代入计算即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB＝∠CAF；
（2）∵∠EAB＝25°，△ABC≌△AEF，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知，∠EAB＝∠FAC＝25°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C＝∠F＝57°，
∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质、旋转的性质、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
27．（2024秋 许昌期末）已知，平面内线段AB，点C，M，N，满足：∠CAM+∠CBN＝180°，AC＝AM，BC＝BN，连接MN，D为MN的中点，连接AD、BD．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，AD与BD的位置关系如何？请说明理由．
小明仔细思考后得出结论：AD⊥BD．思路是：延长BD交AM延长线于点H，易证△DMH≌△DNB，可得DH＝BD，MH＝BN，即D为BH中点，于是…，请你帮小明写出完整的推理过程．
（2）如图2，当点C在线段AB上方时，若AB＝2BD，求∠MAC的度数．
【分析】（1）延长BD，交AM的延长线于点H，先证明AB∥BN得∠H＝∠DBN，∠HMD＝∠N，进而可依据“AAS”判定△DHM和△DBN全等，则DH＝BD，MH＝BN，继而得AH＝AB，然后根据等腰三角形的性质可得出AD⊥BD；
（2）延长BD到H，使DH＝DB，连接AH，MH，先证明△DHM和△DBN全等得∠HMD＝∠N，MH＝BN，进而得MH＝BC，再利用四边形的内角和定理及三角形的内角和定理可证明∠AMH＝∠C，继而可依据“SAS”判定△AMH和△ACB全等，则AH＝AB，∠MAH＝∠CAB，进而得∠MAC＝∠BAH，由此得AH＝AB＝HB，则△ABH是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得出∠BAH＝∠MAC＝60°．
【解答】（1）证明：延长BD，交AM的延长线于点H，如图1所示：
∵∠CAM+∠CBN＝180°，
∴AB∥BN，
∴∠H＝∠DBN，∠HMD＝∠N，
∵D是MN的中点，
∴DM＝DN，
在△DHM和△DBN中
，
∴△DHM≌△DBN（AAS），
∴DH＝BD，MH＝BN，
∴点D是BH的中点，
∵BC＝BN，
∴BC＝MH，
∴AM+MH＝AC+BC，
∴AH＝AB，
∵点D是BH的中点，
∴AD⊥BD；
（2）解：延长BD到H，使DH＝DB，连接AH，MH，如图2所示：
∵D为MN的中点，
∴DM＝DN，
在△DHM和△DBN中，
，
∴△DHM≌△DBN（SAS），
∴∠HMD＝∠N，MH＝BN，
∵BC＝BN，
∴MH＝BC，
∵在四边形ABNM中，∠AMN+∠N+∠NBA+∠BAM＝360°，
又∵∠N＝∠HMD，∠CAM+∠CBN＝180°，
∴∠AMH+∠CAB+∠CBA＝180°，
∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°，
∴∠AMH＝∠C，
在△AMH和△ACB中，
，
∴△AMH≌△ACB（SAS），
∴AH＝AB，∠MAH＝∠CAB，
∴∠MAH+∠HAC＝∠CAB+∠HAC，即∠MAC＝∠BAH，
∵BD＝HD，
∴HB＝2BD，
∵AB＝2BD，
∴AB＝HB，
又∵AH＝AB，
∴AH＝AB＝HB，
∴△ABH是等边三角形．
∴∠BAH＝60°，
∴∠MAC＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的难点．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 盐城期末）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是　1.5　 ．
【分析】由△ABC≌△DEF得AB＝DE，进而可得AE＝BD，利用线段的和差即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∴AB﹣BE＝DE﹣BE，
∴AE＝BD，
∵AD＝8，BE＝5，
∴AE+BD＝8﹣5＝3，
∴AE＝1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．
【练习 2】（2025秋 桃源县期末）已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是　48°　 ．
【分析】由三角形内角和及全等的性质可得∠1＝∠2＝180°﹣60°﹣72°，即可求解．
【解答】解：已知图中的两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1的度数为48°．
故答案为：48°．
【点评】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【练习 3】（2024秋 白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ 　62°　 ．
【分析】根据AE⊥CB，DF⊥BC得△AEB和△DFC都是直角三角形，在Rt△DFC中，可求出∠D＝62°，再根据AE＝DF，△AEB≌△DFC得∠A＝∠D＝62°，由此即可得出答案．
【解答】解：∵AE⊥CB，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴△AEB和△DFC都是直角三角形，
在Rt△DFC中，∠C＝28°，
∴∠D＝90°﹣∠C＝62°，
∵AE＝DF，△AEB≌△DFC，
∴∠A＝∠D＝62°．
故答案为：62°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握了全等三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
【练习 4】（2025春 上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　17　 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，根据三角形的三边关系求出等腰三角形的三边，即可求得答案．
【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等，
∴x＝3，y＝7，
当以x为腰时，
∴三角形的三边为3，3，7，
∵3+3＜7，
∴不能够组成三角形，
当以y为腰时，
∴三角形的三边为7，7，3，
∵3+7＞7，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长＝3+7+7＝17，
故答案为：17．
【点评】此题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 全等三角形对应边相等、对应角相等
· · 记全等时对应顶点字母位置要对齐
· · 角度计算用内角和180°、外角定理
· · 周长问题善用代换，公共边消去
· · 动点问题分类讨论对应关系
【作业 1】（2024秋 太和县期末）如图，△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据全等三角形性质得∠ACB＝∠F＝60°，然后根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠F＝60°，∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠F＝60°，
在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝40°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
【作业 2】（2025秋 灵山县期中）如图，△ABE≌△ACD，点D，E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，AD＝3，
∴AE＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等．
【作业 3】（2025秋 大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　3或7或10　 秒．
【分析】根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点E的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间．
【解答】解：根据题意，进行分类讨论如下：
当点E在线段AB上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE，
∴BE＝AC，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∵AB＝10，
∴AE＝10﹣4＝6，
∵点E的运动速度为2个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点E在AB延长线上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE，
∴BE＝AC，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∵AB＝10，
∴AE＝10+4＝14，
∵点E的运动速度为2个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点E在AB延长线上，AB＝BE时，△BAC≌△EBD，
∴BE＝AB，
∵AB＝10，
∴AE＝10×2＝20，
∵点E的运动速度为2个单位/秒，
∴运动时间 t＝202＝10 （秒）
∴t的值为3或7或10，
故答案为：3或7或10．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【作业 4】（2026春 垦利区期末）如图，△ABC≌△DEC，∠DCE＝60°，∠ACE＝100°，点D恰好落在线段AB上，则∠ECB的度数为　40　 度．
【分析】由△ABC≌△DEC，得∠ACB＝∠DCE＝60°，而∠ACE＝100°，则∠ECB＝∠ACE﹣∠ACB＝40°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACE＝100°，
∴∠ECB＝∠ACE﹣∠ACB＝100°﹣60°＝40°，
故答案为：40．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、角的和差等知识，推导出∠ACB＝∠DCE＝60°是解题的关键．
【作业 5】（2026春 雁塔区校级月考）如图，AB＝10，∠A＝∠B，AC＝8．点P在线段AB上从点A向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为　2或5　 ．
【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知∠A＝∠B，则点A与点B是对应顶点，分两种情况讨论：一是△ACP≌△BPQ，二是△ACP≌△BQP，设AP＝x，则BP＝10﹣x，根据对应边相等列出方程求解即可．
【解答】解：设AP＝x，
∵点P在线段AB上，AB＝10，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣x，
∵△ACP与△BPQ全等，且∠A＝∠B，
∴分两种情况讨论：①当△ACP≌△BPQ时AC＝BP（全等三角形对应边相等），
∵AC＝8，
∴10﹣x＝8，
解得x＝2，即AP＝2；
②当△ACP≌△BQP时AP＝BP（全等三角形对应边相等），
∴x＝10﹣x，
解得x＝5即AP＝5，
综上所述，AP的长为2或5，
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
【作业 6】（2025秋 鄱阳县月考）（1）求出图中x的值．
（2）如图，△ABC≌△ABD，∠C＝40°，∠DAB＝20°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由三角形的外角定理建立方程求解即可；
（2）利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，（x+70）°＝x°+（x+10）°，
解得x＝60；
（2）∵△ABC≌△ABD，∠DAB＝20°，
∴∠DAB＝∠CAB＝20°（全等三角形对应角相等），
∵∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝120°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理三角形外角性质，全等三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【作业 7】（2024秋 房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求DE的长；
（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案；
（2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm．
∴DE＝BD﹣BE＝2cm；
（2）AC与DB垂直，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠EBC＝∠ABD．
又∵∠ABD+∠EBC＝180°，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴DB⊥AC．
【点评】本题侧重考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边、对应角分别相等．
【作业 8】（2025秋 桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由．
【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝EF，∠BAC＝∠F，根据直角三角形的性质求出∠AOF＝90°，得到AB⊥EF，得出结论．
【解答】解：AB与EF垂直且相等，
理由如下：∵△ABC≌△FEA，
∴AB＝EF，∠BAC＝∠F，
∵∠CAF＝90°，
∴∠BAC+∠BAF＝90°，
∴∠F+∠BAF＝90°，
∴∠AOF＝90°，
∴AB⊥EF，
∴AB与EF垂直且相等．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
【作业 9】（2026春 余江区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°．
（1）试说明∠BAD＝∠EAC；
（2）求∠ADE的度数．
【分析】（1）由全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，进而即可求证；
（2）由全等三角形的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠EAC；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，
由（1）知∠BAD＝∠EAC＝50°，
∴，
∴∠ADE＝∠B＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【作业 10】（2024春 即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边．
（1）再写出其他的一组对应边和一组对应角；
（2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由；
（3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠A＝∠F，即可判定AC∥DF；
（3）根据全等三角形的对应边相等得到AB＝FE，进而得出AE＝BF，根据线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△FED，
∴∠ABC和∠DEF是对应角，∠C和∠D是对应角，AC和FD是对应边，AB和EF是对应边；（答案不唯一）
（2）AC∥DF．
理由：因为△ABC≌△FED，
所以∠A＝∠F，
所以AC∥DF．
（3）因为△ABC≌△FED，
所以AB＝FE，
所以AB﹣BE＝FE＝BE，即AE＝BF．
因为AF＝8，BE＝2，
所以AE+BF＝AF﹣BE＝6，
所以AE＝3，
所以AB＝AE+BE＝5．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
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