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第8讲 轴对称及线段垂直平分线 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念
· · 掌握轴对称的性质，能利用性质求线段长度和角度
· · 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理
· · 会作简单图形关于直线的对称图形
· · 掌握平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的坐标规律
知识梳理
☆ 1.轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能互相重合
两个图形成轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
成轴对称的两个图形全等
概念辨析例题：△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，AB=5，BC=3，求A'B'
解析：成轴对称的两个图形全等，对应边相等
☆ 2.轴对称的性质应用
对应点连线被对称轴垂直平分
对应线段相等，对应角相等
利用轴对称可求最短路径（将军饮马模型）
折叠问题中折痕就是对称轴
概念辨析例题：点P关于OA的对称点为P1，关于OB的对称点为P2，若P1P2=10，求△PEF周长（E在OA,F在OB）
解析：PE=P1E，PF=P2F，周长=P1E+EF+P2F=P1P2=10
☆ 3.线段垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
判定：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上
三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等
尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心画弧，连线即为所求
概念辨析例题：DE垂直平分AC，AE=3，△ABD周长为13，求△ABC周长
解析：AD=DC，AC=6，△ABC周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19
☆ 4.坐标中的轴对称
点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)
点(x,y)关于y轴对称点为(-x,y)
点(x,y)关于直线x=a对称点为(2a-x,y)
作对称图形：先求关键点对称点，再顺次连线
概念辨析例题：点A(2,-3)关于y轴对称点坐标
解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取反
知识总结表
核心概念 性质/规律 注意事项
轴对称图形 沿直线折叠两旁重合 一个图形自身对称
两个图形成轴对称 折叠后两图形重合 两个图形之间的关系
对称轴性质 对应点连线被垂直平分 对称轴是直线
垂直平分线性质 线上点到两端距离相等 AD=DC等价D在中垂线上
垂直平分线判定 到两端等距则在线上 可证点在直线上
关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横不变纵相反
关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵不变横相反
最短路径 作对称点化折为直 两点之间线段最短
核心考点
【考点1】轴对称及其性质（第1-15题）
· · 先判断对称轴位置
· · 利用对应边对应角相等
· · 折叠问题抓折痕即对称轴
· · 求周长用等线段代换
1．（2026 长沙二模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2026 保定二模）如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可．
【解答】解：小正方形的位置有4种．如图：
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键．
3．（2026 宣汉县校级开学）如图，在△ABC中，直线CD交AB于点D，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　）
A．13 B．15 C．17 D．23
【分析】先根据轴对称的性质得出AD＝DE，AC＝CE＝4，再得出BE的长，进而得出结论．
【解答】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，BC＝9，AB＝10，AC＝4，
∴AC＝CE＝4，AD＝DE，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝15．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2026春 海淀区校级期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线
C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线
【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．
【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD＝∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，∠ADB＝∠ADB′，
因为∠ADB+∠ADB′＝180°，
所以∠ADB＝∠ADB′＝90°，
所以AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，CD＝BD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义．
5．（2026秋 崇川区月考）如图，一个大正方形由9个大小相同的小正方形组成，其中2个小正方形已被涂成灰色．如果要再将一个小正方形涂成灰色，使涂灰部分成为一个轴对称图形，那么一共有　5　 种涂法．
【分析】根据轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，所涂的正方形可以在1，2，3，4，5的位置，
所以一共有5种涂法，
故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是正确解答的关键．
6．（2025秋 密云区月考）如图，△ABD和△FEC关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有 　2　 对全等三角形．
【分析】设直线l交CD于点G，AD，CF交于点H，根据题对称的性质结合三角形判定定理判定即可得出结论．
【解答】解：如图，设直线l交CD于点G，AD，CF交于点H，
∵对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，
∴△ABD≌△FEC（轴对称的性质），
∵点B、C、D、E在同一条直线上，
∴CG＝DG，HC＝HD，
∵HG＝HG，
∴△CHG≌△NHG，
∴图中有2对全等三角形．
故答案为：2．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形全等的判定，掌握轴对称的性质是关键．
7．（2025秋 北京期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB、AC的对称点分别为P1、P2，连接P1P2．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）　②③④　 ．
①△ABC≌△PP2P1；
②AP1＝AP2；
③△P1PP2一定是直角三角形；
④P1P2长度的最小值是．
【分析】连接AP，由轴对称的性质可得AP1＝AP，AP2＝AP，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，则可判断②；可证明∠PAP1+∠PAP2＝180°，得到P1，A、P2三点共线，则可证明∠P1PP2＝90°，可判断③；根据P1P2＝2AP，且垂线段最短，得到当AP⊥BC时，AP有最小值，即此时P1P2有最小值，由等面积法可得，据此可判断④；当AP⊥BC时，，据此可判断①．
【解答】解：如图所示，连接AP，
由轴对称的性质可得AP1＝AP，AP2＝AP，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP，则AP1＝AP2，故②正确；
∴∠AP1P＝∠APP1，∠AP2P＝∠APP2；
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∴∠BAP1+∠BAP+∠CAP2+∠CAP＝180°，即∠PAP1+∠PAP2＝180°，
∴P1，A、P2三点共线，
∴P1P2＝AP1+AP2＝2AP，∠AP1P+∠APP1+∠AP2P+∠APP2＝180°，
∴∠APP1+∠APP2＝90°，
∴∠P1PP2＝90°，
∴△P1PP2一定是直角三角形，故③正确；
∵P1P2＝2AP，且垂线段最短，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即此时P1P2有最小值，
此时有，
∴，
∴，
∴P1P2的最小值为，故④正确；
∵当AP⊥BC时，，
∴此时△ABC与△PP2P1不全等，故①错误；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026春 朝阳区校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 　12　 ．
【分析】整体思想就是把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法．本题中，利用轴对称的性质将分散的阴影部分的图形看成整体来处理，体现了数学中的整体思想．
【解答】解：因为△ABC关于直线AD对称，所以B，C关于直线AD对称，
所以△CEF和△BEF关于直线AD对称，
所以 S△BEF＝S△CEF．
因为△ABC的面积是BC×AD6×8＝24，
所以图中阴影部分的面积是12．
【点评】本题考查轴对称的性质，正确记忆轴对称的性质是解题关键．
9．（2026春 薛城区期末）如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝5，CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为E、F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是　　 ．
【分析】如图：连接DM，由轴对称的性质可得DE＝DF＝DM，即得EF＝2DM，可知当DM⊥AC时，DM的值最小，此时EF的长度也最小，利用三角形的面积求出DM的最小值即可求解．
【解答】解：如图：连接DM，
由条件可知DE＝DM，DF＝DM，
∴DE＝DF＝DM，
∴EF＝2DM，
当DM⊥AC时，DM的值最小，此时EF的长度最小，
当DM⊥AC时，，
∴，解得：，
∴，
即线段EF长度的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2026春 武侯区校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一点，连接BD，作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，若∠ABC＝50°，则∠F的大小为　65°　 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据轴对称的性质得出AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，设∠ABF＝∠EBF＝x，求出，求出∠DCF＝∠BCE﹣∠ACB＝x，根据∠ADB+∠A+∠ABD＝∠CDF+∠DCF+∠F，∠ADB＝∠CDF，得出∠F＝∠A＝65°．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，BA＝BC，
∴，
∵作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，
∴AB＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
设∠ABF＝∠EBF＝x，
∴∠CBE＝50°﹣2x，
∴，
∴∠DCF＝∠BCE﹣∠ACB＝x，
∴∠DCF＝∠ABD，
∵∠ADB+∠A+∠ABD＝∠CDF+∠DCF+∠F，∠ADB＝∠CDF，
∴∠F＝∠A＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
11．（2026春 丰泽区期末）如图，∠AOB＝50°，点Q是∠AOB内部一点，过点Q分别作关于OA，OB的对称点C，D，连结OC，OD，则∠COD＝　100　 °．
【分析】因为点C，D分别是点Q关于OA、OB的对称点，所以∠COD＝2∠AOB＝100°．
【解答】解：如图所示，连接OQ，
∵∠AOB＝50°，
∴∠AOQ+∠BOQ＝∠AOB＝50°，
∵点C，D分别是点Q关于OA、OB的对称点，
∴∠BOD＝∠BOQ，∠AOC＝∠AOQ，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOQ+∠BOQ+∠BOD＝2∠AOQ+2∠BOQ＝2∠AOB＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（2025秋 莱西市期末）如图，有一长acm，宽bcm的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体．
（1）按这两种方式得到的几何体是　圆柱体　 ；
（2）当a＝8cm，b＝6cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大；
（3）若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍，则a与b之间的数量关系为a＝nb ．
【分析】（1）矩形旋转可得圆柱；
（2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案；
（3）根据题意列式，化简即可．
【解答】解：（1）面动成体，矩形旋转一周得到圆柱体，
故答案为：圆柱体；
（2）方式①，
理由：方式①：，
方式②：，
∵96π＞72π，
方式①构造的圆柱的体积大；
（3）按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍，
即，
，
a＝nb，
则a与b之间的数量关系为a＝nb．
故答案为：a＝nb．
【点评】本题考查点，线，面，体，轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
13．（2023春 秦都区校级月考）如图，在△ABC中，直线l分别交AB、BC于点E、F，点B关于直线l的对称点D在边BC上，且AD⊥DE．
（1）若AB＝8，AD＝4，求△ADE的周长；
（2）若∠B＝31°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得DE＝BE，再求出△ADE的周长；
（2）由等腰三角形的性质可得∠EDB＝∠B＝31°，再由垂直的定义可得∠ADE＝90°，最后由三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：（1）∵点B关于直线l的对称点D，
∴DE＝BE，
∴C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BE+AE＝AB+AD＝4+8＝12；
（2）∵DE＝BE，∠B＝31°，
∴∠EDB＝∠B＝31°，
∴∠DEB＝180﹣∠EDB﹣∠B＝180﹣31°﹣31°＝118°，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠DEB﹣∠ADE＝118°﹣90°＝28°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质及三角形外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
14．（2025秋 同步）（1）有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取．规定取得最后一枚者获胜．你认为获胜的策略是什么？
（2）如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？
【分析】（1）这是对称型取棋子问题，核心思路是保持两堆棋子数量始终对称．
（2）这是非对称型取棋子问题，核心思路是先将两堆棋子变成数量相等的对称状态．
【解答】解：（1）这是对称型取棋子问题，核心思路是保持两堆棋子数量始终对称．
让对方先取棋子．对方在其中一堆取走若干枚棋子后，你就在另一堆取走相同数量的棋子，这样就能始终保持两堆棋子的数量相等．随着取棋子的进行，最后必然会让对方面临无棋可取的情况，或者你能取到最后一枚棋子，从而获胜．
（2）这是非对称型取棋子问题，核心思路是先将两堆棋子变成数量相等的对称状态．
你先取棋子．观察两堆棋子的数量差，在数量多的那一堆里取走一定数量的棋子，使得两堆棋子的数量变得相等．之后就按照“两堆数量相等时的获胜策略”来操作，即对方在某一堆取多少，你就在另一堆取多少，保持两堆数量对称，最终获胜．
【点评】本题考查生活中的对称现象，解题的关键是掌握相关知识．
15．（2025春 西城区校级期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示．
（1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）；
（2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理：
∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上．（①　两点确定一条直线　 此处填推理的依据）
∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM'∥CN'．（②　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 此处填推理的依据）
（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质解答即可；
（2）分别根据“两点确定一条直线”以及平行公理解答即可；
（3）连接BC，再根据三角形的内角和定理，折叠的性质以及平行线的判定解答即可．
【解答】解：（1）因为KL∥MN，
所以∠KAP＝∠APN＝α，
由折叠的性质可知，
所以；
（2）∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上．（两点确定一条直线）；
∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM'∥CN'．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（3）由∠KAB＝∠BAP和∠LAC＝∠CAP得∠BAC＝90°，
连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°．
所以∠ACN+∠ABM＝270°．
由题意，∠ACN＝∠ACN'，∠ABM＝∠ABM'，
所以∠ACN'+∠ABM'＝270°，
所以∠BCN'+∠CBM'＝270°﹣90°＝180°，
所以BM'∥CN'．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，折叠的性质，轴对称的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【考点2】线段垂直平分线（第16-32题）
· · 见垂直平分线想AD=DC
· · 尺规作图痕迹要识别
· · 两边都在中垂线上则等线段连代换
· · 角度题用等边对等角+内角和
16．（2025秋 洛宁县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．（2025秋 顺城区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
【分析】先利用题中作法得出AD＝AC和MN垂直平分BD，再利用线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，最后利用线段的和差即可解决．
【解答】解：由作图可知AD＝AC，
∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．
∴MN垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB，
∵AB＝9，AC＝7，
∴△ADE的周长为9+7＝16，
故选：D．
【点评】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．
18．（2025秋 镇平县期末）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三条垂直平分线的交点，此时这个点到三角形各顶点的距离相等，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
19．（2026春 南海区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13cm，AE＝2cm，则△ABD的周长是（　　）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【分析】先根据垂直平分线的性质得出AE＝CE，AD＝CD，再根据△ABC的周长是13cm，AE＝2cm即可求解．
【解答】解：∵BC是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵AE＝2cm，
∴AC＝2AE＝4cm，
∵△ABC的周长是13cm，
∴AB+BC＝13﹣4＝9（cm），
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm．
则△ABD的周长为9cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等．
20．（2026春 薛城区期末）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝8，BC＝6，AC＝9．则△ABD的周长为（　　）
A．14 B．15 C．17 D．23
【分析】根据基本作图得到直线MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：由作图可知：直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵AB＝8，AC＝9，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+9＝17，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、基本作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21．（2026 凌河区校级模拟）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项D中，连接AP．证明PA+PB＝BC即可．
【解答】解：选项D中，连接AP．
由作图可知PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，满足条件．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2025秋 娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为　20°　 ．
【分析】由题意可得AC＝BC，推出∠CAB＝∠B，再根据三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，
∴AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B（等边对等角），
∵∠DCA＝40°，∠DCA＝∠CAB+∠B，
∴∠B∠DCA40°＝20°，
则∠B的大小为20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．
23．（2026春 南山区校级期中）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 　17　 cm．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，DE＝DC，然后利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝2AD+BC．
【解答】解：∵点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，
∴AB＝AE，DE＝DC，
∴四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝AB+AE+DE+DC+BC＝2（AE+DE）+BC＝2AD+BC＝2×5+7＝17（cm）．
故答案为：17．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
24．（2026春 兰州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，则∠ACP的度数为 　12　 °．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理及角的和差求解即可．
【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABP＝∠CBP∠ABC＝31°，
∵P是线段BC的垂直平分线上一点，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB＝31°，
∵∠A＝75°，∠ABC＝62°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝43°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝12°，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．（2025秋 惠城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，∠BDC＝　80　 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DBA＝∠A＝40°，再根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
26．（2025春 新城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝75°，∠ABD＝25°，则∠ACF＝　30°　 ．
【分析】根据BD平分∠ABC，得出∠CBD＝∠ABD＝25°，根据三角形内角和定理得出∠ACB，根据垂直平分线的性质得出BF＝CF，则∠FCB＝∠DBC＝25°，根据∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB，即可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣75°﹣25°×2＝55°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠DBC＝25°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝55°﹣25°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，垂直平分线的性质，等边对等角；熟练掌握各知识点是解题的关键．
27．（2026春 铜山区期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD．
（1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得DC＝DB，，即可得BC＝8，进而由△BDC的周长为18得到2DB+10＝18，据此即可求解；
（2）由对顶角性质可得∠CDE＝60°，即可得∠DBC＝∠C＝30°，进而得∠ABC＝50°，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝DB，，
∵EC＝4，
∴BC＝8，
又∵△BDC的周长为18，
∴DB+DC+BC＝18，
∴2DB+8＝18，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDE＝60°，
∵MN垂直平分BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠C＝30°，
∵DC＝DB，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝20°+30°＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
28．（2026春 市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N．
（1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　112　 °，∠EAN＝　44　 °；
（2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　24　 °；
（3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）　 ．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C，由三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出∠EAN的度数；
（2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAN＝180°﹣2∠BAC，即可求出∠EAN的度数；
（3）由（1）（2）即可总结得出结论．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠EAB＝∠B，
同理，∠CAN＝∠C，
∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°．
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°．
故答案为：112；44；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠EAB＝∠B，
同理，∠CAN＝∠C，
∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC．
∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°，
故答案为：24；
（3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下：
由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时，
∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）
＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C）
＝180°﹣2（∠B+∠C）．
由（2）知0°＜∠BAC＜90°时，
∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°，
综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）．
故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论．
29．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E．
（1）若AB＝5，BC＝8，求△ABE的周长；
（2）若BE＝BA，求∠C的度数．
【分析】（1）根据题意可知AC＝BC＝8，由线段垂直平分线的性质可知CE＝BE，进而可求△ABE的周长；
（2）由BE＝CE可知∠C＝∠CBE，由外角性质可得∠BEA＝2∠C，由BE＝BA可证∠A＝∠BEA＝2∠C，然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得AC＝BC＝8，
∵DE垂直平分BC，
EB＝EC，
又∵AB＝5，
∴△ABE的周长为：AB+AE+EB＝AB+（AE+EC）＝AB+AC＝5+8＝13；
（2）∵EB＝EC，
∴∠C＝∠CBE，
∵∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠BEA＝2∠C，
∵BE＝BA，
∴∠AEB＝∠A，
又∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠A＝2∠C，
∵∠CBA+∠A+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出∠A＝2∠C是解（2）的关键．
30．（2025 长沙模拟）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、BC长为半径作弧，交AB于点D，以点A为圆心、AD长为半径作弧，交AC于点E．
（1）若D在AC的垂直平分线上，求∠A的度数；
（2）若BC＝10，AC＝24，求CE的长．
【分析】（1）连接CD，由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD，得到∠ACD＝∠A，由余角的性质推出∠B＝∠BCD，得到BD＝CD，判定△BCD是等边三角形，得到∠BCD＝60°，求出∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，即可得到∠A＝30°；
（2）设CE＝x，由勾股定理求出AB＝26，由题意知AD＝AE＝24﹣x，BD＝BC，得到x+2＝10，求出x＝8，得到CE＝8．
【解答】解：（1）连接CD，
∵D在AC的垂直平分线上，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
由题意得到BC＝BD，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴∠A＝∠ACD＝30°；
（2）设CE＝x，
∴AE＝AC﹣CE＝24﹣x，
∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，
∴AB26，
由题意知AD＝AE＝24﹣x，BD＝BC，
∴BD＝AB﹣AD＝x+2，
∴x+2＝10，
∴x＝8，
∴CE＝8．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD．
31．（2023秋 道县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且AB＝CE．
（1）求证：AD平分∠BAE．
（2）若∠BAE＝50°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据EF垂直平分AC，得出AE＝CE，又因为AB＝CE，则AE＝AB，因为AD⊥BC于点D，得出结论
（2）根据AB＝AE，∠BAE＝50°，求出∠AEB，又因为AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，推出∠AEB＝∠EAC+∠C＝∠C+∠C＝2∠C，进而求出∠C．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
又AB＝CE，
∴AE＝AB，
∵AD⊥BC于点D，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：∵AB＝AE，∠BAE＝50°，
∴，
又∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝∠C+∠C＝2∠C，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
32．（2025秋 万州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD．
（1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积；
（2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质进行计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）过点D分别作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，
∵BD和AD分别平分∠CBM和∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，
∴DE＝DF＝DG．
∵△BCN的面积为20，
∴，
∴DF＝DG＝2，
∴DE＝DF＝2，
∴；
（2）∵BC是AN的垂直平分线，
∴AB＝NB，
∴∠ABC＝∠NBC．
∵BN平分∠CBM，
∴∠NBC＝∠MBN，
∴∠NBC＝∠MBN＝∠ABC＝60°．
∵DF＝DG且DF⊥BC，DG⊥CN，
∴CD平分∠BCN，
∴∠DCN∠BCN．
∵∠DAC∠BAC，
∴∠ADC＝∠DCN﹣∠DAC（∠BCN﹣∠BAC）．
∵∠BCN﹣∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADC．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
【考点3】画轴对称的图形（第33-46题）
· · 关于x轴：横不变纵反
· · 关于y轴：纵不变横反
· · 作图形先求关键点对称点
· · 循环对称题找周期规律
33．（2025秋 绥棱县期末）点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
【解答】解：点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特性是解答本题的关键．
34．（2025秋 林芝市期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（1，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
35．（2025秋 兴庆区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．32025 D．0
【分析】利用轴对称的性质，求出m，n的值，可得结论．
【解答】解：由题意可得：m＝﹣2，n＝1，
∴（m+n）2025＝（﹣2+1）2025＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化—对称，代数式求值，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，
36．（2026春 新华区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
【分析】横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（1，8），
故选：B．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
37．（2026 双桥区校级模拟）如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（﹣4，a），（﹣2，a），（﹣3，a），（2，a），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将A点向右平移7个单位
B．将A点向右平移5个单位
C．将D点向右平移1个单位
D．将D点向右平移2个单位
【分析】由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解．
【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是a，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵B（﹣2，a），D（2，a），
∴B，D关于y轴对称，只需要A，C关于y轴对称即可，
∵A（﹣4，a），B（﹣3，a），
∴可以将点A（﹣4，a）向右平移到（3，a），平移7个单位，
或可以将B（﹣3，a）向右平移到（4，a），平移7个单位，
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
38．（2025秋 大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为　﹣1　 ．
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，即可．
【解答】解：∵点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，
∴m＝3，n＝﹣4，
∴（m+n）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
39．（2025秋 夏津县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为　（﹣3，﹣1）　 ．
【分析】根据所给变换方式，依次求出每次变换后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
经过第1次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，1），
经过第2次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，﹣1），
经过第3次变换后点C的对应点的坐标为（3，﹣1），
经过第4次变换后点C的对应点的坐标为（3，1），
经过第5次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，1），
…，
由此可见，从第1次变换开始，点C对应点的坐标按（﹣3，1），（﹣3，﹣1），（3，﹣1），（3，1）循环．
因为2026÷4＝506余2，
所以经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为（﹣3，﹣1）．
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称及点的坐标变化规律，能根据题意得出从第1次变换开始，点C对应点的坐标按（﹣3，1），（﹣3，﹣1），（3，﹣1），（3，1）循环是解题的关键．
40．（2025秋 周口期末）若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值为　2　 ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n，再求它们的和．
【解答】解：∵点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，
∴1+m＝﹣（﹣4）＝4，且2＝1﹣n，
解得m＝3，n＝﹣1，
∴若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n＝3+（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
41．（2025秋 连平县期末）已知点M（a，3）和点N（2，b）关于y轴对称，则（a+b）2025＝　1　 ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值，进而计算代数式的值．
【解答】解：由条件可知a＝﹣2，b＝3，
∴（a+b）2025＝（﹣2+3）2025＝12025＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征．
42．（2024秋 济南期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点M（0，1）按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到M1（1，1），再将M1（1，1）关于x轴作轴对称从而得到M2（1，﹣1），若点A（0，﹣1）经过“010101……01”共2024次变换后得到点A2024，则点A2024的坐标为　（1012，﹣1）　 ．
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点O（0，1）按序列“01”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，1），再将O1（1，1）关于x轴对称得到Q2（1，﹣1）；
将A（0，﹣1）按序列“01”作变换，将A（0，﹣1）先向右平移一个单位得到A1（1，﹣1），再将A1（1，﹣1）关于x轴对称得到A2（1，1）；
再将A2（1，1）作2次变换，可得A3（2，1），A4（2，﹣1）；
再将A4（2，﹣1）作2次变换，可得A5（3，﹣1），A6（3，1）；
.....．
∴A（0，﹣1）经过2n次变换后得到点的坐标为（n，﹣1），
则点A（0，﹣1）经过“0101……01”共2024次变换后得到点A2024，则点A2024的坐标为（1012，﹣1）．
故答案为：（1012，﹣1）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
43．（2026 榆树市一模）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，AB边上找点D，使CD⊥AB；
（2）在图②中，AC边上找点E，使∠ABE＝45°；
（3）在（2）的前提下，作点E关于BC的对称点F．
【分析】（1）如图①中，取格点E，连接CE交AB于点D，线段CD即为所求；
（2）如图②中，构造等腰直角三角形ABH，BH交AC于点E，点E即为所求；
（3）如图②中，取格点T，连接CT，ET，ET交BC于点J，连接AJ，延长AJ，交CT点F，点F即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，线段CD即为所求；
（2）如图②中，点E即为所求；
（3）如图③中，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
44．（2026春 虹口区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，7）、B（﹣4，5）、C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各个顶点的坐标：A1　（﹣5，7）　 ，B1　（2，5）　 ，C1　（1，1）　 ．
【分析】（1）利用轴对称的性质描出点A1、B1、C1，再顺次连接即可得解；
（2）根据△A1B1C1各个顶点的位置，写出点A1、B1、C1的坐标即可得解．
【解答】解：（1）△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1，如图即为所求；
（2）由图可知，A1（﹣5，7）；B1（2，5）；C1（1，1），
故答案为：（﹣5，7）；（2，5）；（1，1），
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
45．（2025秋 贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点．
（1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值；
（2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值．
【分析】（1）作点C关于y轴对称的点C1，连接BC1，与y轴交于点P1，当点P在P1位置时，PB+PC最小．根据AC是△AOB的中线求出BC＝OC＝2，即可求出PB+PC的最小值；
（2）根据AC是△AOB的角平分线可知点P关于AC对称的点P2在AB上，则当OQ⊥AB时，垂足为H，QO+P2Q最小，即QO+QP最小，为OH的长，根据等面积法求解即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），
如图1，作点C关于y轴对称的点C1，连接BC1，与y轴交于点P1，当点P在P1位置时，PB+PC最小．
∵AC是△AOB的中线，
∴C是边OB的中点，
∵A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴．
由对称可知C1C＝2OC＝4，
∴PB+PC最小值为P1C1+P1B＝C1C+CB＝4+2＝6；
（2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，
∵AC是△AOB的角平分线，
∴点P关于AC对称的点P2在AB上，如图2．
此时PQ＝P2Q，
∴QO+QP＝QO+P2Q．
当OQ⊥AB时，垂足为H，QO+P2Q最小，即QO+QP最小，为OH的长．
由，得3×4＝OH×5，
解得，
∴QO+QP的最小值为．
【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确进行计算是解题关键．
46．（2025秋 南山区校级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C均在小正方形的顶点上．且坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．
（1）在网格中建立平面直角坐标系；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）点P为y轴上一点，且△A1OP的面积为2，则点P的坐标为．
【分析】（1）根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系即可．
（2）确定点A、B、C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接即可得△A1B1C1即可．
（3）设点P的坐标为（0，a），再根据三角形面积公式列式求解即可．
【解答】解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图，
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所作；
（3）设点P的坐标为（0，a），
∵△A1OP的面积为2，A1（﹣1，﹣1）
∴，
∴a＝±4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 轴对称核心：对应点连线被对称轴垂直平分
· · 垂直平分线见即等线段，是几何题中最常用的等线段来源
· · 最短路径问题一律作对称点把折线段拉直
· · 坐标对称口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号
· · 折叠题抓折痕为对称轴，折叠前后对应边对应角相等
【作业 1】（2026春 槐荫区期末）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BO＝B1O B．AB∥A1B1
C．AA1⊥MN D．∠ABC＝∠A1B1C1
【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分逐一判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴对应点的连线被直线MN垂直平分，△ABC≌△A1B1C1，
∴BO＝B1O，AA1⊥MN，∠ABC＝∠A1B1C1，故A，C，D正确，不符合题意；
AB与A1B1不一定平行，故B错误，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
【作业 2】（2025秋 天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．15
【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解．
【解答】解：连接DC，如图，
∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，
∴AD+DC≥AC，
∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，
∴DC＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．
【作业 3】（2025秋 连云港期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（a，﹣3），则点M1的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣a） B．（﹣a，﹣3） C．（a，3） D．（﹣3，a）
【分析】根据关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可求解．
【解答】解：∵点M的坐标为（a，﹣3），点M关于y轴的对应点为M1，
∴点M1的坐标为（﹣a，﹣3），
故选：B．
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【作业 4】（2025春 大竹县期末）如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ 　36　 °．
【分析】接AO并延长到点D，由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，得到∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB，由三角形的外角性质推出∠BOC＝2∠BAC，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：连接AO并延长到点D，
∵点O是△ABC各边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OBA＝∠OAB，
∵∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OAC，∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠BAO，
∴∠COD+∠BOD＝2（∠OAC+∠BAO），
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BOC＝72°，
∴∠A＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出OA＝OB＝OC，由三角形的外角性质得到∠BOC＝2∠BAC．
【作业 5】（2026春 余江区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为　28　 ．
【分析】由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E，则DE＝BE，所以AE+DE＝AB＝18，求得AE+DE+AD＝28，于是得到问题的答案．
【解答】解：由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E，
∴DE＝BE，
∵AE+DE＝AE+BE＝AB＝18，
∴AE+DE+AD＝18+10＝28，
∴△ADE的周长为28，
故答案为：28．
【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出AD＝AC＝10及DE＝BE是解题的关键．
【作业 6】（2022秋 义乌市校级月考）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 　（1，2）或（1，2）　 ．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，分两种情形求解即可．
【解答】解：∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2），
∴AB2，
∵由题意点D在∠CAB的角平分线或∠CAB的外角平分线上，
作DH⊥AB于H．
∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝m，
则有 AC BC AC DC AB DH，
∴2×4＝2m+2m，
∴m1，
∴D（1，2），
当D′在∠CAB的外角平分线上时，同法可得CD′1，
∴D′（1，2）
故答案为：（1，2）或（1，2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【作业 7】（2025春 秦淮区校级期末）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）根据轴对称的性质将△OEF的周长转化为MN的长即可．
（2）连接OP，根据轴对称的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴EM＝EO，FN＝FO，
∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．
又∵MN＝6cm，
∴C△OEF＝6cm．
（2）连接OP，
∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，
∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α．
【点评】本题考查轴对称的性质及列代数式，熟知轴对称的性质是解题的关键．
【作业 8】（2025秋 临夏州期末）如图，△ABC 和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 BE＝AD ，位置关系是 BE⊥AD ；
（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝6.，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE的长．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，EC＝DC，再作差，得出BE＝AD，再用∠ACB＝90°，即可得出结论；
（2）先由旋转的性质得出∠BCE＝∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE＝AD，∠CAD＝∠CBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出∠MAN+∠AMN＝90°，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，求出AE，再用勾股定理得到BE；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，求出AE，再用勾股定理得到BE．
【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
∴AC﹣DC＝BC﹣EC，
∴BE＝AD，
点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
（2）（1）中的结论还成立．理由如下：
如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，
由题意可知：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠CE，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝90°，∠BMC＝∠AMN，
在△ANM中，
∴∠MAN+∠AMN＝∠CBE+∠BMC＝90°，
∴∠ANM＝90°，
∴BE⊥AD，
所以结论成立；
（3）分两种情况讨论：
①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，
∵△DCE是等腰直角三角形，且CE＝2，
∴4，
∵CM⊥AD，
∴2，
在Rt△ACM中，AC＝6，
∴4，
∴AE＝AM﹣EM＝42；
在Rt△ABC中，AC＝6，
∴AB6，
在Rt△ABE中，
BE42；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，
∵△DCE是等腰直角三角形，且CE＝2，
∴4，
∵CN⊥AD，
∴DE＝2，
在Rt△ACN中，AC＝6，
∴4，
∴AE＝AN+NE＝42，
在Rt△ABC中，AC＝6，
∴AB6，
在Rt△ABE中，
BE42；
综上，BE的长为42或42．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
【作业 9】（2023秋 金山区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，，DE垂直平分AC，分别交边BC、AC于点D、E，联结AD．
（1）求∠C的度数；
（2）求AD的长．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可△ABC为直角三角形，∠B＝90°，由含30度角的直角三角形性质知∠C＝30°；
（2）由线段垂直平分线的性质得AD＝CD，易得∠BAD＝30°，设CD＝AD＝x，则BD＝6﹣x，在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形性质求解即可．
【解答】解：（1）∵，BC＝6，，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠B＝90°，
又AC＝2AB，
∴∠C＝30°．
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝30°，∠BAD＝30°，
设CD＝AD＝x，则BD＝6﹣x，
在Rt△ABD中，∠B＝90°，∠BAD＝30°，
∴AD＝2BD，即x＝2（6﹣x），
解得：x＝4，
∴AD＝4．
【点评】本题主要考查勾股定理、含30度角的直角三角形性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
【作业 10】（2026春 宝安区校级同步）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书35页的“思考 交流”的内容．
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2．
（1）若∠1＝60°，则∠3＝　30　 °．
（2）∠ADE的余角是　∠ADC或∠3　 ．
【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．
【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知反射角与入射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】
（4）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　180°﹣2α　 ．（用含有字母α的式子表示）
（5）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图3所示的截面内，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝75°．若一入射光线OD（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°，请求出∠AOD的度数．
【分析】（1）根据轴对称性质求解即可；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）根据反射定律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠2+∠3＝90°，得出∠DCB+∠ABC＝180°，由平行线的判定即可得出结论；
（4）根据∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣a，得出∠1+∠4＝180°﹣a，根据∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB＝180°+180°＝360°，证得∠ABC+∠DCB＝2a，根据三角形内角和定理求解即可；
（5）根据光的反射定律和平行线的性质求解，注意分类讨论即可．
【解答】（1）解：∵∠2＝∠1＝60°，CD⊥EF，
∴∠CDF＝∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30；
（2）解：∵CD⊥EF，
∴∠CDE＝∠ADE+∠ADC＝90°，∠CDF＝∠2+∠3＝90°，
∵∠ADE＝∠2，
∴∠ADE+∠3＝90°，
∴∠ADE的余角是∠ADC，∠3．
故答案为：∠ADC或∠3；
（3）证明：∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
由反射定律得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠2+∠3）＝180°，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠3+∠BCD+∠4＝180°+180°＝360°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
（4）解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣α，
∴∠1+∠4＝180°﹣α，
∵∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4+∠DCB＝180°+180°＝360°，
∴∠ABC+∠DCB＝2α，
∵∠BEC+∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠BEC＝180°﹣2α．
故答案为：180°﹣2α；
（5）解：如图①所示，当D在C下方时，
∵DE∥AB，
∴∠OGE＝∠OAB＝75°，
由外角定理可知∠AOD＝∠OGE﹣∠ODE＝75°﹣22°＝53°；
如图②所示，
由题意可知DE∥CF∥AB，
∴∠ODE＝∠DOC＝22°，∠COA＝∠OAB＝75°，
∴∠AOD＝∠DOC+∠COA＝97°，
综上，∠AOD的度数为97°或53°．
【点评】本题考查了余角和补角，平行线的判定与性质，生活中的轴对称现象以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
第1页（共1页）第8讲 轴对称及线段垂直平分线 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念
· · 掌握轴对称的性质，能利用性质求线段长度和角度
· · 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理
· · 会作简单图形关于直线的对称图形
· · 掌握平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的坐标规律
知识梳理
☆ 1.轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能互相重合
两个图形成轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
成轴对称的两个图形全等
概念辨析例题：△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，AB=5，BC=3，求A'B'
解析：成轴对称的两个图形全等，对应边相等
☆ 2.轴对称的性质应用
对应点连线被对称轴垂直平分
对应线段相等，对应角相等
利用轴对称可求最短路径（将军饮马模型）
折叠问题中折痕就是对称轴
概念辨析例题：点P关于OA的对称点为P1，关于OB的对称点为P2，若P1P2=10，求△PEF周长（E在OA,F在OB）
解析：PE=P1E，PF=P2F，周长=P1E+EF+P2F=P1P2=10
☆ 3.线段垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
判定：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上
三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等
尺规作垂直平分线：分别以两端点为圆心画弧，连线即为所求
概念辨析例题：DE垂直平分AC，AE=3，△ABD周长为13，求△ABC周长
解析：AD=DC，AC=6，△ABC周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19
☆ 4.坐标中的轴对称
点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)
点(x,y)关于y轴对称点为(-x,y)
点(x,y)关于直线x=a对称点为(2a-x,y)
作对称图形：先求关键点对称点，再顺次连线
概念辨析例题：点A(2,-3)关于y轴对称点坐标
解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取反
知识总结表
核心概念 性质/规律 注意事项
轴对称图形 沿直线折叠两旁重合 一个图形自身对称
两个图形成轴对称 折叠后两图形重合 两个图形之间的关系
对称轴性质 对应点连线被垂直平分 对称轴是直线
垂直平分线性质 线上点到两端距离相等 AD=DC等价D在中垂线上
垂直平分线判定 到两端等距则在线上 可证点在直线上
关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横不变纵相反
关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵不变横相反
最短路径 作对称点化折为直 两点之间线段最短
核心考点
【考点1】轴对称及其性质（第1-15题）
· · 先判断对称轴位置
· · 利用对应边对应角相等
· · 折叠问题抓折痕即对称轴
· · 求周长用等线段代换
1．（2026 长沙二模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026 保定二模）如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．（2026 宣汉县校级开学）如图，在△ABC中，直线CD交AB于点D，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　）
A．13 B．15 C．17 D．23
4．（2026春 海淀区校级期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线
C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线
5．（2026秋 崇川区月考）如图，一个大正方形由9个大小相同的小正方形组成，其中2个小正方形已被涂成灰色．如果要再将一个小正方形涂成灰色，使涂灰部分成为一个轴对称图形，那么一共有_____ 种涂法．
6．（2025秋 密云区月考）如图，△ABD和△FEC关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有 _____ 对全等三角形．
7．（2025秋 北京期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB、AC的对称点分别为P1、P2，连接P1P2．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）________ ．
①△ABC≌△PP2P1；
②AP1＝AP2；
③△P1PP2一定是直角三角形；
④P1P2长度的最小值是．
8．（2026春 朝阳区校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 _______ ．
9．（2026春 薛城区期末）如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝5，CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为E、F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是____________________ ．
10．（2026春 武侯区校级月考）如图，△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一点，连接BD，作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，若∠ABC＝50°，则∠F的大小为________ ．
11．（2026春 丰泽区期末）如图，∠AOB＝50°，点Q是∠AOB内部一点，过点Q分别作关于OA，OB的对称点C，D，连结OC，OD，则∠COD＝________ °．
12．（2025秋 莱西市期末）如图，有一长acm，宽bcm的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体．
（1）按这两种方式得到的几何体是________ ；
（2）当a＝8cm，b＝6cm时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大；
（3）若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的n倍，则a与b之间的数量关系为_________ ．
13．（2023春 秦都区校级月考）如图，在△ABC中，直线l分别交AB、BC于点E、F，点B关于直线l的对称点D在边BC上，且AD⊥DE．
（1）若AB＝8，AD＝4，求△ADE的周长；
（2）若∠B＝31°，求∠DAE的度数．
14．（2025秋 同步）（1）有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取．规定取得最后一枚者获胜．你认为获胜的策略是什么？
（2）如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？
15．（2025春 西城区校级期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示．
（1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）；
（2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理：
∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上．（①_____________ 此处填推理的依据）
∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM'∥CN'．（②____________________ 此处填推理的依据）
（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论．
【考点2】线段垂直平分线（第16-32题）
· · 见垂直平分线想AD=DC
· · 尺规作图痕迹要识别
· · 两边都在中垂线上则等线段连代换
· · 角度题用等边对等角+内角和
16．（2025秋 洛宁县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
17．（2025秋 顺城区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
18．（2025秋 镇平县期末）游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
19．（2026春 南海区校级月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长是13cm，AE＝2cm，则△ABD的周长是（　　）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
20．（2026春 薛城区期末）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝8，BC＝6，AC＝9．则△ABD的周长为（　　）
A．14 B．15 C．17 D．23
21．（2026 凌河区校级模拟）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
22．（2025秋 娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为________ ．
23．（2026春 南山区校级期中）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 _______ cm．
24．（2026春 兰州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，则∠ACP的度数为 _______ °．
25．（2025秋 惠城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，∠BDC＝_______ °．
26．（2025春 新城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝75°，∠ABD＝25°，则∠ACF＝________ ．
27．（2026春 铜山区期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD．
（1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
28．（2026春 市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N．
（1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝________ °，∠EAN＝_______ °；
（2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝_______ °；
（3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系____________________ ．
29．如图，在△ABC中，AC＝BC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E．
（1）若AB＝5，BC＝8，求△ABE的周长；
（2）若BE＝BA，求∠C的度数．
30．（2025 长沙模拟）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、BC长为半径作弧，交AB于点D，以点A为圆心、AD长为半径作弧，交AC于点E．
（1）若D在AC的垂直平分线上，求∠A的度数；
（2）若BC＝10，AC＝24，求CE的长．
31．（2023秋 道县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且AB＝CE．
（1）求证：AD平分∠BAE．
（2）若∠BAE＝50°，求∠C的度数．
32．（2025秋 万州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD．
（1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积；
（2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数．
【考点3】画轴对称的图形（第33-46题）
· · 关于x轴：横不变纵反
· · 关于y轴：纵不变横反
· · 作图形先求关键点对称点
· · 循环对称题找周期规律
33．（2025秋 绥棱县期末）点（1，2）关于x轴对称点的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
34．（2025秋 林芝市期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
35．（2025秋 兴庆区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．32025 D．0
36．（2026春 新华区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣8）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（﹣8，1） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
37．（2026 双桥区校级模拟）如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（﹣4，a），（﹣2，a），（﹣3，a），（2，a），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将A点向右平移7个单位
B．将A点向右平移5个单位
C．将D点向右平移1个单位
D．将D点向右平移2个单位
38．（2025秋 大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为_______ ．
39．（2025秋 夏津县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是（3，1），则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为____________ ．
40．（2025秋 周口期末）若点P（1+m，2）与点Q（﹣4，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值为_____ ．
41．（2025秋 连平县期末）已知点M（a，3）和点N（2，b）关于y轴对称，则（a+b）2025＝_____ ．
42．（2024秋 济南期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点M（0，1）按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到M1（1，1），再将M1（1，1）关于x轴作轴对称从而得到M2（1，﹣1），若点A（0，﹣1）经过“010101……01”共2024次变换后得到点A2024，则点A2024的坐标为______________ ．
43．（2026 榆树市一模）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，AB边上找点D，使CD⊥AB；
（2）在图②中，AC边上找点E，使∠ABE＝45°；
（3）在（2）的前提下，作点E关于BC的对称点F．
44．（2026春 虹口区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，7）、B（﹣4，5）、C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于直线x＝﹣1对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各个顶点的坐标：A1___________ ，B1__________ ，C1__________ ．
45．（2025秋 贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点．
（1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值；
（2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值．
46．（2025秋 南山区校级期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B、点C均在小正方形的顶点上．且坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，4），C（﹣4，3）．
（1）在网格中建立平面直角坐标系；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）点P为y轴上一点，且△A1OP的面积为2，则点P的坐标为．
课后巩固
复习建议
· · 轴对称核心：对应点连线被对称轴垂直平分
· · 垂直平分线见即等线段，是几何题中最常用的等线段来源
· · 最短路径问题一律作对称点把折线段拉直
· · 坐标对称口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号
· · 折叠题抓折痕为对称轴，折叠前后对应边对应角相等
【作业 1】（2026春 槐荫区期末）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BO＝B1O B．AB∥A1B1
C．AA1⊥MN D．∠ABC＝∠A1B1C1
【作业 2】（2025秋 天桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．15
【作业 3】（2025秋 连云港期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（a，﹣3），则点M1的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣a） B．（﹣a，﹣3） C．（a，3） D．（﹣3，a）
【作业 4】（2025春 大竹县期末）如图，点O是△ABC各边垂直平分线的交点，连接BO、CO．如果∠BOC＝72°，那么∠A＝ _______ °．
【作业 5】（2026春 余江区期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为_______ ．
【作业 6】（2022秋 义乌市校级月考）如图，点A坐标为（0，4），点B坐标为（4，2）．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为 ____________________ ．
【作业 7】（2025春 秦淮区校级期末）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示）
【作业 8】（2025秋 临夏州期末）如图，△ABC 和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 __________ ，位置关系是 __________ ；
（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝6.，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE的长．
【作业 9】（2023秋 金山区期末）如图，在△ABC中，，BC＝6，，DE垂直平分AC，分别交边BC、AC于点D、E，联结AD．
（1）求∠C的度数；
（2）求AD的长．
【作业 10】（2026春 宝安区校级同步）【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书35页的“思考 交流”的内容．
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠2+∠3＝90°，∠1＝∠2．
（1）若∠1＝60°，则∠3＝_______ °．
（2）∠ADE的余角是____________ ．
【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．
【数学推理】（3）如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知反射角与入射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】
（4）两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝____________ ．（用含有字母α的式子表示）
（5）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图3所示的截面内，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝75°．若一入射光线OD（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°，请求出∠AOD的度数．
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