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第3讲 一次函数与二元一次方程 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解一次函数概念y=kx+b(k≠0)，掌握k、b符号与图象位置的关系
· · 会用待定系数法求一次函数解析式，能根据图象信息解决k、b范围问题
· · 能解决行程、工程、利润、方案选择等一次函数实际应用问题
· · 理解一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系，会用图象法求交点和解集
知识梳理
☆ 1.一次函数的概念与图象性质
形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数；b=0时为正比例函数（特殊一次函数）
k决定倾斜方向：k>0时y随x增大而增大，图像从左到右上升；k<0时递减
b决定与y轴交点：b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴；k>0,b<0过一三四象限
｜k｜越大直线越陡；与x轴交点为(-,0)，与y轴交点为(0,b)
概念辨析例题：直线y=kx-b经过二、三、四象限，判断y=bx+k不经过哪个象限
解析：y=kx-b过二三四象限→k<0且-b<0即b>0。y=bx+k中b>0,k<0，过一三四象限，不过第二象限
☆ 2.待定系数法求一次函数解析式
步骤：设y=kx+b→代入已知两点坐标→解二元一次方程组→写出解析式
两点确定一条直线：只需两个点的坐标即可求k、b
已知图象与坐标轴交点、平移、平行条件时，可直接列方程
平行直线k相等；平移时k不变，只变b
概念辨析例题：一次函数过(0,6)和(2,0)，求解析式
解析：代入(0,6)得b=6；代入(2,0)得2k+6=0，k=-3，故y=-3x+6
☆ 3.一次函数实际应用
行程问题：s-t图斜率=速度，交点=相遇，水平段=停留
方案选择问题：写出两方案函数，求交点分界点，分段讨论谁更优
利润最值：利润=(售价-成本)×销量，注意自变量取值范围
分段函数：不同区间解析式不同，注意分界点和实际意义
概念辨析例题：甲厂每份2.5元无制版费；乙厂每份1元另收制版费1500元，何时选甲厂？
解析：y甲=2.5x，y乙=x+1500。令2.5x=x+1500得x=1000，结合图像0☆ 4.一次函数与方程(组)、不等式
二元一次方程kx+b=0的解=直线y=kx+b与x轴交点的横坐标
二元一次方程组的解=两条直线交点的坐标
不等式kx+b>0的解集=直线在x轴上方部分对应的x范围
不等式kx+b>k1x+b1的解集=直线y=kx+b在y=k1x+b1上方部分对应的x范围
概念辨析例题：两直线交于点P(2,3)，求不等式k1x+b1>k2x+b2的解集
解析：若y1=k1x+b1在交点右侧高于y2，则x>2时y1>y2，解集为x>2；左侧高则x<2
知识总结表
核心概念 公式/规律 注意事项
一次函数 y=kx+b (k≠0) b=0时为正比例函数
k符号 k>0递增，k<0递减 ｜k｜越大线越陡
b符号 b>0交y轴正半轴 b=0过原点
待定系数法 代入两点列方程组 平行则k相等
方程解 kx+b=0→x=- 即与x轴交点横坐标
方程组解 两直线交点坐标 图像法求交点
核心考点
【考点1】一次函数的概念与性质（第1-11题）
· · 一次函数要求x次数为1且k≠0；正比例函数还需b=0
· · k、b符号定象限：k>0,b>0一二三；k>0,b<0一三四；k<0,b>0一二四；k<0,b<0二三四
· · 区间最值：k>0时取端点x最小处最小，k<0时取端点x最大处最小
· · 含参问题分类讨论k的正负
1．若函数y＝（k﹣4）x+5是关于x的一次函数，则k应满足的条件为________ ．
2．（2025春 奉贤区月考）如果函数y＝（a﹣1）x+a（其中a是常数）是一次函数，那么a的取值范围是________ ．
3．（2026秋 同步）若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，则m的值为_______ ．
【考点2】一次函数图象（第12-17题）
· · 看图说话：与x轴交点即y=0的解，在x轴上方即y>0
· · 不等式kx+b≥0正整数解：先求x范围再取整数
· · 两直线交点横坐标即方程组解的x值
· · 图象不经过第三象限 k<0,b≥0
4．（2026春 红桥区校级月考）直线y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象不经过的象限是 _________ ．
5．（2023秋 宿豫区期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，要使y＞0，则x的取值范围为 ________ ．
6．（2026 东莞市二模）请写出一个b的值，使一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，b＝______________ ．
7．（2026春 潮南区期末）当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为17，则b＝_______ ．
8．（2025秋 路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为____________________ ．
9．（2025 深圳校级开学）在函数y＝kx+b中，常数k＞0，b＜0，这个函数的图象不经过第 _____ 象限．
10．（2022 和平区二模）直线y＝3x﹣2经过第 ___________ 象限，y随x的增大而 _______ ，与x轴的交点坐标为 ____________________ ．
11．（2025 西宁二模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，直线AC的解析式为yx+3．将矩形沿直线AC折叠，点B落在点B′处，CB′与x轴交于点D．点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，若以点C，D，F，P为顶点的四边形是菱形，且CD为该菱形的一条边，则点P的坐标为___________________ ．
【考点3】一次函数应用（第18-30题）
· · 行程s-t图：斜率=速度，交点=相遇，水平=停留
· · 方案选择：列两函数→求交点→分段讨论
· · 利润问题：利润=(单价-成本)×数量，注意取值范围
· · 分段函数逐段求解析式，分界点别漏
12．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 ________ ．
13．（2026春 赫山区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则b＝_____ ．
14．（2026春 贺兰县校级期中）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b≥0的正整数解是________ ．
15．（2025秋 杭州月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a，b，c，d为常数，a≠0，c≠0）的图象如图所示，若a﹣c＝m（b﹣d），则m＝__________________ ．
16．（2026 沈阳开学）已知一次函数y＝（2m﹣2）x+m+1．
（1）已知y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
（3）图象不经过第三象限，求m的取值范围．
17．（2026春 聊城期中）若两个一次函数y＝k1x+b1（k1≠0），y＝k2x+b2（k2≠0），则称函数y＝（k1+k2）x+b1b2为这两个函数的组合函数．
（1）一次函数y＝3x+2与y＝﹣4x+3的组合函数为___________ ；
（2）若一次函数y＝ax﹣2，y＝﹣x+b的组合函数为y＝3x+2，求a，b的值；
（3）若一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣3的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围．
【考点4】一次函数与二元一次方程（第31-48题）
· · 方程组解=两直线交点坐标，先求交点x再代入求y
· · 不等式解集看图像上下：谁在上谁大
· · 方程kx+b=0的解=与x轴交点横坐标
· · 复杂不等式先变形为两函数大小比较再看图
18．（2025秋 芜湖期末）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离y（km）与两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（　　）
A．乙车的速度是100km/h
B．乙车比甲车晚出发1h，却早到1h
C．乙车出发后1.5h追上甲车
D．当甲、乙两车相距50km时，或
19．（2024秋 威海期末）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　）
A．A点表示哥哥已经到达学校
B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米
C．他们家与学校之间的距离为800米
D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000
20．（2025春 平武县期末）甲、乙两地相距900千米，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离S（km）与快车的行驶时间t（ ）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（　　）
A．120km/h B．100km/h C．80km/h D．60km/h
21．（2025春 丰宁县期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
22．（2026 湖南一模）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为（4，2），（4，6），从点C（﹣1，0）发射光线，其图象对应的函数解析式为y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为_____ ．
23．（2026 滨海新区校级二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家1.2km，文化中心离家2km，李明从家出发，先匀速步行了6min到健身园，在健身园停留了6min，之后匀速步行了4min到文化中心，在文化中心停留了8min后，再匀速骑行8min返回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
时间/min 3 7 12 21
距离/km
________
1.2
________
_____
②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为 ________ km/min；
③当12≤x≤32时，请直接写出李明离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当李明离开家20min时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行16min回到家中，那么爸爸从文化中心回家途中（20≤x≤32）两人相距0.4km时，李明离开家的时间是多少分钟（直接写出结果即可）？
24．（2024秋 郑州期末）某小区的物业公司在日常检查中发现，小区内的一个蓄水池存在漏水问题．为了解漏水情况，物业人员决定进行监测．
上午9：00，物业人员开始记录蓄水池的水位高度，此时蓄水池的水位高度为6米，每隔1小时记录一次蓄水池的水位高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00
流水时间t/时 0 1 2 3 4
水位高度h/米 6 5.5 5 4.5 4
（1）根据表中信息发现，蓄水池的水位高度h（米）与流水时间t（时）是一次函数关系，求h关于t的函数解析式；
（2）请你估算物业人员在第6.5小时测量时，蓄水池的水位高度是多少米；
（3）请你判断蓄水池中的水完全漏完是几点钟．
25．（2026 柳州模拟）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元．
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
26．如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是每平方米50元，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（平方米）之间的函数关系如图②所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程有两个相等的实数根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元．
27．（2026 海伦市二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是_____ 米/秒，乙无人机的速度是_____ 米/秒；
（2）求线段PQ对应的函数表达式；
（3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
28．（2024秋 东莞市校级期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？
29．（2025春 罗定市期末）小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
碗的个数x（个） 1 2 3 4 5
这摞碗的总高度y（厘米） 5.5 7 8.5 10 11.5
【建立模型】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数x，纵轴表示这摞碗的总高度y，请根据表中信息描出对应点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
（3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度．
（4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
30．（2025秋 浑南区期末）为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．
请回答下列问题：
（1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？
（2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标；
（3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？
五．一次函数与二元一次方程（共18小题）
31．（2026春 罗湖区期中）如图，直线与直线交于点P（﹣2，3），不等式的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
32．（2025秋 宜兴市期末）已知点M（a，b）和点N（2，c）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，且a＜2，则b与c的大小关系正确的是（　　）
A．b＜c B．b＝c C．b＞c D．不确定
33．（2025秋 云岩区期末）如图，直线y＝x﹣1与y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
34．（2025秋 榆次区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）与y＝x﹣2图象的交点坐标是（m，2），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
35．（2026春 东城区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），则下列说法正确的是（　　）
A．方程kx+b＞0的解集是x＞1
B．方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝1
C．关于x，y的方程组的解是
D．不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2
36．（2026春 丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝ax+3相交于点P（﹣1，m），则关于x，y的方程组的解是____________________ ．
37．（2026 同心县模拟）如图，一次函数y1＝kx+4与y2＝x+b的图象相交于点P（1，3），则方程组的解是____________________ ．
38．（2024秋 宿城区校级期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与在第二象限交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 ____________________ ．
39．（2026春 荔湾区期末）如图，一次函数y＝kx﹣4的图象经过点A（﹣2，0），则关于x的不等式kx﹣4≥0的解集为_________ ．
40．（2025春 永寿县校级期末）如图，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）相交于点（2，3），则关于x的不等式k1x﹣k2x≥b2﹣b1的解集是________ ．
41．（2025春 碑林区校级期中）一次函数y1＝2x+4的图象与y2＝﹣2x的图象相交于点A（m，2），若y1＜y2，则x的取值范围是 _________ ．
42．（2025春 乐陵市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc＞0；②3（a﹣c）＝d﹣b；③x的值每增加1，y2﹣y1的值增加c﹣a；④a+b＜c+d．其中正确的是________ ．
43．（2025秋 南湖区校级期末）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式﹣kx﹣b﹣2x＜0的解集为 ____________________ ．
44．自己动手进行探究：
小融同学根据学习函数的经验，对函数y＝m|x﹣1|+x+n的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 a 4 …
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 _________________ ，a的值为 _____ ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）结合函数的图象，解决下列问题：
①写出该函数的一条性质：_____________ ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象回答，当m|x﹣1|+x+n＞x﹣1时，自变量x的取值范围为 ____________ ．
45．（2025秋 昔阳县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
46．（2025秋 金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）结合函数图象，直接写出方程组的解．
47．（2026春 抚宁区期末）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法：
步骤1：列表 步骤2：描点 步骤3：连线
x…﹣2﹣1 0 1 2… y…5 3 1﹣1﹣3…
结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应．
根据以上研究结论解决以下问题．
已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表：
x
_______
﹣1 0 2
y 6 5
_____
2
（1）①补全上表中的数；
②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象；
（2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ _____ ．
48．（2025 江汉区模拟）九年级数学学习小组的同学根据学习函数的经验，通过列表、描点、连线的方法研究了函数的图象和相关性质．以下是部分x，y的对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣1 3 b …
下列五个结论：
①a＝1，b＝﹣1；
②该函数图象经过第二象限；
③若将该函数图象向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象经过坐标原点；
④该函数图象与直线y＝x+c最多有三个不同的交点；
⑤若点A（t，b）和B（m，n）是该函数图象上两点，且n＜b，则m＞2．
其中正确的结论是________ （填序号）．
课后巩固
复习建议
· · 一次函数概念牢记k≠0，正比例函数还需b=0
· · k、b符号定象限，画草图辅助判断
· · 待定系数法：两点代入解方程组
· · 实际应用题先写自变量取值范围，分段函数逐段求
· · 方程组解=交点坐标，不等式解集看图像上下
【作业 1】（2026 南海区校级二模）为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程s（m）与时间t（min）之间的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙两人练习的长跑路程是1000m
B．甲、乙两人同时达到终点
C．前2.5分钟，甲比乙每分钟快50m
D．2.5分钟后，乙跑在甲的前面
【作业 2】（2025秋 响水县期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【作业 3】（2025秋 东营期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 ____________________ ．
【作业 4】（2025秋 黄岩区期末）如图，直线y1＝mx（m≠0），y2＝kx+b（k≠0）相交于点P，则关于x的不等式kx+b＜mx的解集为 ________ ．
【作业 5】（2025春 崂山区期中）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx+3b＞0的解集是 ________ ．
【作业 6】（2025 海门区校级开学）如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：________ ；
（2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标．
【作业 7】（2025秋 衢江区期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为y（元），印制数量为x（份）．
甲印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收0.5元．此时y与x的函数关系如图所示．
乙印刷厂收费标准是：每份材料收k元印制费，另收b元制版费，此时y与x的关系如下表所示．
印制数量x（份） 0 1000 2000 3000 4000
收费y（元） 1500 2500 3500 4500 5500
（1）在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂y关于x的函数图象，并判断函数类型．
（2）求乙印刷厂y关于x的函数表达式．
（3）对于x的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜．
【作业 8】（2025秋 双流区校级月考）为践行新发展理念的公园城市．天府七中同学为此积极设计了两款文创产品共100件，其中1件A产品与1件B产品，需成本25元；3件A产品与2件B产品，需成本60元．
（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？
（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低于4500元；A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，才能使销售这100件文创产品获得的利润最大？最大利润是多少？
【作业 9】（2026 浙江模拟）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为 _______ km，a＝ ________ ；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
【作业 10】（2026 济宁一模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【作业 11】（2026 栖霞区校级三模）某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描160件快递入库．乙平均每小时送m件快递出库．某天仓库里原有160件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙休息1小时后按原速度工作，当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）点A的坐标是____________ ，m的值是________ ；
（2）求CD段的函数表达式；
（3）仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，已知该天“半饱和”状态持续的时间不超过5小时，直接写出a的最小值．
【作业 12】（2026春 营口期末）已知二元一次方程x﹣y＝3，列举方程的解如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m ﹣3 ﹣2 ﹣1 n 1 …
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．
（1）表格中的m＝_______ ，n＝_____ ；
（2）以表格中方程每个解x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在下方坐标系中画出对应的点，观察这些点的位置，并过这些点中任意两点作直线，猜想二元一次方程x﹣y＝3的图象是什么几何图形；
（3）点P（a，b）是二元一次方程x﹣y＝3的图象上的一个点，且点P在第四象限，求出a的取值范围；
（4）已知二元一次方程cx﹣y＝﹣1（c为常数），图象如图所示，观察两个图象可知二元一次方程组的解为____________________ ．
第1页（共1页）第3讲 一次函数与二元一次方程 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解一次函数概念y=kx+b(k≠0)，掌握k、b符号与图象位置的关系
· · 会用待定系数法求一次函数解析式，能根据图象信息解决k、b范围问题
· · 能解决行程、工程、利润、方案选择等一次函数实际应用问题
· · 理解一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系，会用图象法求交点和解集
知识梳理
☆ 1.一次函数的概念与图象性质
形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数叫一次函数；b=0时为正比例函数（特殊一次函数）
k决定倾斜方向：k>0时y随x增大而增大，图像从左到右上升；k<0时递减
b决定与y轴交点：b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴；k>0,b<0过一三四象限
｜k｜越大直线越陡；与x轴交点为(-,0)，与y轴交点为(0,b)
概念辨析例题：直线y=kx-b经过二、三、四象限，判断y=bx+k不经过哪个象限
解析：y=kx-b过二三四象限→k<0且-b<0即b>0。y=bx+k中b>0,k<0，过一三四象限，不过第二象限
☆ 2.待定系数法求一次函数解析式
步骤：设y=kx+b→代入已知两点坐标→解二元一次方程组→写出解析式
两点确定一条直线：只需两个点的坐标即可求k、b
已知图象与坐标轴交点、平移、平行条件时，可直接列方程
平行直线k相等；平移时k不变，只变b
概念辨析例题：一次函数过(0,6)和(2,0)，求解析式
解析：代入(0,6)得b=6；代入(2,0)得2k+6=0，k=-3，故y=-3x+6
☆ 3.一次函数实际应用
行程问题：s-t图斜率=速度，交点=相遇，水平段=停留
方案选择问题：写出两方案函数，求交点分界点，分段讨论谁更优
利润最值：利润=(售价-成本)×销量，注意自变量取值范围
分段函数：不同区间解析式不同，注意分界点和实际意义
概念辨析例题：甲厂每份2.5元无制版费；乙厂每份1元另收制版费1500元，何时选甲厂？
解析：y甲=2.5x，y乙=x+1500。令2.5x=x+1500得x=1000，结合图像0☆ 4.一次函数与方程(组)、不等式
二元一次方程kx+b=0的解=直线y=kx+b与x轴交点的横坐标
二元一次方程组的解=两条直线交点的坐标
不等式kx+b>0的解集=直线在x轴上方部分对应的x范围
不等式kx+b>k1x+b1的解集=直线y=kx+b在y=k1x+b1上方部分对应的x范围
概念辨析例题：两直线交于点P(2,3)，求不等式k1x+b1>k2x+b2的解集
解析：若y1=k1x+b1在交点右侧高于y2，则x>2时y1>y2，解集为x>2；左侧高则x<2
知识总结表
核心概念 公式/规律 注意事项
一次函数 y=kx+b (k≠0) b=0时为正比例函数
k符号 k>0递增，k<0递减 ｜k｜越大线越陡
b符号 b>0交y轴正半轴 b=0过原点
待定系数法 代入两点列方程组 平行则k相等
方程解 kx+b=0→x=- 即与x轴交点横坐标
方程组解 两直线交点坐标 图像法求交点
核心考点
【考点1】一次函数的概念与性质（第1-11题）
· · 一次函数要求x次数为1且k≠0；正比例函数还需b=0
· · k、b符号定象限：k>0,b>0一二三；k>0,b<0一三四；k<0,b>0一二四；k<0,b<0二三四
· · 区间最值：k>0时取端点x最小处最小，k<0时取端点x最大处最小
· · 含参问题分类讨论k的正负
1．若函数y＝（k﹣4）x+5是关于x的一次函数，则k应满足的条件为k≠4　 ．
【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣4）x+5是关于x的一次函数，
∴k﹣4≠0，
解得k≠4，
故答案为：k≠4．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键．
2．（2025春 奉贤区月考）如果函数y＝（a﹣1）x+a（其中a是常数）是一次函数，那么a的取值范围是a≠1　 ．
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：如果函数y＝（a﹣1）x+a（其中a是常数）是一次函数，
那么a﹣1≠0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3．（2026秋 同步）若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，则m的值为　﹣1　 ．
【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可．
【解答】解：若关于x的函数y＝（m﹣1）x|m|+2是一次函数，
则|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键．
【考点2】一次函数图象（第12-17题）
· · 看图说话：与x轴交点即y=0的解，在x轴上方即y>0
· · 不等式kx+b≥0正整数解：先求x范围再取整数
· · 两直线交点横坐标即方程组解的x值
· · 图象不经过第三象限 k<0,b≥0
4．（2026春 红桥区校级月考）直线y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象不经过的象限是 　第二象限　 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可．
【解答】解；∵直线y＝kx﹣b的图象经过第二、四象限，
∴k＜0．
∵直线y＝kx﹣b经过第三象限，
∴﹣b＜0，
∴b＞0，
∴直线y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：第二象限．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键，
5．（2023秋 宿豫区期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，要使y＞0，则x的取值范围为 x＜2　 ．
【分析】直接利用一次函数图象与x轴的交点得出y＞0时x的取值范围．
【解答】解：如图所示：y＞0，则x的取值范围是：x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．
6．（2026 东莞市二模）请写出一个b的值，使一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，b＝　﹣1（答案不唯一）　 ．
【分析】先根据一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限求出b的取值范围，再找出符合条件的b的取值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
∴符合题意的b可以是，b＝﹣1答案不唯一．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限．
7．（2026春 潮南区期末）当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b的最大值为17，则b＝　20　 ．
【分析】根据一次函数的增减性可知当x＝1时，一次函数y＝﹣3x+b取得最大值17，进一步求b的值即可．
【解答】解：在一次函数y＝﹣3x+b中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x增大而减小，
当1≤x≤10时，一次函数y＝﹣3x+b取得最大值17，
∴x＝1时，y＝﹣3x+b＝17，
∴﹣3+b＝17，
解得b＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
8．（2025秋 路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　6或　 ．
【分析】需要分类讨论：当k＞1时，x＝﹣3时y＝﹣6；当k＜1时，x＝2时y＝﹣6，据此作答即可．
【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+2k﹣3，当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，
∴①当k﹣1＞0，即k＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣3时，y＝﹣6，
∴﹣3（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6，
∴k＝6，
②当k﹣1＜0，即k＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y＝﹣6，
∴2（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6，
∴k，
∴k的值为6或．
故答案为：6或．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题时需要对k的取值范围进行分类讨论，以防漏解．
9．（2025 深圳校级开学）在函数y＝kx+b中，常数k＞0，b＜0，这个函数的图象不经过第 　二　 象限．
【分析】根据函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＜0判断出函数的图象所经过的象限即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b中k＞0、b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10．（2022 和平区二模）直线y＝3x﹣2经过第 　第一、三、四　 象限，y随x的增大而 　增大　 ，与x轴的交点坐标为 　（，0）　 ．
【分析】令y＝0，列方程求解x得到直线与x轴的交点坐标，然后结合一次函数的性质分析直线所经过的象限和增减性．
【解答】解：在y＝3x﹣2中，
当y＝0时，3x﹣2＝0，
解得：x，
∴直线y＝3x﹣2与x轴的交点坐标为（，0）；
∵k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴直线y＝3x﹣2的经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，与x轴的交点坐标为（，0）；
故答案为：第一、三、四；增大；（，0）．
【点评】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
11．（2025 西宁二模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，直线AC的解析式为yx+3．将矩形沿直线AC折叠，点B落在点B′处，CB′与x轴交于点D．点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，若以点C，D，F，P为顶点的四边形是菱形，且CD为该菱形的一条边，则点P的坐标为　（4，﹣5）或 （﹣4，0）　 ．
【分析】依据题意，先求得C（0，3），A（9，0），OC＝3，OA＝9，然后再证明AD＝DC，又设AD＝DC＝x，根据勾股定理得到 x＝5，即OD＝4，再分不同情况进行解答即可．
【解答】解：由题意，∵直线AC的解析式为yx+3，
∴令x＝0，则y＝3；令y＝0，则yx+3＝0，可得x＝9．
∴C（0，3），A（9，0）．
∴OC＝3，OA＝9．
∵AB∥OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
根据题意：∠BAC＝CAB'，
∴∠ACO＝CAB'，
∴AD＝DC，
设AD＝DC＝x，
∵OC＝9，
∴OD＝9﹣x，
∵△AOD为直角三角形，OA＝3，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴OD＝4，
∴D（4，0），
①当F运动到F（0，﹣3），CD，DF作边，CF，DP为对角线时，
∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形，
又∵D（4，0），OP＝OD，
∴P（﹣4，0）；
②当F运动到F（0，﹣2），CD，CF作边时，
∴DP＝AD＝AF＝5，
∴P（4，﹣5）；
③当F运动到F（0，8）时，
∵点F是y轴负半轴上一个动点，
∴不符合题意；
故答案为：（4，﹣5）或 （﹣4，0）．
【点评】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
【考点3】一次函数应用（第18-30题）
· · 行程s-t图：斜率=速度，交点=相遇，水平=停留
· · 方案选择：列两函数→求交点→分段讨论
· · 利润问题：利润=(单价-成本)×数量，注意取值范围
· · 分段函数逐段求解析式，分界点别漏
12．（2024秋 宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜2　 ．
【分析】观察函数图象可知y随x的增大而增大，结合一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可求出当y＜0时x的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），且y随x的增大而增大，
∴当y＜0时，x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出y随x的增大而增大是解题的关键．
13．（2026春 赫山区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则b＝　6　 ．
【分析】函数图象与y轴的交点求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，6），
∴b＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
14．（2026春 贺兰县校级期中）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b≥0的正整数解是　1，2　 ．
【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可．
【解答】解：由图象可知，不等式kx+b≥0的解集为x≤2．
因为x是正整数，
所以x的正整数值为：1，2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键．
15．（2025秋 杭州月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a，b，c，d为常数，a≠0，c≠0）的图象如图所示，若a﹣c＝m（b﹣d），则m＝　　 ．
【分析】根据当x＝4时，y1＝y2，即可求得a﹣c（b﹣d），从而得出m．
【解答】解：∵两个的图象交点的横坐标为4，
∴4a+b＝4c+d，
∴4a﹣4c＝d﹣b，
∴a﹣c（b﹣d），
∵a﹣c＝m（b﹣d），
∴m．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
16．（2026 沈阳开学）已知一次函数y＝（2m﹣2）x+m+1．
（1）已知y随x增大而减小，求m的取值范围；
（2）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
（3）图象不经过第三象限，求m的取值范围．
【分析】（1）根据y随x增大而减小可知2m﹣2＜0，求出m的取值范围即可；
（2）由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m+1＞0，再结合一次函数的定义，进而可得而出m的取值范围；
（3）根据图象不经过第三象限，列出关于m的方程组，求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y随x增大而减小，
∴2m﹣2＜0，
解得m＜1；
（2）∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴m+1＞0且2m﹣2≠0，
解得m＞﹣1且m≠1；
（3）∵图象不经过第三象限，
∴，
解得﹣1≤m＜1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象过二、一、四象限是解答此题的关键．
17．（2026春 聊城期中）若两个一次函数y＝k1x+b1（k1≠0），y＝k2x+b2（k2≠0），则称函数y＝（k1+k2）x+b1b2为这两个函数的组合函数．
（1）一次函数y＝3x+2与y＝﹣4x+3的组合函数为y＝﹣x+6　 ；
（2）若一次函数y＝ax﹣2，y＝﹣x+b的组合函数为y＝3x+2，求a，b的值；
（3）若一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣3的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围．
【分析】（1）由题意即可求出一次函数y＝3x+2与y＝﹣4x+3的组合函数；
（2）根据题意列出方程即可求出a、b的值；
（3）根据题意列出不等式即可求出k、b的范围；
【解答】解：（1）由题意可知：一次函数y＝3x+2与y＝﹣4x+3的组合函数为：y＝（3﹣4）x+2×3，
即y＝﹣x+6；
故答案为：（1）y＝﹣x+6
（2）由题意可知：一次函数y＝ax﹣2，y＝﹣x+b的组合函数为：y＝（a﹣1）x﹣2b，
∵一次函数y＝ax﹣2，y＝﹣x+b的组合函数为y＝3x+2，
∴a﹣1＝3，﹣2b＝2，
解得：a＝4，b＝﹣1；
（3）一次函数y＝﹣x+b与y＝kx﹣3的组合函数为：y＝（﹣1+k）x﹣3b，
∵组合函数的图象经过第一、二、四象限，
∴﹣1+k＜0，﹣3b＞0，
∵k≠0，
∴k＜1且k≠0，b＜0；
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
【考点4】一次函数与二元一次方程（第31-48题）
· · 方程组解=两直线交点坐标，先求交点x再代入求y
· · 不等式解集看图像上下：谁在上谁大
· · 方程kx+b=0的解=与x轴交点横坐标
· · 复杂不等式先变形为两函数大小比较再看图
18．（2025秋 芜湖期末）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离y（km）与两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（　　）
A．乙车的速度是100km/h
B．乙车比甲车晚出发1h，却早到1h
C．乙车出发后1.5h追上甲车
D．当甲、乙两车相距50km时，或
【分析】先设甲的函数关系式为y＝kt，乙的函数关系式为y1＝k1t+b1，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可．
【解答】解：设甲的函数关系式为y＝kt，乙的函数关系式为y1＝k1t+b1，
由函数图象得，将（5，300）代入到甲的函数关系式中，（1，0），（4，300）代入到乙的函数关系式中，
∴5k＝300，，
解得，
∴甲的函数关系式为y＝60t，乙的函数关系式为y1＝100t﹣100，
A、乙车速度为300÷（4﹣1）＝100km/h，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在t＝1时出发，在t＝4到达，甲车在t＝0时出发，在t＝5到达，则乙车比甲车晚出发1h，却早到1h，该选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得，
解得，
∵乙车在t＝1时出发，
∴乙车出发后1.5h追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前（0≤t＜1）：60t＝50，
解得，选项中没有；
乙出发后到甲到达前（1≤t≤5）：|60t﹣100（t﹣1）|＝50，
解得或；
乙到达后（t＞4）：300﹣60t＝50
解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键．
19．（2024秋 威海期末）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　）
A．A点表示哥哥已经到达学校
B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米
C．他们家与学校之间的距离为800米
D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000
【分析】A．哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；
B．根据A可知，A点时二人之间的距离最大，利用路程＝速度×时间，计算二人的路程之差即可；
C．由A可知，A点表示哥哥已经到达学校，利用路程＝速度×时间求出A点时哥哥骑行的路程即可；
D．设坐标B（t，a），利用弟弟在AB段和BC段的路程＝速度×时间列关于t和a的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出BC的函数表达式即可．
【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度，
∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，
∴A点表示哥哥已经到达学校，
∴A正确，不符合题意；
哥哥与弟弟相距的最大距离是（160﹣60）×5＝500（米），
∴B正确，不符合题意；
他们家与学校之间的距离为160×5＝800（米），
∴C正确，不符合题意；
设坐标B（t，a），
根据题意，得，
解得，
设BC的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标B（10，200）和C（12，0）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键．
20．（2025春 平武县期末）甲、乙两地相距900千米，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离S（km）与快车的行驶时间t（ ）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（　　）
A．120km/h B．100km/h C．80km/h D．60km/h
【分析】由题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，根据“速度＝路程÷时间”求出快车的速度，设慢车的速度为vkm/h，当x＝3时，两车相遇，根据此时两车行驶的总路程为900km列方程并求解即可．
【解答】解：根据题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，
900÷4.5＝200（km/h），
∴快车的速度为200km/h．
设慢车的速度为vkm/h．
当x＝3时，两车相遇，此时两车行驶的总路程为900km，得3（v+200）＝900，
解得v＝100，
∴慢车的速度为100km/h．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，判断快车到达乙地的时间并熟练掌握路程、速度、时间三者的关系是解题的关键．
21．（2025春 丰宁县期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙用12分钟追上甲
B．乙追上甲后，再走1440米才到达
C．甲乙两人之间的最远距离是300米
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟
【分析】A．根据图象计算即可；
B．根据速度＝路程÷时间计算出甲的速度，由路程＝速度×时间计算出乙追上甲时甲的路程（与乙的路程相等），再根据起点与终点之间的距离计算即可；
C．由图象可知，当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远；根据乙追上甲时速度＝路程÷时间求出乙的速度，从而计算出乙到达终点所用的时间，进而求出此时甲走的路程，再根据起点与终点之间的距离计算二人的间距即可；
D．根据当乙到达终点时甲走的路程计算出甲剩下的路程，再由时间＝路程÷速度计算出甲还需多长时间到达终点，即甲到终点时，乙已经在终点处休息的时间．
【解答】解：16﹣4＝12（分），
∴乙用12分钟追上甲，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为240÷4＝60（米/分），
乙追上甲时，二人离起点的距离为2400﹣60×16＝1440（米），
∴乙追上甲后，再走1440米才到达，
∴B正确，不符合题意；
乙的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分），
乙到达终点所用的时间为2400÷80＝30（分），
当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），
当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为2400﹣2040＝360（米），
∴C错误，符合题意；
∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，
∴甲还需要（2400﹣2040）÷60＝6（分）到达终点，
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
22．（2026 湖南一模）学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为（4，2），（4，6），从点C（﹣1，0）发射光线，其图象对应的函数解析式为y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y＝mx+n（m≠0，x≥﹣1）经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　7　 ．
【分析】作出点C关于AB对称点C′，可知C′的坐标，作直线AC′，BC′，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，
则C′（9，0），
作直线AC′，BC′分别交y轴于E1，E2，设直线BC′y＝ax+c（a≠0），
把C′（9，0）和B（4，6）代入y＝ax+c中，
得，
解得，
∴点E2的坐标为．
设直线AC′的函数解析式为y＝a1x+c1（a1≠0），
把A（4，2）和C′（9，0）代入y＝a1x+c1中，
得，
解得，
∴点E1的坐标为，
∴，
∴点E是整点的有（0，8），（0，9），（0，10），（0，4），（0，5），（0，6），（0，7），共7个，
故答案为：7．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．（2026 滨海新区校级二模）已知李明的家、健身园、文化中心依次在同一条直线上，健身园离家1.2km，文化中心离家2km，李明从家出发，先匀速步行了6min到健身园，在健身园停留了6min，之后匀速步行了4min到文化中心，在文化中心停留了8min后，再匀速骑行8min返回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中李明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
时间/min 3 7 12 21
距离/km 　0.6　 1.2 　1.2　 　2　
②填空：李明从健身园步行到文化中心的速度为 　0.2　 km/min；
③当12≤x≤32时，请直接写出李明离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）当李明离开家20min时，他的爸爸从文化中心出发匀速步行16min回到家中，那么爸爸从文化中心回家途中（20≤x≤32）两人相距0.4km时，李明离开家的时间是多少分钟（直接写出结果即可）？
【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
②根据速度＝路程÷时间计算即可；
③根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可；
（Ⅱ）写出爸爸离家的距离y关于时间x的函数解析式，分别计算当20≤x≤24、24＜x≤32，两人相距0.4km时对应x的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）①当0≤x≤6时，小明的速度为1.2÷6＝0.2（km/min），
当x＝3时，y＝0.2×3＝0.6，
当x＝12时，y＝1.2，
当x＝21时，y＝2．
故答案为：0.6，1.2，2．
②李明从健身园步行到文化中心的速度为（2﹣1.2）÷（16﹣12）＝0.2（km/min）．
故答案为：0.2．
③当12≤x≤16时，y＝1.2+0.2（x﹣12）＝0.2x﹣1.2，
当16＜x≤24时，y＝2，
当24＜x≤32时，小明的速度为2÷（32﹣24）＝0.25（km/min），则y＝2﹣0.25（x﹣24）＝﹣0.25x+8，
∴当12≤x≤32时，李明离家的距离y关于时间x的函数解析式y．
（Ⅱ）爸爸的速度为2÷16＝0.125（km/min），
则爸爸离家的距离y关于时间x的函数解析式为y＝2﹣0.125（x﹣20）＝﹣0.125x+4.5，
当20≤x≤24时，两人相距0.4km时，得2﹣（﹣0.125x+4.5）＝0.4，解得x＝23.2，
当24＜x≤32时，两人相距0.4km时，得|﹣0.125x+4.5﹣（﹣0.25x+8）|＝0.4，解得x＝24.8或31.2．
答：李明离开家的时间是23.2分钟或24.8分钟或31.2分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
24．（2024秋 郑州期末）某小区的物业公司在日常检查中发现，小区内的一个蓄水池存在漏水问题．为了解漏水情况，物业人员决定进行监测．
上午9：00，物业人员开始记录蓄水池的水位高度，此时蓄水池的水位高度为6米，每隔1小时记录一次蓄水池的水位高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00
流水时间t/时 0 1 2 3 4
水位高度h/米 6 5.5 5 4.5 4
（1）根据表中信息发现，蓄水池的水位高度h（米）与流水时间t（时）是一次函数关系，求h关于t的函数解析式；
（2）请你估算物业人员在第6.5小时测量时，蓄水池的水位高度是多少米；
（3）请你判断蓄水池中的水完全漏完是几点钟．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将t＝6.5代入h关于t的函数解析式，求出对应h的值即可；
（3）将h关于t的函数解析式代入h＝0，解方程求出对应t的值，结合开始记录的时间计算即可．
【解答】解：（1）设h关于t的函数解析式为h＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）．
将t＝0，h＝6和t＝2，h＝5分别代入h＝kt+b，
得，
解得，
∴h关于t的函数解析式为ht+6．
（2）当t＝6.5时，h6.5+6＝2.75．
答：蓄水池的水位高度是2.75米．
（3）当h＝0时，得t+6＝0，
解得t＝12．
答：断蓄水池中的水完全漏完是下午9：00．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
25．（2026 柳州模拟）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元．
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m件A配件，则购进（300﹣m）件B配件，根据B配件进货件数不低于A配件件数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤100，再设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元；
（2）设购进m件A配件，则购进（300﹣m）件B配件，
根据题意得：300﹣m≥2m，
解得：m≤100，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
根据题意得：w＝250×20%m+60×（1.5﹣1）（300﹣m）＝20m+9000，
∵20＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值为20×100+9000＝11000，
此时300﹣m＝200．
答：购进A配件100件，B配件200件B时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
26．如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是每平方米50元，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（平方米）之间的函数关系如图②所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程有两个相等的实数根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元．
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；
（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米；
（3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15，
∵5≤a≤12，
∴a＝10．
设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S；
当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元），
S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元），
造价和：178000+140000＝318000（元）．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
27．（2026 海伦市二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是　6　 米/秒，乙无人机的速度是　3　 米/秒；
（2）求线段PQ对应的函数表达式；
（3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据时间＝路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段PQ对应的函数表达式即可；
（3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可．
【解答】解：（1）甲无人机的速度是36÷6＝6（米/秒），乙无人机的速度是（72﹣12）÷20＝3（米/秒），
故答案为：6，3；
（2）甲无人机飞行PQ段用时（72﹣36）÷6＝6（秒），20﹣6＝14（秒），
∴P（14，36），
设线段PQ对应的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标P（14，36）和Q（20，72）分别代入y＝kx+b，
，
解得：，
∴线段PQ对应的函数表达式为y＝6x﹣48（14≤x≤20）；
（3）设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝k′x+b′，
将（0，12）、（20，72）代入，得，解得，
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝3x+12（0≤x≤20）．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20，
由与乙无人机的高度差为9米得：3x+12﹣（6x﹣48）＝9，
解得x＝17，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
【点评】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键．
28．（2024秋 东莞市校级期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）根据题意求出w与x之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（12，36）和（13，34）代入得，
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）由题意得（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得x1＝22，x2＝18，
∵10≤x≤21，
∴x＝18
答：销售单价为18元；
（3）由题意得，w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵﹣2＜0，10≤x≤21，
∴当x＝20时，w的值最大，w最大值＝200，
答：当单价为20元时，每天获利最大，最大利润为200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
29．（2025春 罗定市期末）小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
碗的个数x（个） 1 2 3 4 5
这摞碗的总高度y（厘米） 5.5 7 8.5 10 11.5
【建立模型】
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数x，纵轴表示这摞碗的总高度y，请根据表中信息描出对应点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由；
【结论应用】应用上述发现的规律计算：
（3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度．
（4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【分析】（1）描点即可；
（2）连线，根据这些点的分布特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可；
（3）将x＝12代入函数表达式，求出对应的y值即可；
（4）根据题意列关于x的一元一次方程并求其解集，从而得到x的最大值即可．
【解答】解（1）描点如图所示：
（2）连线，发现这些点分布在同一条直线上，
∴y与x之间是一次函数的关系，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（2，7）和（4，10）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴这条直线所对应的函数表达式为y＝1.5x+4．
（3）当x＝12时，得y＝1.5×12+4＝22．
答：这摞碗的总高度为22cm．
（4）根据题意，得1.5x+4≤35，
解得x≤20，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、待定系数法求一次函数的表达式、一元一次不等式的解法是解题的关键．
30．（2025秋 浑南区期末）为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．
请回答下列问题：
（1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？
（2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标；
（3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？
【分析】（1）依据题意得，甲队速度：10÷2.5＝4（千米/小时 ），乙队速度：10÷2＝5（千米/小时），又设出发m小时相遇，可得4m+5m＝10，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时，则乙队2小时到达甲校，而此时甲队走了4×2＝8（千米），结合图象可以得解；
（3）依据题意，分两种情形列出关系式计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，甲队速度：10÷2.5＝4（千米/小时 ），乙队速度：10÷2＝5（千米/小时），
设出发m小时相遇，
∴4m+5m＝10．
∴m．
答：甲、乙两所高校队伍出发后小时相遇；
（2）由题意，∵乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时，
∴乙队2小时到达甲校，而此时甲队走了4×2＝8（千米），
∴两队距离为8千米，即点C纵坐标为8．
答：点C的实际意义是乙队2小时到达甲校，两队距离为8千米；点C纵坐标为8；
（3）由题意，分两种情形：
设甲、乙两所高校队伍出发后x小时相距8.5千米，
①相遇前，10﹣（4x+5x）＝8.5，
∴x．
②相遇后，由乙队2小时已到达，
∴4x＝8.5．
∴x＝2.125．
答：甲、乙两所高校队伍出发后小时或2.125小时时，两队相距8.5千米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
五．一次函数与二元一次方程（共18小题）
31．（2026春 罗湖区期中）如图，直线与直线交于点P（﹣2，3），不等式的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】直接根据当x≥﹣2时直线l1不在直线l2的下方进行解答即可．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＞﹣2时直线在直线的上方，
∴不等式的解集是x≥﹣2．故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
32．（2025秋 宜兴市期末）已知点M（a，b）和点N（2，c）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，且a＜2，则b与c的大小关系正确的是（　　）
A．b＜c B．b＝c C．b＞c D．不确定
【分析】直接根据一次函数的性质进行判断．
【解答】解：y＝﹣2x+3，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵a＜2，
∴b＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
33．（2025秋 云岩区期末）如图，直线y＝x﹣1与y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）交点的横坐标为2，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，把x＝2代入y＝x﹣1得到交点坐标，由此即可求解．
【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与一次函数y＝x﹣1的图象交点的横坐标为2，
∴y＝x﹣1＝2﹣1＝1，
∴交点坐标为（2，1）．
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键．
34．（2025秋 榆次区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）与y＝x﹣2图象的交点坐标是（m，2），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用交点在直线y＝x﹣2上求出交点的横坐标m，确定交点坐标，再根据函数图象交点坐标与方程组解的对应关系，得出方程组的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝x﹣2的交点坐标是（m，2），
∴将（m，2）代入y＝x﹣2得2＝m﹣2，
∴m＝4，
∴两函数的交点坐标为（4，2），
∵方程组的解就是两函数图象的交点坐标，
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标即为对应方程组的解是解题的关键．
35．（2026春 东城区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），则下列说法正确的是（　　）
A．方程kx+b＞0的解集是x＞1
B．方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝1
C．关于x，y的方程组的解是
D．不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2
【分析】利用图象，写出直线y＝kx+b在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对A选项进行判断；由于一次函数y＝kx+b的图象与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），根据一次函数与一元一次方程的关系可对B选项进行判断；根据两直线的交点问题可对C选项进行判断；写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣x﹣2的上方所对应的自变量的范围可对D选项进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是x＜1，所以A选项不符合题意；
∵一次函数y＝kx+b的图象与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），
∴方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝2，所以B选项不符合题意；
关于x，y的方程组的解是，所以C选项不符合题意；
不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．
36．（2026春 丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝ax+3相交于点P（﹣1，m），则关于x，y的方程组的解是　　 ．
【分析】直接利用交点坐标与方程组解的对应关系得出结果即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与直线y＝ax+3（a为常数，且a≠0）交于点P（﹣1，m），
∴m＝﹣（﹣1）+1＝2，即：P（﹣1，2），
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解．
37．（2026 同心县模拟）如图，一次函数y1＝kx+4与y2＝x+b的图象相交于点P（1，3），则方程组的解是　　 ．
【分析】依据题意，根据图象交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：由题意，∵一次函数y1＝kx+4的图象与y2＝x+b的图象交于点P（1，3），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的解，解题关键是掌握一次函数图象与方程的关系，掌握方程的解与图象交点的关系．
38．（2024秋 宿城区校级期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与在第二象限交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　　 ．
【分析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为（a，b），先求得B（﹣6，0），C（0，4），根据三角形的面积公式结合已知求得a＝﹣3b，则A（﹣3b，b），进而求得即可．
【解答】解：设点A坐标为（a，b），
在直线中，
当x＝0时，y＝4，则C（0，4），
当y＝0时，x＝﹣6，则B（﹣6，0），
∵S△ABO：S△ACO＝1：2，
∴，
∴a＝﹣3b，则A（﹣3b，b），
将A（﹣3b，b）代入中，得，则，
∴方程的，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握该知识点是关键．
39．（2026春 荔湾区期末）如图，一次函数y＝kx﹣4的图象经过点A（﹣2，0），则关于x的不等式kx﹣4≥0的解集为x≤﹣2　 ．
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
当x≤﹣2时，函数y＝kx﹣4的图象不在x轴下方，即kx﹣4≥0，
所以关于x的不等式kx﹣4≥0的解集为x≤﹣2．
故答案为：x≤﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
40．（2025春 永寿县校级期末）如图，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）相交于点（2，3），则关于x的不等式k1x﹣k2x≥b2﹣b1的解集是x≥2　 ．
【分析】将所求不等式进行变形，可得：k1x﹣k2x≥b2﹣b1 k1x+b1﹣（k2x+b2）＞0，即y1＞y2；然后根据图象观察，得出符合条件的x的取值范围．
【解答】解：k1x﹣k2x≥b2﹣b1
∴k1x+b1﹣（k2x+b2）＞0，
∴y1＞y2，
∵两条直线交于点（2，3），
根据图象的性质可得，当x≥2时，k1x+b1﹣（k2x+b2）＞0，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，运用图象求方程的解，不等式解集，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
41．（2025春 碑林区校级期中）一次函数y1＝2x+4的图象与y2＝﹣2x的图象相交于点A（m，2），若y1＜y2，则x的取值范围是 x＜﹣1　 ．
【分析】本题可先根据交点A在y1＝2x+4上求出m的值，进而确定交点A的坐标，再结合函数图象判断y1＜y2时x的取值范围．
【解答】解：∵点A（m，2）在y1＝2x+4的图象上，将y＝2代入y1＝2x+4，解得m＝﹣1，
∴交点A的坐标为（﹣1，2），
从函数图象上看，y1＜y2表示y1＝2x+4的图象在y2＝﹣2x图象的下方，
观察图象可知，在交点A左侧y1的图象在y2图象下方，此时x的取值范围是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题综合考查了一次函数的性质以及函数图象的应用．通过函数图象交点坐标来确定函数值大小关系对应的自变量取值范围，是一次函数中的常见题型．解题关键在于准确求出交点坐标，再结合图象直观判断．这种题目既考查了对函数解析式与点坐标关系的理解，又考查了对函数图象位置关系的观察分析能力，有助于培养学生数形结合的数学思想．
42．（2025春 乐陵市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc＞0；②3（a﹣c）＝d﹣b；③x的值每增加1，y2﹣y1的值增加c﹣a；④a+b＜c+d．其中正确的是　①②③　 ．
【分析】①根据函数图象直接得到a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，进一步即可得到ad+bc＞0；②根据当x＝3时，y1＝y，即可求得3（a﹣c）＝d﹣b；③求得yy2﹣y1＝（c﹣a）x+3（a﹣c）＝（c﹣a）（x﹣3），根据解析式即可求得x的值每增加1，y2﹣y1的值增加c﹣a；④当x＝1时，根据图象得不等式．
【解答】解：①由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
∴ad＞0，bc＞0，
∴ad+bc＞0，故①正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d，
∴3a﹣3c＝d﹣b，即3（a﹣c）＝d﹣b，故②正确；
∵y1＝ax+b，y2＝cx+d，
∴y2﹣y1＝（c﹣a）x+d﹣b，
∵3（a﹣c）＝d﹣b，
∴y2﹣y1＝（c﹣a）x+3（a﹣c）＝（c﹣a）（x﹣3），
∴x的值每增加1，y2﹣y1的值增加c﹣a．故③正确；
当x＝1时，y1＝a+b，y2＝c+d，由图象可知y1＞y2，
∴a+b＞c+d，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
43．（2025秋 南湖区校级期末）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式﹣kx﹣b﹣2x＜0的解集为 x　 ．
【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），
∴﹣2m＝3，
解得：m，
则关于x的不等式﹣kx﹣b﹣2x＜0可以变形为﹣2x＜kx+b，
由图象得：﹣2x＜kx+b的解集为x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
44．自己动手进行探究：
小融同学根据学习函数的经验，对函数y＝m|x﹣1|+x+n的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 a 4 …
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为 y＝2|x﹣1|+x﹣3　 ，a的值为 　1　 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（3）结合函数的图象，解决下列问题：
①写出该函数的一条性质：　函数有最小值﹣2　 ；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象回答，当m|x﹣1|+x+n＞x﹣1时，自变量x的取值范围为 x＜0或x＞2　 ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，根据解析式即可求得a；
（2）描点、连线，画出函数图象即可；
（3）直接根据图象，利用数形结合的思想求解即可．
【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1）代入y＝m|x﹣1|+x+n得，
解得，∴该函数的解析式为y＝2|x﹣1|+x﹣3，
把x＝2代入y＝2|x﹣1|+x﹣3得，y＝2+2﹣3＝1，∴a＝1，
故答案为y＝2|x﹣1|+x﹣3，1；
（2）描点、连线画出函数图象如图：
（3）结合函数的图象，
①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣2；
故答案为函数有最小值﹣2；
②根据图象可知，m|x﹣1|+x+n＞x﹣1时，自变量x的取值范围为x＜0或x＞2，
故答案为：x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，画出函数图象，利用数形结合思想是解题的关键．
45．（2025秋 昔阳县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，b），直线l1与l2与x轴分别交于A、B两点．
（1）求b的值，并结合图象写出关于x、y的方程组的解；
（2）求△ABP的面积；
（3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C、D，若线段CD的长为4，求出a的值．
【分析】（1）把点P（1，b）代入y＝2x+1，得b＝3，则P（1，3），由直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P（1，3）可得，方程组的解为，由此即可得出方程组的解；
（2）先求出直线l1：y＝2x+1与x轴的交点A的坐标，再求出直线l2：y＝﹣x+4与x轴的交点B的坐标，然后求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可得，由此即可求出△ABP的面积；
（3）由题意得，直线x＝a与直线l1的交点C的坐标为（a，2a+1），与直线l2的交点D的坐标为（a，﹣a+4），由CD＝4可得|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4，即|3a﹣3|＝4，解方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）由条件可得：b＝2×1+1＝3，
∴P（1，3），
∴方程组的解为，
∴方程组的解为；
（2）对于直线l1：y＝2x+1，
令y＝0，则2x+1＝0，
解得：，
∴，
对于直线l2：y＝﹣x+4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
∴，
∴；
（3）∵CD＝4，
∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝4，
即：|3a﹣3|＝4，
解得：或．
【点评】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一元一次方程的应用（几何问题），三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用数形结合思想是解题的关键．
46．（2025秋 金凤区校级期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，6），一次函数图象经过点B（3，1），与x轴的交点为C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）结合函数图象，直接写出方程组的解．
【分析】（1）将点P（m，6）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣2，6）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
（3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】解：（1）由条件可知﹣3m＝6，m＝﹣2，
∴P（﹣2，6），
把（3，1）和（﹣2，6）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得；
∴一次函数解析式是y＝﹣x+4；
（2）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+4，
∴点C（4，0），
∴OC＝4，
∵P（﹣2，6），
∴△COP的面积；
（3）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣2，6），
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，两直线围成三角形面积，一次函数与二元一次方程组，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系．
47．（2026春 抚宁区期末）小明在探究二元一次方程2x+y＝1的图象时发现：可以将二元一次方程的解写成点的坐标的形式，如方程的解写成点的坐标（﹣2，5），于是他就选取了二元一次方程2x+y＝1的一部分解，见下表，通过在平面直角坐标系中描点、连线，得到了二元一次方程2x+y＝1的图象．于是，他对二元一次方程的图象给出如下定义：以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．下面是二元一次方程2x+y＝1图象的画法：
步骤1：列表 步骤2：描点 步骤3：连线
x…﹣2﹣1 0 1 2… y…5 3 1﹣1﹣3…
结论：二元一次方程的图象是一条直线，直线上点的坐标与二元一次方程的解一一对应．
根据以上研究结论解决以下问题．
已知关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表：
x 　﹣2　 ﹣1 0 2
y 6 5 　4　 2
（1）①补全上表中的数；
②仿照示例的方法在平面直角坐标系中画出二元一次方程x+y＝4的图象；
（2）若关于x、y的二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的图象与二元一次方程x+y＝4的图象交于点（﹣1，5），则k＝ 　3　 ．
【分析】（1）①根据二元一次方程x+y＝4的解填表即可；
②根据①表格中二元一次方程的解，在平面直角坐标系中描点、连线画图即可；
（2）由题意可知，x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解，即可求出k的值．
【解答】解：（1）①关于x，y的二元一次方程x+y＝4的部分解，如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 2
y 6 5 4 2
②二元一次方程x+y＝4的图象如图：
（2）两方程图象交于点（﹣1，5），
∴x＝﹣1，y＝5是二元一次方程kx+y＝2（k≠0）的解，
∴﹣k+5＝2，
解得：k＝3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程的图象．熟练掌握以上知识点是关键．
48．（2025 江汉区模拟）九年级数学学习小组的同学根据学习函数的经验，通过列表、描点、连线的方法研究了函数的图象和相关性质．以下是部分x，y的对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣1 3 b …
下列五个结论：
①a＝1，b＝﹣1；
②该函数图象经过第二象限；
③若将该函数图象向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象经过坐标原点；
④该函数图象与直线y＝x+c最多有三个不同的交点；
⑤若点A（t，b）和B（m，n）是该函数图象上两点，且n＜b，则m＞2．
其中正确的结论是　①③④　 （填序号）．
【分析】利用待定系数法求得a、b即可判断①；根据函数的图象即可判断②③④⑤．
【解答】解：x＝0，y＝﹣1代入得：﹣1，
∴a＝1，
∴函数为y，
把（2，b）代入得，b，故①正确；
描点、连线，画出函数图象如图：
由图象可知，该函数图象不经过第二象限，故②错误；
若将该函数图象向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象经过坐标原点，故③正确；
该函数图象与直线y＝x+c最多有三个不同的交点，故④正确；
若点A（t，b）和B（m，n）是该函数图象上两点，
∵b＝﹣1，
∴t＝0或t＝2，
由图象可知，当n＜b时，则m＜0或m＞2，故⑤错误．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
课后巩固
复习建议
· · 一次函数概念牢记k≠0，正比例函数还需b=0
· · k、b符号定象限，画草图辅助判断
· · 待定系数法：两点代入解方程组
· · 实际应用题先写自变量取值范围，分段函数逐段求
· · 方程组解=交点坐标，不等式解集看图像上下
【作业 1】（2026 南海区校级二模）为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程s（m）与时间t（min）之间的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲、乙两人练习的长跑路程是1000m
B．甲、乙两人同时达到终点
C．前2.5分钟，甲比乙每分钟快50m
D．2.5分钟后，乙跑在甲的前面
【分析】根据纵轴表示他们长跑的路程可得两人练习的长跑路程是1000m；根据交点坐标（4，10001）可知甲、乙两人同时达到终点；根据图象分别求出两人的速度可判断选项C；根据图象可判断选项D．
【解答】解：由图象可知：
甲、乙两人练习的长跑路程是1000m，故选项A说法正确，不符合题意；
甲、乙两人同时达到终点，故选项B说法正确，不符合题意；
前2.5分钟，甲的速度是300（米/分），
乙的速度是250（米/分），
∴前2.5分钟，甲比乙每分钟快50m，故选项C说法正确，不符合题意；
【作业 2】5分钟后，甲跑在乙的前面，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息．
【作业 3】（2025秋 响水县期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据点在第四象限，则得b，k的符号，根据b，k的符号即可确定一次函数y＝kx+b的图象经过的象限，从而确定大致图象．
【解答】解：∵点（b，k）在第四象限，
∴b＞0，k＜0，
当k＜0时，一次函数y＝kx+b经过二、四象限；当b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一象限，
即一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限；
故选：A．
【点评】本题考查了点所有象限的特征，一次函数的图象与性质，关键是根据点在第四象限的特点解答．
【作业 4】（2025秋 东营期末）如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是 　　 ．
【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，
所以A点坐标为（1，3），
所以方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．
【作业 5】（2025秋 黄岩区期末）如图，直线y1＝mx（m≠0），y2＝kx+b（k≠0）相交于点P，则关于x的不等式kx+b＜mx的解集为 x＞2　 ．
【分析】结合函数图象，写出直线y1＝mx在直线y2＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y1＝mx（m≠0），y2＝kx+b（k≠0）的相交点P的坐标为（2，1），
∴当x＞2时，y1＞y2，
∴关于x的不等式kx+b＜mx的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．
【作业 6】（2025春 崂山区期中）如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx+3b＞0的解集是 x＞3　 ．
【分析】先把（2，0）代入y＝kx+b，得0＝2k+b，结合图象，得k＞0，则b＝﹣2k，那么2kx+3b＞0，即为2kx＞6k，系数化1，即可作答．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
∴把（2，0）代入y＝kx+b，得0＝2k+b，
∴b＝﹣2k，
结合图象，得k＞0，
∵2kx+3b＞0，
∴2kx+3×（﹣2k）＞0，
则2kx＞6k，
∵k＞0，
∴x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与x轴的交点以及解不等式，正确利用数形结合是解答本题的关键．
【作业 7】（2025 海门区校级开学）如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：x＝1　 ；
（2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标．
【分析】（1）点P的横坐标即为关于x的方程3x＝kx+4的解，根据图象直接作答即可；
（2）根据（1），将3x＝kx+4的解代入3x＝kx+4，得到关于k的一元一次方程并求解，从而求得直线l2的函数表达式，当y＝0时求出对应x的值即可．
【解答】解：（1）根据图象，关于x的方程3x＝kx+4的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
（2）将x＝1代入方程3x＝kx+4，
得3＝k+4，
解得k＝﹣1，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣x+4，
当y＝0，得﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，掌握图象交点的意义及一元一次方程的解法是解题的关键．
【作业 8】（2025秋 衢江区期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为y（元），印制数量为x（份）．
甲印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收0.5元．此时y与x的函数关系如图所示．
乙印刷厂收费标准是：每份材料收k元印制费，另收b元制版费，此时y与x的关系如下表所示．
印制数量x（份） 0 1000 2000 3000 4000
收费y（元） 1500 2500 3500 4500 5500
（1）在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂y关于x的函数图象，并判断函数类型．
（2）求乙印刷厂y关于x的函数表达式．
（3）对于x的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜．
【分析】（1）根据题意画图判断即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）根据图象得：乙印刷厂y关于x的函数为一次函数；
（2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过（1000，2500），（0，1500）．
设y乙＝kx+b，分别将（1000，2500），（0，1500）代入得：
，
解得，
∴y乙＝x+1500；
（3）根据题意，当在甲厂印刷时，4000÷2.5＝1600份，
∴当x＞1600时，
y甲＝4000+0.5（x﹣1600）＝0.5x+3200；
∴，
解得：，
结合图象得：当1600＜x＜3400时，在乙厂印制便宜；当x＝3400时，在甲乙两厂印制费用一样；当x＞3400时，在甲厂印制便宜．
当0＜x≤1600时，y甲＝2.5x；
∴，
解得：，
∴当0＜x＜1000时，在甲厂印制便宜；当x＝1000时，在甲乙两厂印制费用一样；当1000＜x≤1600时，在乙厂印制便宜；
综上可得：0＜x＜1000时，在甲厂印制便宜；当x＝1000时，在甲乙两厂印制费用一样；当1000＜x＜3400时，在乙厂印制便宜；当x＝3400时，在甲乙两厂印制费用一样；当x＞3400时，在甲厂印制便宜．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关键．
【作业 9】（2025秋 双流区校级月考）为践行新发展理念的公园城市．天府七中同学为此积极设计了两款文创产品共100件，其中1件A产品与1件B产品，需成本25元；3件A产品与2件B产品，需成本60元．
（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？
（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低于4500元；A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，才能使销售这100件文创产品获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）可设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，从而可列出二元一次方程组进行求解；
（2）可设A产品的数量为m件，则B产品的数量为（100﹣m）件，利用“投入资金不超过1300元，利润不低于4500元”，得到一元一次不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）由题意，设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，
∴．
∴．
答：A产品的成本是10元，B产品的成本是15元；
（2）由题意，设A产品的数量为m件，则B产品的数量为（100﹣m）件，
∴．
∴．
∴不等式组的解集为：40≤m≤50，
又∵利润为：（50﹣10）m+（65﹣15）×（100﹣m）＝﹣10m+5000，
∴当m＝40时，其利润最大，﹣10×40+5000＝5000﹣400＝4600（元），此时B产品的数量为：100﹣40＝60（件），
答：A产品的数量为40件，则B产品的数量为60件时．能使销售这100件文创产品获得的利润最大，最大利润是4600元．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
【作业 10】（2026 浙江模拟）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为 　70　 km，a＝ 　1.4　 ；
（2）求线段PN所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
【分析】（1）根据图象，由AC＝AB+BC计算A、C两海岛间的距离；根据速度＝路程÷时间求出海巡船的速度，再由时间＝路程÷速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用待定系数法求出线段MN所表示的函数关系式；将y＝15分别代入线段PN所表示的函数关系式、线段MN所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可．
【解答】解：（1）由图象可知，A、C两海岛间的距离为20+50＝70（km）；
海巡船的速度为20÷0.4＝50（km/h），
海巡船从A岛到达C岛用时70÷50＝1.4（h），
∴a＝1.4．
故答案为：70，1.4．
（2）设线段PN所表示的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标N（0.4，0）和P（1.4，50）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段PN所表示的函数关系式为y＝50x﹣20（0.4≤x≤1.4）．
（3）线段MN所表示的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标M（0，20）和N（0.4，0）分别代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴线段MN所表示的函数关系式为y＝﹣50x+20（0≤x≤0.4）．
当﹣50x+20＝15时，解得x＝0.1；
当50x﹣20＝15，解得x＝0.7；
【作业 11】7﹣0.1＝0.6（h）．
答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【作业 12】（2026 济宁一模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
①求该时刻高架路上每百米车的数量；
②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，当y＝0时求出对应x的值，即x的最大值，从而写出x的取值范围即可；
（2）①当y＝20代入y关于x的函数解析式，求出对应x的值即可；②求出y＝20时对应的x的值，再根据①和②求出的x的差值计算即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（10，60）和（20，40）分别代入y关于x的函数解析式，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80，
当﹣2x+80＝0时，解得x＝40，
∴x的取值范围为0≤x≤40．
（2）①当y＝30时，得﹣2x+80＝30，
解得x＝25，
答：该时刻高架路上每百米车的数量为25辆．
②当y＝20时，得﹣2x+80＝20，
解得x＝30，
（30﹣25）÷1×4＝20（分钟）．
答：最晚20分钟需启动限流措施．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
【作业 13】（2026 栖霞区校级三模）某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描160件快递入库．乙平均每小时送m件快递出库．某天仓库里原有160件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙休息1小时后按原速度工作，当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）点A的坐标是　（2，480）　 ，m的值是　120　 ；
（2）求CD段的函数表达式；
（3）仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，已知该天“半饱和”状态持续的时间不超过5小时，直接写出a的最小值．
【分析】（1）依据题意，由点A对应的是甲工作2小时后的快递数量，结合原有160件，甲每小时扫描160件，则2小时后快递数量为：160+160×2＝480，可得点A坐标为 （2，480），又点B坐标为（5，600），从而从x＝2到x＝5这3小时，甲和乙同时工作，根据快递数量变化列方程：480+（5﹣2）×（160﹣m）＝600，进而计算可得m的值；
（2）依据题意，运用待定系数法，先求出C（6，600），结合乙每小时送出120件，从而可以计算得解；
（3）依据题意，分别求出当0≤x≤2、2＜x≤5、BC段和CD段的函数关系式，然后结合“半饱和”状态持续时间不超过5小时，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）点A对应的是甲工作2小时后的快递数量，
∵原有160件，甲每小时扫描160件，
∴2小时后快递数量为：160+160×2＝480，
∴点A坐标为 （2，480）．
∵点B坐标为（5，600），
∴从x＝2到x＝5这3小时，甲和乙同时工作，根据快递数量变化列方程：480+（5﹣2）×（160﹣m）＝600，
∴m＝120．
故答案为：（2，480）；120；
（2）由题意，∵甲在x＝5时离开，乙休息1小时，
∴C的横坐标为5+1＝6，纵坐标和点B相同为600，即C（6，600）．
设CD段的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵乙每小时送出120件，
∴k＝﹣120，
∴将C（6，600）代入y＝﹣120x+b得：600＝﹣120×6+b，
∴b＝1320，则CD段的函数表达式为y＝﹣120x+1320；
（3）由题意，当0≤x≤2时，图象过（0，160），（2，480），
∴此时函数解析式为y＝160+160x；
又∵B（5，600），
∴AB段为 y＝480+（160﹣120）（x﹣2）＝40x+400，即y＝40x+400（2＜x≤5）；
BC段：甲离开乙休息，快递数量不变，y＝600；
CD段：y＝﹣120x+1320．
∵当“半饱和”状态持续时间不超过5小时，要找a的最小值，
∴需找到满足持续时间为5小时的临界值．
∵从x＝0到x＝2，快递数量从160到480；CD段中当y＝480时，480＝﹣120x+1320，解得x＝7．从x＝2 到x＝7时长为5小时，此时对应的快递数量为480，即当a＝480时，“半饱和”状态持续时间刚好为5小时，
∴a的最小值为480．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【作业 14】（2026春 营口期末）已知二元一次方程x﹣y＝3，列举方程的解如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m ﹣3 ﹣2 ﹣1 n 1 …
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．
（1）表格中的m＝　﹣4　 ，n＝　0　 ；
（2）以表格中方程每个解x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在下方坐标系中画出对应的点，观察这些点的位置，并过这些点中任意两点作直线，猜想二元一次方程x﹣y＝3的图象是什么几何图形；
（3）点P（a，b）是二元一次方程x﹣y＝3的图象上的一个点，且点P在第四象限，求出a的取值范围；
（4）已知二元一次方程cx﹣y＝﹣1（c为常数），图象如图所示，观察两个图象可知二元一次方程组的解为　　 ．
【分析】（1）将x＝﹣1，x＝3代入x﹣y＝3，即可求解；
（2）先找出点，再连成直线即可；
（3）观察图象即可得a的取值范围；
（4）根据交点坐标即可得二元一次方程组的解．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，﹣1﹣y＝3，
∴y＝﹣4，即m＝﹣4，
当x＝3时，3﹣y＝3，
∴y＝0，即n＝0，
故答案为：﹣4，0．
（2）如图，
二元一次方程x﹣y＝3的图象是直线；
（3）由图象可得，点P在第四象限时，a的取值范围为0＜a＜3．
（4）由图象可得，两个图象的交点为（1，﹣2），
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的图象，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
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