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第9讲 角平分线 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等
· · 掌握角平分线的判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上
· · 会用尺规作角平分线
· · 能利用角平分线解决面积、最短路径综合问题
知识梳理
☆ 1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
这里的距离是点到边的垂线段长度
常作辅助线：过角平分线上点向两边作垂线
用于证明线段相等
概念辨析例题：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD与PE关系？
解析：角平分线上的点到两边距离相等
☆ 2.角平分线的判定定理
在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上
常与性质定理配合使用：先证距离相等，再判定在角平分线上
三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等
外角平分线也满足判定
概念辨析例题：OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC，OE=OF，则O在哪条线上？
解析：到角两边距离相等的点在角平分线上
☆ 3.尺规作角平分线
以顶点为圆心画弧交两边于两点
分别以两交点为圆心，大于半距画弧交于一点
连接顶点与交点即角平分线
原理是SSS证全等
概念辨析例题：尺规作角平分线的原理是？
解析：由作图痕迹得三边对应相等，SSS全等
☆ 4.角平分线与面积
角平分线上点到两边距离相等，可作两个三角形的高
三角形面积=二分之一底乘高
内心到三边距离r，面积=半周长乘r
两三角形高相同时，面积比等于底之比
概念辨析例题：BO、CO平分∠B、∠C，OD⊥BC，OD=3，S△ABC=50，求周长
解析：S=r(AB+BC+AC)=50,r=3,周长=
知识总结表
核心概念 内容 注意事项
性质定理 角平分线上点到两边距离相等 距离指垂线段
判定定理 到两边距离相等的点在角平分线上 在角的内部
尺规作图 两弧交点连线 原理SSS
内心 三内角平分线交点 到三边等距
旁心 一内角两外角平分线交点 到三边等距
面积公式 S=r·C r为内切圆半径
常用辅助线 向两边作垂线 构造全等
核心考点
【考点1】角平分线定理（第1-5题）
· · 过角平分线上点向两边作垂线
· · 利用PD=PE转移线段
· · 面积问题用等高三角形
· · 结合中点求面积
1．（2025秋 玉田县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC（不包括端点）上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（　　）
嘉嘉说：PD＝PE；
淇淇说：OD＝OE．
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人都对 D．两人都错
【分析】根据角平分线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，证明△OPD≌△OPE，即可得出结论．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POD＝∠POE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS），
∴PD＝PE，OD＝OE，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
2．（2024秋 洪山区期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，°，则∠ADB的度数为（　　）
A．42° B．48° C．50° D．53°
【分析】过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E，DF⊥AB交AB的延长线于点F，DG⊥BC于G，先根据已知条件求出∠ACB＝96°，∠BCD＝42°，则∠ECD＝42°，由此得CD平分∠BCE，则DE＝DG，根据AD平分∠BAC得DE＝DF，设∠DAC＝∠DAB＝α，进而得DG＝DF，∠BAC＝2α，由此得BD平分∠CBF，可设∠DBC＝∠DBF＝β，则∠CBF＝2β，根据三角形外角性质即可得出∠ADB的度数．
【解答】解：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E，DF⊥AB交AB的延长线于点F，DG⊥BC于G，如图所示：
∵∠ACD＝138°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠ACD＝138°，
∴∠BCD＝138°﹣∠ACB，
∵∠ACB+∠BCD＝90°，
∴∠ACB+138°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝96°，
∴∠BCD＝138°﹣∠ACB＝42°，
∵∠ECD＝180°﹣∠ACD＝42°，
∴∠BCD＝∠ECD＝42°，
∴CD平分∠BCE，
∵DE⊥AC，DG⊥BC，
∴DE＝DG，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，设∠DAC＝∠DAB＝α，
∴DG＝DF，∠BAC＝2α，
∴点D在∠CBF的平分线上，
∴BD平分∠CBF，
∴设∠DBC＝∠DBF＝β，则∠CBF＝2β，
∵∠DBF是△ABD的外角，
∴∠DBF＝∠DAB+∠ADB，
∴β＝α+∠ADB，
∴∠ADB＝β﹣α，
∵∠CBF是△ABC的外角，
∴∠CBF＝∠BAC+∠ACB，
∴2β＝2α+96°，
∴β﹣α＝48°，
∴∠ADB＝48°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．
3．（2025秋 朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1，
∴DF＝AD＝1，
又∵BC＝4，
∴S△BCDBC DF4×1＝2，
∵点E是BD的中点，
∴DE＝BE，
∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同，
∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．
4．（2023秋 渝中区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ACB的角平分线与AB交于点D，则S△ACD＝　　 ．
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵∠ACB的角平分线与AB交于点D，
∴DE＝DF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∴DE，
∴S△ACD，
故答案为：．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝DF解答．
5．（2025秋 南沙区校级期末）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC．
【分析】由角平分线性质可得EF＝EG，可证△BFE≌△CGE（SAS），得BE＝CE，由D为BC的中点，三线合一即可得出DE⊥BC．
【解答】证明：如图，连接BE、CE，
由角平分线性质定理可知EF＝EG，∠BFE＝∠CGE＝90°，
在△BFE和△CGE中，
，
∴△BFE≌△CGE（SAS），
∴BE＝CE，
又∵D为BC的中点，
∴DE⊥BC．
【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键．
【考点2】尺规作角平分线（第6-10题）
· · 识别作图痕迹
· · 由角平分线得DE=DC
· · HL证Rt△全等
· · 面积法求线段长
6．（2025春 榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【解答】解：
由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线；
由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线，
∴OP⊥CD，
∴∠COP＝∠DOP，
∴射线OP为∠AOB的平分线；
由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB，
在△OAD和△OBC中，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠OAD＝∠OBC，
∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD，
∴△APC≌△BPD（AAS），
∴AP＝BP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴射线OP为∠AOB的平分线；
由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP，
∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO，
∴∠CPO＝∠BOP，
∴∠COP＝∠BOP，
∴射线OP为∠AOB的平分线；
由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线，
∴OE＝AE＝BE，
∴△OAE≌△OBE（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴射线OP为∠AOB的平分线；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
7．（2024秋 海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC
【分析】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件即可逐项判断．
【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴∠BDE＝90°﹣∠B，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝∠BAC，
无法证明AD＝BD，
所以选项A、C、D一定正确，不符合题意，选项B不一定正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．
8．（2025春 榕城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：BD＝DE；
乙：∠CDE＝∠CAB；
丙：AB+EC＝AC．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD＝DE，即可判断甲；由∠CAB+∠C＝∠C+∠CDE＝90°即可判断乙；证明Rt△ABD≌Rt△AED（HL）即可判断丙，即可得解．
【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∵∠B＝90°，
∴BD＝DE，故甲正确；
∠CDE＝∠CAB，故乙正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AB＝AE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CE，故丙正确；
故选：D．
【点评】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
9．（2026春 博兴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为多少？
【分析】根据角平分线的性质定理求出DE＝DF，根据等面积法求出DE＝6，根据多边形内角和求出∠BAC＝60°，根据30°角的性质计算即可．
【解答】解：由题意可得：DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴，
即，
∴DE＝6，
∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∠EDF＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣∠DEA﹣∠DFA﹣∠EDF＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
在Rt△DEA中，AD＝2DE＝12．
答：AD的长为12．
【点评】本题考查角平分线的性质，正确进行计算是解题关键．
10．（2025秋 青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示．
（1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF．
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
（2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据HL进行证明即可．
【解答】解：（1）如图，AD即为所求，
；
（2）证明：作图如下：
，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
∴ED＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）．
∴AE＝AF．
【点评】本题主要考查作图，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【考点3】角平分线逆定理（第11-14题）
· · 证三线共点
· · 内外角平分线夹角模型
· · ∠E=∠A
· · 外角平分线+内角平分线
11．（2025秋 斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠MAC；
（2）若△ABC周长为20，求BE的长．
【分析】（1）如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，由角平分线的性质证明DP＝DQ，则由角平分线的判定定理可得证明结论．
（2）证明Rt△ADQ≌Rt△ADP可得AP＝AQ，同理BP＝BE、CQ＝CE，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得BC+CE＝10，据此即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，
∵DE⊥BN，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN，
∴DP＝DE，DQ＝DE，
∴DP＝DQ（等量代换），
∵DP⊥BM，DQ⊥AC，
∴AD平分∠MAC；
（2）解：如图，由（1）可知：DP＝DQ，
在Rt△ADQ和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），
∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等），
同理得：BP＝BE、CQ＝CE，
∵三角形ABC的周长为20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴AB+BC+AQ+CQ＝20，
∴AB+BC+AP+CE＝20
∵AB+AP＝BC+CE，
∴BC+CE＝20÷2＝10，即：BE＝10，
则BE的长为10．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
12．（2025秋 甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E．
（1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示）
（2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC．
【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可；
（2）过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，利用角平分线的性质解答即可．
【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：，
可得：∠Em，
故答案为：m；
（2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，
∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD，
∴EM＝EH，EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴E在∠EAC的平分线上，
∴EA平分∠FAC．
【点评】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度．
13．（2023秋 二道区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．
求证：
（1）△BCE是等腰三角形．
（2）若AB＝3，CD＝4，则BC＝　7　 ．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABF＝∠E，则∠E＝∠CBF，可得出BC＝CE，则结论得证；
（2）证明△ABF≌△DEF（AAS），得出AB＝DE，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BF平分∠ABC，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠E＝∠CBF，
∴BC＝CE，
∴△BCE 是等腰三角形．
（2）∵CF平分∠BCE，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCE＝180°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，即 CF⊥BE，
又∵BC＝CE，
∴BF＝EF，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（AAS）；
∴AB＝DE，
∴BC＝CE＝DE+CD＝AB+CD，
∴BC＝AB+CD＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
14．（2026春 栾城区期末）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线，CD在∠ACE的内部，与BD交于点D，∠A＝2∠D．
（1）判断CD是否平分∠ACE，并说明理由；
（2）如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O，∠D＝48°，求∠DOC的度数．
【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得到∠ABC＝2∠DBC，由三角形的外角性质推出∠ACD+∠DCE＝2（∠D+∠DBC），∠DCE＝∠D+∠DBC，得到∠ACD＝∠DCE，推出CD平分∠ACE；
（2）如图2，由角平分线的定义得到∠ACO+∠ACD（∠ACB+∠ACE）＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠DOC的度数．
【解答】解：（1）如图1，CD平分∠ACE，理由如下：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵∠ACD+∠DCE＝∠A+∠ABC，∠A＝2∠D，
∴∠ACD+∠DCE＝2∠D+2∠DBC＝2（∠D+∠DBC），
∵∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠ACD+∠DCE＝2∠DCE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）如图2，
∵OC平分∠ACB的，
∴∠ACO∠ACB，
由（1）知：∠ACD∠ACE，
∴∠ACO+∠ACD（∠ACB+∠ACE）180°＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∵∠D＝48°，
∴∠DOC＝90°﹣48°＝42°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，关键是掌握三角形的外角的性质，角平分线的定义．
【考点4】角平分线的应用（第15-17题）
· · 到两直线等距=角平分线
· · 到两点等距=垂直平分线
· · 两线交点即所求点
· · 三条公路问题有4处
15．（2025秋 谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置．
【分析】作∠ACB的平分线CM，连接EF交CM于点O，则点O即为所求作的位置．
【解答】解：①以点C为圆心，以适当的长为半径画弧分别交CA，CB于点P，Q，
②分别以P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点M，
③作射线CM，
④连接EF交CM于点O，则点O即为健身场所的位置，如图所示：
理由如下：
由作图可知：点O在∠ACB的平分线上，
∴点O到AC，BC的距离相等，
又∵点E，O，F共线，
∴点O到E，F的距离之和为最短，
故点O即为所求作的位置．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，线段的性质，理解两点之间线段最短，熟练掌握角平分线的性质及角平分线的作法是解决问题的关键．
16．（2026春 城关区校级期末）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P．
【解答】解：如图，点P为所求．
作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置．
【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质．
17．（2025秋 单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来．
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【考点5】角平分线与面积边长（第18-23题）
· · 面积法求高
· · 比例线段求面积
· · 周长=
· · 截长补短证线段相等
18．（2026春 北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数；
（2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积．
【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°，
∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°．
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE∠ABF＝18°，
∵∠BED＝40°，
∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°；
（2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30，
∴S△ABD＝S△ACD＝30．
∵DE：AE＝2：3，
∴S△ABES△ABD30＝18．
【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键．
19．（2026春 单县期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F．
（1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长；
（2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据三角形面积公式求出BC长，再由中线定义求出线段BE长即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到∠FBD＝30°，由角平分线定义得到∠ABC＝60°，根据三角形内角和为180°求出∠BAC的度数即可．
【解答】解：（1）∵AD为边BC上的高，
∴S△ABC20，
∵AD＝4，
∴BC＝10，
∵AE为边BC上的中线，
∴BE5；
（2）∵AD为边BC上的高，∠BFD＝60°，
∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠FBD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣25°＝95°．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线、高线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2026春 集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°．
（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC；
（2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线定义求∠ACD，结合三角形内角和定理求∠DEC，证明DE⊥AC；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，通过平行线性质、角的关系推出EM⊥DM，再根据垂线段最短判断DE与EM的大小关系．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴，
∵∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝180°﹣∠ACD﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴DE⊥AC；
（2）解：DE≥EM，理由如下：
过点D作DH∥BC，交AC于点H，
∵DH∥BC，
∴∠HDC＝∠BCD，
∵∠CDE＝∠HDC+∠HDE＝45°＝∠MED+∠BCD，
∴∠HDE＝∠MED，
∴DH∥EM∥BC，
∴∠ACB＝∠AEM＝90°，
∵DM∥AC，
∴∠DME＝∠AEM＝90°，
∴EM⊥DM，
∴DE≥EM（垂线段最短，当E与H重合时取等号）．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（2025秋 任泽区期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长．
【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证；
（2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H，
∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE，
∴OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH（等量代换），
∵OF⊥BD，OH⊥BE，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
即BO平分∠ABC；
（2）解：∵△AOC的面积为12，
∴，
∵AC＝6，
∴，
∴OG＝4，
∴OF＝OH＝OG＝4，
∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30，
∴，
即，
整理得AB+BC＝15，
∴AB+BC+AC＝15+6＝21，
△ABC的周长为21．
【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（2026春 福田区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．
（1）证明：AD垂直平分EF．
（2）若△ABC面积为36，BC＝12，DE＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上即可．
（2）由三角形的面积可求出AB+AC＝18，根据三角形周长公式即可求解．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED＝∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：由（1）得△ADE≌△ADF，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，
∴，
∵DE＝4
∴AB+AC＝18，
∵BC＝12
∴△ABC的周长为30．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键．
23．（2026春 青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．
（1）求证：AC是∠BAD的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示：
∵△ADC的面积为14，AD＝7，
∴AD CF＝14，
∴CF4，
∵CE＝4，
∴CF＝CE＝4，
又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部，
∴点C在∠BAD的平分线上，
∴AC是∠BAD的平分线；
（2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示：
∵AB＝13，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6，
∵AB﹣AD＝2BE，
∴2BE＝6，
∴BE＝3，
∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵CE⊥AB，垂足为E，
∴CE是线段BH的垂直平分线，
∴HC＝BC，
由（1）可知：AC是∠BAD的平分线，
∴∠HAC＝∠DAC，
在△HAC和△DAC中，
，
∴△HAC≌△DAC（SAS），
∴HC＝CD，
∴CD＝BC．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【考点6】创新及压轴题（第24-26题）
· · 三角形三内角平分线共点
· · 动点在角平分线上用距离相等
· · 内外角平分线夹角45度模型
· · 折叠问题用对称+全等
24．我们学习了角平分线的性质定理及判定定理，请运用角平分线的性质定理及判定定理完成下列几何问题的证明．
例题 已知：如图所示，AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F． ∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知）， OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　 ） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上　 ）．
【研究原图形】
（1）补全例题的证明过程．
（2）在例题的图中，分别连接DE，EF，FD，小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝　　 °．（用含m的代数式表示）
【解决新问题】
（3）为了方便研究，小婷同学把满足例题条件的△DEF叫作△ABC的“内三角形”，点O叫作“共心”．已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上．
【分析】（1）根据角平分线的性质和判定定理即可求解；
（2）连接DE，EF，FD，延长DO交AB于点H，根据题意可得∠EOF＝180°﹣m°，进而求得∠EOF＝2∠EDF，进而得解；
（3）先求出∠EFD＝45°，可得EG＝FG，再证△AEO≌△AFO，所以AO所在直线是EF的垂直平分线，进而得解．
【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F．
∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知），
OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作），
∴OE＝OD，OE＝OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∴OD＝OF（等量代换）．
∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
（2）解：如图，延长DO交AB于点H，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AEO＝∠AFO＝90°，
∵∠BAC＝m°，
∴∠EOF＝180°﹣m°，
∵OD＝OF＝OE，
∴∠EOH＝∠ODE+∠OED＝2∠ODE，∠HOF＝∠ODF+∠OFD＝2∠ODF，
∴∠EOF＝2∠EDF，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图．
∵OE∥BC，OE⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
由（2）可知45°，
∵EG⊥DF，
∴∠GEF＝45°，
∴EG＝FG，
∴点G在EF的垂直平分线上，
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（AAS），
∴AE＝AF，OE＝OF，
∴AO所在直线是EF的垂直平分线，
∴点G在直线AO上．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
25．（2024春 皇姑区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AP的长为 　4t ；（用含t的代数式表示）
（2）在整个运动中，当△ABP是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为 　　 秒；
（3）若点P在∠ABC的角平分线上，直接写出t的值 　　 秒．
【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案；
（2）分当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，AP＝AB据此计算即可；
（3）根据角平分线的性质到角两边的距离相等，可得，由此解答即可．
【解答】解：（1）∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动，
∴点P运动的长度为：AP＝4t；
故答案为：4t；
（2）当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，如图，
AP＝AB＝10，此时；
当△ABP 是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为；
（3）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PM，
∵，，
∴，即
∴
，
即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，列代数式，熟知以上知识是解题的关键．
26．（2024秋 路南区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解；
（2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝55°，
∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，
∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝35°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC ENCD EH（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABEAB EM．
【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定∠AOB的平分线，进而可知本题答案．
【解答】解：点M在∠AOB的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到∠AOB两边的距离相等，故A选项正确；
点N不在∠AOB的角平分线上，所以点N到∠AOB两边的距离不相等，故B选项错误；
点P不在∠AOB的角平分线上，所以点P到∠AOB两边的距离不相等，故C选项错误；
点Q不在∠AOB的角平分线上，所以点Q到∠AOB两边的距离不相等，故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线性质，关键是看懂图片，掌握平分线性质．
【练习 2】（2025秋 无为市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，根据角平分线的性质得出OD＝OE，根据三角形面积得出S△BOC：S△AOB＝BC：AB，代入数据即可求解．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∵AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【练习 3】（2026春 山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　）
A． B．25 C． D．50
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，根据△ABC的面积是50得AB OEBC ODAC OF＝50，进而得AB+BC+AC，据此即可得出答案．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示：
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的面积是50，
∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50，
∴AB OEBC ODAC OF＝50，
∴3AB+3BC+3AC＝100，
∴AB+BC+AC，
∴△ABC的周长为．
故选：C．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 性质定理：角平分线上点到两边距离相等
· · 判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上
· · 常用辅助线：向两边作垂线
· · 面积法：S=r·周长
· · 内外角平分线夹角=∠A
【作业 1】（2025秋 西宁期末）如图，点E，F分别在△ABC的边BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N．下列结论：①CP平分∠ACF；②；③S△PAC＝S△AMP+S△NCP；④∠EAC+∠FCA＝270°．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④
【分析】①过点P作PH⊥AC于点H，根据角平分线性质得PM＝PN＝PH，再根据点P在∠ACF的内部得点P在∠ACF的平分线上，据此可对结论①进行判断；
②依据“HL”判定Rt△AMP和Rt△AHP全等，Rt△NCP和Rt△HCP全等得∠APM＝∠APH，∠CPN＝∠CPH，由此得∠APC＝∠APM+∠CPN，进而得∠MPN＝2∠APC，据此可对结论②进行判断；
③根据Rt△AMP和Rt△AHP全等，Rt△NCP和Rt△HCP全等得S△PAM＝S△PAH，S△NCP＝S△HCP，由此得S△PAC＝S△PAM+S△NCP，据此可对结论③进行判断；
④设∠ABC＝α，则∠BAC+∠BCA＝180°﹣α，∠EAC＝180°﹣∠BAC，∠FCA＝180°﹣∠BCA，由此可得∠EAC+∠FCA＝360°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°+α，进而得当∠ABC＝α＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°，依题意可知∠ABC不一定等于90°，据此可结论④进行判断，
综上所述即可得出答案．
【解答】解：①过点P作PH⊥AC于点H，如图所示：
∵BP是∠ABC的平分线，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，
∵AP是∠EAC的平分线，PM⊥BE，PH⊥AC，
∴PM＝PH，
∴PN＝PH，
又∵点P在∠ACF的内部，
∴点P在∠ACF的平分线上，
∴CP平分∠ACF，
故结论①正确；
②∵PM⊥BE，PH⊥AC，
∴△AMP和△AHP都是直角三角形，
在Rt△AMP和Rt△AHP中，
，
∴Rt△AMP≌Rt△AHP（HL），
∴∠APM＝∠APH，
同理：Rt△NCP≌Rt△HCP（HL），
∴∠CPN＝∠CPH，
∴∠APC＝∠APH+∠CPH＝∠APM+∠CPN，
∴∠MPN＝∠APC+∠APM+∠CPN＝2∠APC，
∴∠APC∠MPN，
故结论②不正确；
③∵Rt△AMP≌Rt△AHP，Rt△NCP≌Rt△HCP，
∴S△PAM＝S△PAH，S△NCP＝S△HCP，
∴S△PAM+S△NCP＝S△PAH+S△HCP，
又∵S△PAC＝S△PAH+S△HCP，
∴S△PAC＝S△PAM+S△NCP，
故结论③正确；
④设∠ABC＝α，
在△ABC中，∠BAC+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠EAC＝180°﹣∠BAC，∠FCA＝180°﹣∠BCA，
∴∠EAC+∠FCA＝360°﹣（∠BAC+∠BCA）＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α，
∴当α＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°，
即当∠ABC＝90°时，∠EAC+∠FCA＝270°，
依题意可知：∠ABC不一定等于90°，
∴∠EAC+∠FCA不一定等于270°，
故结论④不正确，
综上所述：正确结论的序号是①③．
故选：A．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【作业 2】（2025秋 广饶县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC＝3，即可解答．
【解答】解：由题意，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC．
∵PC＝3，
∴PE＝3．
∴，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用角平分线的性质是关键．
【作业 3】（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有　①②③④⑤　 ．
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解．
【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∴S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB，故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确，
∵AD平行PG，AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠APG，
∴AG＝GP，
∵∠PCF＝∠CPF，
∴CF＝FP，GP＝PF+FG，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．综合性强，难度偏大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【作业 4】（2025 碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD＝DC＝3，对角线AC平分∠DAB，且AC⊥BC，则四边形ABCD面积最大值为 　13.5　 ．
【分析】延长AD和BC交于E，过C作CH⊥DE于H，由三角形内角和定理得到∠B＝∠E，推出AB＝AE，由等腰三角形的性质推出BC＝CE，得到△ABC的面积＝△ACE的面积，由余角的性质推出∠E＝∠DCE，得到DC＝DE，因此AD＝DE，得到△ACE的面积＝△ADC面积的2倍，因此四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍，由CH≤CD＝3，求出△ADC面积的最大值，即可得到四边形ABCD面积最大值．
【解答】解：延长AD和BC交于E，过C作CH⊥DE于H，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠CAE，
∵AC⊥BC，
∴∠BCA＝∠ACE＝90°，
∴∠B＝∠E，
∴AB＝AE，
∵AC⊥BE，
∴BC＝CE，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠E+∠DAC＝∠DCE+∠DCA＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴DC＝DE，
∵AD＝CD，
∴AD＝DE，
∴△ACE的面积＝△ADC面积的2倍，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍，
∵△ADC的面积AD CH，CH≤CD＝3，
∴△ADC面积的最大值3×3＝4.5，
∴四边形ABCD面积最大值为13.5．
故答案为：13.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到四边形ABCD的面积＝△ADC面积的3倍．
【作业 5】（2024春 广饶县期末）课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　 ．
【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P；
（2）根据（1）中图形证明即可．
【解答】解：（1）如图1，点P为所求；
（2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，
连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且点P在∠MON的平分线上，
∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
即活动中心P到两条马路的距离相等，
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
即活动中心P到两个小区的距离也相等，
∴点P为所求作的点．
故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
【作业 6】（2026春 青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED．
（1）求∠BED的度数；
（2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积；
（3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积．
【分析】（1）由∠ADE＝2∠EBC＝70°得∠EBC＝35°，再由角平分线定义得∠EBA＝∠EBC＝35°，由此得∠ABC＝∠ADE＝70°，进而得DE∥BC，再根据平行线的性质可得∠BED的度数；
（2）由BM为△BFC的中线得S△BCM＝S△BFM＝a，则S△BCF＝2a，设EF＝m，则BF＝3m，根据得S△CEFS△CBF，由此可得△BCE的面积；
（3）先求出BF＝6，由三角形面积公式得S△BCF＝15，S△CEF＝5，则S△BCE＝20，设△DEF的面积为x，由得S△DBF＝3S△DEF＝3x，由此得S△BCD＝3x+15，再由DE∥BC得S△BCD＝S△BCE，解3x+15＝20，据此可得△DEF的面积．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝2∠EBC＝70°，
∴∠ADE＝70°，∠EBC＝35°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBA＝∠EBC＝35°，
∴∠ABC＝∠EBA+∠EBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ADE＝70°，
∴DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC＝35°；
（2）∵BM为△BFC的中线，
∴CM＝FM，
∴△BCM的边CM上的高与△BFM的边FM上的高相同，
∴S△BCM＝S△BFM，
∵△BFM的面积为a，
∴S△BCM＝S△BFM＝a，
∴S△BCF＝S△BCM+S△BFM＝2a，
∵EFBF，
∴设EF＝m，则BF＝3m，
∵△CEF的边EF上的高与△CBF的边BF上的高相同，
∴，
∴S△CEFS△CBF，
∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF；
（3）∵EF＝2，EFBF，
∴BF＝3EF＝6，
∵CG＝5，CG⊥BE，垂足为点G，
∴S△BCFBF CG6×5＝15，S△CEFEF CG2×5＝5，
∴S△BCE＝S△BCF+S△CEF＝15+5＝20，
设△DEF的面积为x，
∵△DEF的边EF上的高与△DBF的边BF上的高相同，
∴，
∴S△DBF＝3S△DEF＝3x，
∴S△BCD＝S△DBF+S△BCF＝3x+15，
由（1）可知：DE∥BC，
∴△BCD的边BC上的高与△BCE的边BC上的高相同，
∴S△BCD＝S△BCE，
∴3x+15＝20，
解得：x，
∴△DEF的面积是．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，三角形的面积，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键．
【作业 7】（2025春 宝应县期中）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于点B，AD⊥CF的延长线于D．
（1）填空：∠EAF的度数　45°　 ；
（2）求证：AB＝AD；
（3）若BE＝CE＝3，求DF的长；
（4）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，求HR的长度．
【分析】（1）过A点作AG⊥EF于G，利用角平分线定义求出∠AEB＝∠AEG，∠AFD＝∠AFG，可得△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），得再证明四边形ABCD是矩形．得∠BAD＝90°，得∠EAF＝45°；
（2）根据角平分线性质得，AB＝AG，AD＝AG，即得AB＝AD．
（3）根据（1）（2）小题结论得四边形ABCD是正方形，得CD＝BC＝6，根据全等三角形得GE＝BE＝3，DF＝GF，设DF＝x，CF＝6﹣x，EF＝3+x，根据EF2＝CE2+CF2，得（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2，即得DF＝2；
（4）把△PQH和△PRH分别沿PQ，PR翻折，得到△PQK和△PRM，延长KQ，MR交于点N，可得四边形PKNM是正方形，得MN＝KN＝12，得QN＝8，RN＝12﹣HR，根据（12﹣HR）2+82＝（4+HR）2，即得HR＝6．
【解答】（1）证明：过A点作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
由条件可知∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵EA，FA分别是Rt△CEE两个外角的平分线，
∴∠AEB＝∠AEG，∠AFD＝∠AFG，
∵∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AGF＝90°，AE＝AE，AF＝AF，
∴△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），
∴，
∴；
故答案为：45°；
（2）解：过A点作AG⊥EF于G，
由条件可知AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD；
（3）解：∵BE＝CE＝3，
∴BC＝AE+CE＝6，
由（1）（2）知，四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝6，
∵△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），
∴GE＝BE＝3，DF＝GF，
设DF＝x，
则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
∵∠C＝90°，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得，x＝2，
∴DF＝2；
（4）解：把△PQH和△PRH分别沿PQ，PR翻折，得到△PQK和△PRM，延长KQ，MR交于点N，
∴∠KPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，PK＝PM＝PH＝12，KQ＝HQ＝4，HR＝MR，
∴∠KPQ+∠HPQ+∠MPR+∠HPR＝∠KPM＝90°＝∠K＝∠M，
∴四边形PKNM是正方形，
∴MN＝KN＝PK＝12，
∴QN＝12﹣4＝8，RN＝12﹣MR＝12﹣HR，
∴Rt△QRN中，（12﹣HR）2+82＝（4+HR）2，
∴HR＝6．
【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线是解题关键．
第1页（共1页）第9讲 角平分线 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等
· · 掌握角平分线的判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上
· · 会用尺规作角平分线
· · 能利用角平分线解决面积、最短路径综合问题
知识梳理
☆ 1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
这里的距离是点到边的垂线段长度
常作辅助线：过角平分线上点向两边作垂线
用于证明线段相等
概念辨析例题：OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD与PE关系？
解析：角平分线上的点到两边距离相等
☆ 2.角平分线的判定定理
在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上
常与性质定理配合使用：先证距离相等，再判定在角平分线上
三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等
外角平分线也满足判定
概念辨析例题：OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC，OE=OF，则O在哪条线上？
解析：到角两边距离相等的点在角平分线上
☆ 3.尺规作角平分线
以顶点为圆心画弧交两边于两点
分别以两交点为圆心，大于半距画弧交于一点
连接顶点与交点即角平分线
原理是SSS证全等
概念辨析例题：尺规作角平分线的原理是？
解析：由作图痕迹得三边对应相等，SSS全等
☆ 4.角平分线与面积
角平分线上点到两边距离相等，可作两个三角形的高
三角形面积=二分之一底乘高
内心到三边距离r，面积=半周长乘r
两三角形高相同时，面积比等于底之比
概念辨析例题：BO、CO平分∠B、∠C，OD⊥BC，OD=3，S△ABC=50，求周长
解析：S=r(AB+BC+AC)=50,r=3,周长=
知识总结表
核心概念 内容 注意事项
性质定理 角平分线上点到两边距离相等 距离指垂线段
判定定理 到两边距离相等的点在角平分线上 在角的内部
尺规作图 两弧交点连线 原理SSS
内心 三内角平分线交点 到三边等距
旁心 一内角两外角平分线交点 到三边等距
面积公式 S=r·C r为内切圆半径
常用辅助线 向两边作垂线 构造全等
核心考点
【考点1】角平分线定理（第1-5题）
· · 过角平分线上点向两边作垂线
· · 利用PD=PE转移线段
· · 面积问题用等高三角形
· · 结合中点求面积
1．（2025秋 玉田县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC（不包括端点）上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（　　）
嘉嘉说：PD＝PE；
淇淇说：OD＝OE．
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人都对 D．两人都错
2．（2024秋 洪山区期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，°，则∠ADB的度数为（　　）
A．42° B．48° C．50° D．53°
3．（2025秋 朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ _____ ．
4．（2023秋 渝中区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ACB的角平分线与AB交于点D，则S△ACD＝___________________ ．
5．（2025秋 南沙区校级期末）已知△ABC中，D为BC的中点，E为∠BAC的平分线上的点，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于G，BF＝CG，求证：DE⊥BC．
【考点2】尺规作角平分线（第6-10题）
· · 识别作图痕迹
· · 由角平分线得DE=DC
· · HL证Rt△全等
· · 面积法求线段长
6．（2025春 榆中县期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2024秋 海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC
8．（2025春 榕城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：BD＝DE；
乙：∠CDE＝∠CAB；
丙：AB+EC＝AC．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
9．（2026春 博兴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为多少？
10．（2025秋 青秀区校级期中）已知：△ABC如图所示．
（1）请用尺规作图法，画出∠BAC的平分线AD，交BC于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，请用三角板，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：AE＝AF．
【考点3】角平分线逆定理（第11-14题）
· · 证三线共点
· · 内外角平分线夹角模型
· · ∠E=∠A
· · 外角平分线+内角平分线
11．（2025秋 斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠MAC；
（2）若△ABC周长为20，求BE的长．
12．（2025秋 甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E．
（1）若∠A＝m°，则∠E的大小是___________________ °；（用含m的式子表示）
（2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC．
13．（2023秋 二道区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．
求证：
（1）△BCE是等腰三角形．
（2）若AB＝3，CD＝4，则BC＝_____ ．
14．（2026春 栾城区期末）如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线，CD在∠ACE的内部，与BD交于点D，∠A＝2∠D．
（1）判断CD是否平分∠ACE，并说明理由；
（2）如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O，∠D＝48°，求∠DOC的度数．
【考点4】角平分线的应用（第15-17题）
· · 到两直线等距=角平分线
· · 到两点等距=垂直平分线
· · 两线交点即所求点
· · 三条公路问题有4处
15．（2025秋 谷城县月考）如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所．张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置．
16．（2026春 城关区校级期末）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）．
17．（2025秋 单元）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路．现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的位置有几处？请在图中标出来．
【考点5】角平分线与面积边长（第18-23题）
· · 面积法求高
· · 比例线段求面积
· · 周长=
· · 截长补短证线段相等
18．（2026春 北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数；
（2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积．
19．（2026春 单县期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，AE为边BC上的中线，BF平分∠ABC，交AD于点F．
（1）若AD＝4，△ABC的面积为20，求BE的长；
（2）若∠C＝25°，∠BFD＝60°，求∠BAC的度数．
20．（2026春 集美区校级期中）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在AC上，连接CD、DE，∠CDE＝45°．
（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：DE⊥AC；
（2）如图2，CD是∠BCM的角平分线，连接DM，EM．若DM∥AC，∠MED+∠BCD＝45°，试判断DE与EM的大小关系，并说明理由．
21．（2025秋 任泽区期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长．
22．（2026春 福田区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．
（1）证明：AD垂直平分EF．
（2）若△ABC面积为36，BC＝12，DE＝4，求△ABC的周长．
23．（2026春 青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14．
（1）求证：AC是∠BAD的平分线．
（2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC．
【考点6】创新及压轴题（第24-26题）
· · 三角形三内角平分线共点
· · 动点在角平分线上用距离相等
· · 内外角平分线夹角45度模型
· · 折叠问题用对称+全等
24．我们学习了角平分线的性质定理及判定定理，请运用角平分线的性质定理及判定定理完成下列几何问题的证明．
例题 已知：如图所示，AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E． 求证：点O在∠C的平分线上． 证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F． ∵AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线（已知）， OE⊥AB，OD⊥BC（已知），OF⊥AC（所作）， ∴OE＝OD，OE＝OF（____________________ ） ∴OD＝OF（等量代换）． ∴点O在∠C的平分线上（____________________ ）．
【研究原图形】
（1）补全例题的证明过程．
（2）在例题的图中，分别连接DE，EF，FD，小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，若∠BAC＝m°，则∠EDF＝____________________ °．（用含m的代数式表示）
【解决新问题】
（3）为了方便研究，小婷同学把满足例题条件的△DEF叫作△ABC的“内三角形”，点O叫作“共心”．已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且OE∥BC．先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G，求证：点G在直线AO上．
25．（2024春 皇姑区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AP的长为 _______ ；（用含t的代数式表示）
（2）在整个运动中，当△ABP是以∠A为顶角的等腰三角形时，t的值为 __________________ 秒；
（3）若点P在∠ABC的角平分线上，直接写出t的值 __________________ 秒．
26．（2024秋 路南区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【练习 2】（2025秋 无为市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　）
A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2
【练习 3】（2026春 山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　）
A． B．25 C． D．50
课后巩固
复习建议
· · 性质定理：角平分线上点到两边距离相等
· · 判定定理：到两边距离相等的点在角平分线上
· · 常用辅助线：向两边作垂线
· · 面积法：S=r·周长
· · 内外角平分线夹角=∠A
【作业 1】（2025秋 西宁期末）如图，点E，F分别在△ABC的边BA，BC的延长线上，∠ABC，∠EAC的角平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N．下列结论：①CP平分∠ACF；②；③S△PAC＝S△AMP+S△NCP；④∠EAC+∠FCA＝270°．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①④ D．③④
【作业 2】（2025秋 广饶县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【作业 3】（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有__________ ．
【作业 4】（2025 碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD＝DC＝3，对角线AC平分∠DAB，且AC⊥BC，则四边形ABCD面积最大值为 _________ ．
【作业 5】（2024春 广饶县期末）课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据：____________________ ．
【作业 6】（2026春 青羊区校级月考）如图1，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，D是AB边上一点，连接CD交BE于点F，∠ADE＝2∠EBC＝70°，，连接ED．
（1）求∠BED的度数；
（2）若BM为△BFC的中线，△BFM的面积为a，请用字母a表示△BCE的面积；
（3）如图2，过点C作BE的垂线交直线BE于点G，若CG＝5，EF＝2，求△DEF的面积．
【作业 7】（2025春 宝应县期中）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于点B，AD⊥CF的延长线于D．
（1）填空：∠EAF的度数________ ；
（2）求证：AB＝AD；
（3）若BE＝CE＝3，求DF的长；
（4）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，求HR的长度．
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