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第10讲 等腰三角形 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一
· · 掌握等腰三角形的判定：等角对等边
· · 熟练运用角平分线+平行线模型证等腰
· · 能解决等腰三角形分类讨论和动点问题
知识梳理
☆ 1.等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形两底角相等
三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边高所在直线
顶角A，底角B=C=
概念辨析例题：AB=AC，∠A=80°，求∠B
解析：∠B=∠C==50°
☆ 2.等腰三角形的判定
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
两边相等的三角形是等腰三角形
常与角平分线、平行线结合出等腰
分类讨论：哪边是腰、哪边是底
概念辨析例题：∠B=∠C，求证AB=AC
解析：等角对等边
☆ 3.角平分线+平行线模型
角平分线+平行线→等腰三角形
DB=DM,EC=EM
△ADE周长=AB+AC
这是高频考点模型
概念辨析例题：BM、CM平分∠B、∠C，DE∥BC过M，AB=8,AC=6，求△ADE周长
解析：DB=DM,EC=EM,周长=AB+AC=14
☆ 4.分类讨论思想
已知两边求周长：哪边是腰要讨论
网格中找等腰三角形：AB为底、AB为腰A为顶、AB为腰B为顶
动点等腰：顶角是哪个顶点要讨论
注意三角形三边关系检验
概念辨析例题：等腰三角形两边长3和7，求周长
解析：3+3<7不能构成三角形，只能7为腰，周长=7+7+3=17
知识总结表
核心概念 内容 注意事项
等边对等角 AB=AC则∠B=∠C 同一三角形内
三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 仅等腰三角形
等角对等边 ∠B=∠C则AB=AC 判定定理
角分线+平行线 必出等腰 DB=DM
分类讨论 腰底未定要讨论 检验三边关系
36度等腰 黄金三角形 底角72°
动点等腰 分三种顶角 注意范围
核心考点
【考点1】等腰三角形的判定（第1-13题）
· · 网格找等腰分三类：AB为底、A为顶、B为顶
· · 整数边长等腰用三边关系
· · 角平分线+平行线出等腰
· · 全等证明后再用等角对等边
1．（2026春 中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线以及网格作图，解题的关键是利用分类讨论思想和熟悉等腰三角形的性质，分AB为底边、AB 为腰且 A 为顶点、AB 为腰且 B 为顶点三种情况讨论，找出所有满足条件的格点即可．
【解答】解：设网格小正方形的边长为1，
分三种情况讨论：
当AB＝AC时，如图，
此时满足条件的格点C共有3个；
当AC＝BC时，则点C在线段 AB 的垂直平分线上，如图，
此时满足条件的格点C有2个；
BA＝BC时，如图，
此时满足条件的格点C共有3个，
综上所述，满足条件的格点C共有3+2+3＝8个，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（2025秋 承德县期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，在直线OA或直线OB上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】线段AB可能是腰，也可能是底，分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，作线段AB的垂直平分线，即可得到点P，于是得到答案．
【解答】解：以A圆心AB的长为半径画圆，交直线OA于P1，P2，交直线OB于P3，B，以B为圆心BA的长为半径画圆交直线OB于P4，P3，交直线OA于P5，A；作线段AB的垂直平分线交直线OB于P3，交直线OA于P6，交直线OB于P3，
∴使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有6个．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是要注意线段AB可能是腰，也可能是底．
3．（2025秋 石狮市校级月考）周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】设等腰三角形两腰长为x，底边长为y，根据三角形三边关系和边长是整数求出x＝3或4，然后分情况讨论求解即可．
【解答】解：设等腰三角形两腰长为x，底边长为y，x、y为正整数，且满足三角形三边关系2x＞y，
由题意得：2x+y＝10，
∴y＝10﹣2x，
∵y＞0，
∴10﹣2x＞0，
解得：x＜5，
∵2x＞y，
∴2x＞10﹣2x，
解得：x＞2.5，
∴3≤x＜5，
∵x为整数，
∴x＝3或4，
当x＝3时，y＝10﹣2x＝10﹣2×3＝4，三边为3、3、4，3+3＝6＞4，满足三角形三边关系；
当x＝4时，y＝10﹣2x＝10﹣2×4＝2，三边为4、4、2，4+2＝6＞4，满足三角形三边关系；
综上所述，共有2个满足条件的等腰三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及三角形三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的三边关系是解题的关键．
4．（2026春 小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案．
【解答】解：如图，
∴符合条件的格点P共有8个．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．（2024秋 长治期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　②或③　 处剪断．（可多选，填写序号）
【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．
【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下：
当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处剪断，
当4为底时，则腰为，此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处剪断，
在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形，
在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形，
综上，第二次可以在②或③处剪断，
故答案为：②或③．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025春 闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 　三　 个等腰三角形．
【分析】根据三角形的内角和定理分别求出∠ACB＝108°，∠BCD＝36°，∠ACD＝72°，∠ADC＝72°，然后根据∠A＝∠B＝36°可判定△ABC是等腰三角形；根据∠BCD＝∠B＝36°可判定△BCD是等腰三角形；再根据∠ADC＝∠ACD＝72°可判定△ACD是等腰三角形，由此即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝108°，
∵∠ACD＝2∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝3∠BCD＝108°，
∴∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝2∠BCD＝72°，
在△ACD中，∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝180°﹣（36°+72°）＝72°，
∵∠A＝∠B＝36°，
∴△ABC是等腰三角形；
∵∠BCD＝∠B＝36°，
∴△BCD是等腰三角形；
∵∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴△ACD是等腰三角形，
综上所述：图中共有三和等腰三角形．
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
7．（2026春 虹口区校级月考）如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在　②或③　 处剪断．（填所有符合条件的序号）
【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．
【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下：
当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形，
∴第二次可以在②处剪断，
当4为底时，则腰为5，此时能组成三角形，
∴第二次可以在③处剪断，
在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形，
在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形，
综上，第二次可以在②或③处剪断，
故答案为：②或③．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2024秋 东莞市校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有　6　 个．
【分析】根据题意，画出图形结合求解．
【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA＝PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，关键是等腰三角形判定定理的应用．
9．（2025春 渠县校级期中）如图，已知△ABC，G是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于D点，过D作BC的平行线，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝EB﹣FC．
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可知BE＝DE，CF＝DF，从而证明结论．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∵CD平分∠ACG，
∴∠ACD＝∠GCD，
∵ED∥BC，
∴∠FDC＝∠GCD，
∴∠ACD＝∠FDC，
∴FC＝FD，
∵EF＝ED﹣FD，EB＝ED，FC＝FD，
∴EF＝EB﹣FC．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握基本几何图形是解题的关键．
10．（2025秋 江城区期末）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：△GEC是等腰三角形．
【分析】（1）先得到BC＝EF，再通过SSS可证得三角形全等；
（2）通过三角形全等得到∠ACB＝∠DEF，进而可证△GEC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）由（1）可知，△ABC≌△DFE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴EG＝CG，
所以三角形GEC是等腰三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，能够证得三角形全等是本题解题关键．
11．（2025秋 工业园区校级月考）如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB；找出图形中的等腰三角形，并加以证明．
【分析】根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠EDB，求出∠EDB＝CBD，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】解：△BDE是等腰三角形，
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的性质），
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EDB（两直线平行，内错角相等），
∴∠EDB＝∠CBD（等量代换），
∴BE＝DE（等角对等边），
即△BDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
12．（2025春 杨浦区校级月考）如图，直线a、b交于点O，A为直线a上一定点，B为直线b上一动点，∠1＝α．若以点O、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：
（1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有 　4　 个；
（2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有 　2　 个．
【分析】（1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可；
（2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可．
【解答】解：（1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：
当OB1＝AB1时，∠B1AO＝∠1＝50°；
当OA＝OB2时，∠OAB2＝∠OB2A＝65°；
当OA＝AB3时，∠OAB2＝∠OB3A＝65°；
当OA＝OB4时，∠OAB4＝∠OB4A＝65°；
故答案为：4；’
（2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：
当OA＝OB1时，△AOB1是等边三角形，
当OA＝OB2时，∠OAB2＝∠OB2A＝30°；
故答案为：2．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
13．（2023秋 富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形．
【分析】根据题意AD∥BC，得到内错角∠DAC＝∠ACB，再利用角平分线定义推导出∠DAC＝∠ACD，最后可以证明△DAC是等腰三角形．
【解答】证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴△DAC是等腰三角形．
【点评】无
【考点2】等腰三角形的判定与性质（第14-30题）
· · 角平分线+平行线模型：DB=DM
· · △ADE周长=AB+AC
· · 外角平分线+平行线：EF=BE-CF
· · 翻折构造等腰三角形
14．（2026春 蓬江区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．1.8
【分析】可证明DE是△ABC的中位线，则可得到，DE∥AB，由平行线的性质和角平分线的定义可证明∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝3，据此可得答案．
【解答】解：∵点D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，，
∴，DE∥AB，
∴∠ABF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝BD＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质和角平分线的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
15．（2024秋 遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【分析】根据作图可知∠AOF＝∠BOF＝25°，再根据EF＝EO即可求出结论．
【解答】解：由题意可知：OP平分∠AOB，∠AOB＝50°，
∴，
∵EF＝EO，
∴∠AOF＝∠EFO＝25°，
所以∠EFO的度数为25°，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图及等腰三角形的判定与性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
16．（2026春 南岸区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若∠B＝72°，AB＝a，BC＝b，则△CDE的周长为（　　）
A．a+b B．2a﹣b C．2b﹣a D．3a﹣2b
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A和∠ACB的度数，利用角平分线和平行线的性质证明△ADC、△BCD、△CDE均为等腰三角形，进而用a，b表示出△CDE的各条边长，最后合并化简即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠B，AD＝CD，
∴CD＝BC＝b，
∴AD＝b，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝72°，∠EDC＝∠BCD＝36°，∠ADE＝∠B＝72°，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝b，
∴CE＝AC﹣AE＝AB﹣AE＝a﹣b，
∵∠EDC＝36°，∠ECD＝36°，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝a﹣b，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝b+a﹣b+a﹣b＝2a﹣b，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2024秋 重庆同步）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则 AC＝（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
【分析】根据角平分线的定义得出∠BCD＝∠ECD，根据两直线平行，内错角相等得出∠EDC＝∠BCD，于是得出∠ECD＝∠EDC，再根据等角对等边得出CE＝DE，即可求出AC的长．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴CE＝DE＝7，
∵AE＝5，
∴AC＝AE+CE＝5+7＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18．（2026 海口开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（　　）
A．16 B．14 C．18 D．20
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质得出AB＝AE，AD＝AC，代入数据计算即可．
【解答】解：在△ABC中，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
同理AD＝AC，
∵AC＝9，AB＝11，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝11+9＝20．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
19．（2026春 兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　4　 ．
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
20．（2026春 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC＝2AE，DE＝6，那么AC＝　9　 ．
【分析】据角平分线的定义可得∠BCD＝∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD＝∠CDE，然后求出∠DCE＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE+CE代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE＝6，
∵EC＝2AE，
∴AE＝3，
∴AC＝AE+CE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出CE＝DE是解题的关键．
21．（2025秋 鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 　2　 cm．
【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边得出DF＝BD，CE＝EF，根据DE＝DF﹣EF即可求得．
【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝7cm，EF＝CE＝5cm，
∴DE＝DF﹣EF＝7﹣5＝2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是解决问题的关键．
22．（2025秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝6，AC＝4，BC＝8，则△AEF的周长是　10　 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，则ED＝EB，FD＝FC，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，∠EDB＝∠CBD，
∴∠FDC＝∠FCD，∠EBD＝∠EDB，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（2023秋 翠屏区期末）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB＝∠DBA，若AC＝14，△CDB的周长为20，则DB的长为 　8　 ．
【分析】证明△CDE≌△CBE，从而可得CD＝CB，再利用等角对等边证明AD＝BD，这样△CDB的周长就转化为AC与BC的和．
【解答】解：∵CE⊥DB，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠BCE，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（ASA），
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝DB，
∵△CDB的周长为20，
∴CD+CB+BD＝20，
∵AC＝14，
∴AD+CD＝14，
∴BD+CD＝14，
∴BC＝20﹣14＝6，
∴BC＝CD＝6，
∴AD＝BD＝14﹣6＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，注意结合图形分析各边之间的关系是解题的关键．
24．（2025 越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是　16　 ．
【分析】由直角三角形的性质得∠A+∠C＝90°，∠ADE+∠BDC＝90°，再由等腰三角形的性质得∠A＝∠ADE，然后证明AE＝DE，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC＝5，∠A＝∠BCD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AB＝11，BD＝BC＝5．
∴△BDE的周长为：BD+BE+DE＝BD+BE+AE＝BD+AB＝5+11＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质性质以及直角三角形的性质等知识，证明AE＝DE是解题的关键．
25．（2024秋 肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°
∴∠AEF＝∠ABF，
∴AE＝AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接DE，
∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED，
∴∠DEF＝∠DBF，
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴CE＝BD．
∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝13﹣5＝8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（2026 龙州县一模）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，由AB∥CD可得∠2＝∠3，根据等量代换可得∠1＝∠3；
（2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解．
【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CDA＝28°，
∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°，
∵∠1＝∠3，
∴∠3＝31°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
27．（2025春 新余期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C．
【分析】在DC上取点E，使DE＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，得到AE＝CE，于是得到结论．
【解答】证明：在DC上取点E，使DE＝BD，
∵AD⊥BC，且BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵AB＝CD﹣BD，
∴CD﹣BD＝CD﹣DE＝CE，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，
∴∠B＝2∠C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确地添加辅助线是解题的关键．
28．（2025春 闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE．
求证：
（1）△ACE是等腰三角形．
（2）∠CAE＝∠CDE．
【分析】（1）根据AD平分∠BDE，设∠ADB＝∠ADE＝α，根据AD＝AB得∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α，再根据∠BAD＝∠CAE得∠BAC＝∠DAE，由此即可依据“AAS”判定△BAC和△DAE中全等，则AC＝AE，由此即可得出结论
（2）在△ABD中，根据∠B＝∠ADB＝α得∠BAD＝180°﹣2α，则∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α，再根据∠ADB＝∠ADE＝α得∠CDE＝180°﹣2α，由此即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BDE，
∴设∠ADB＝∠ADE＝α，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴AC＝AE，
∴△ACE是等腰三角形；
（2）在△ABD中，∠B＝∠ADB＝α，
∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝180°﹣2α，
∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α，
∵∠ADB＝∠ADE＝α，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠CDE．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
29．（2025春 闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM＝ 　∠ABM ．
∵DE∥BC，
∴∠CBM＝∠BMD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
∴∠BMD＝ 　∠ABM ．
∴DB＝DM（ 　等角对等边　 ）．
同理可得EC＝ EM ．
∴△ADE周长＝AD+DE+AE，
＝AD+DM+ME+AE，
＝AD+DB+EC+AE，
＝AB+AC＝ 　14　 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，同理可得EC＝ EM，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM＝∠ABM．
∵DE∥BC，
∴∠CBM＝∠BMD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BMD＝∠ABM．
∴DB＝DM（等角对等边）．
同理可得EC＝ EM．
∴△ADE周长＝AD+DE+AE，
＝AD+DM+ME+AE，
＝AD+DB+EC+AE，
＝AB+AC＝ 14，
故答案为：∠ABM；两直线平行，内错角相等；∠ABM；等角对等边；EM；14．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
30．（2024春 秦都区校级月考）如图，直线BN平行于△ABC的边AC，延长AC到点M，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，过点D作DE∥BN交BC于点E，连接AE．若AB＝AC，求证：AE⊥BC．
【分析】利用平行线的性质与角平分线的定义证明EB＝ED，EC＝ED，可得EB＝EC，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵DE∥BN，
∴∠NBD＝∠BDE．
∵BD平分∠CBN，
∴∠NBD＝∠DBE，
∴∠BDE＝∠DBE，
∴EB＝ED．
∵AM∥BN，
∴DE∥AM，
∴∠EDC＝∠DCM，
∵CD平分∠BCM，
∴∠DCM＝∠ECD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴EC＝ED，
∴EB＝EC．
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明等腰三角形是解本题的关键．
【考点3】新定义及压轴题（第31-36题）
· · 外角平分线+平行线→等腰
· · ∠B=2∠C模型：延长CB构造等腰
· · 分类讨论等腰三角形
· · 勾股定理+等腰综合
31．（2025春 河源校级月考）如图，已知AF是△ABC的外角∠DAC的平分线，AF∥BC，CG是△ABC的外角∠ACE的平分线，AF与CG相交于点G．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【分析】（1）由角平分线、平行线可得∠ACB＝∠B，则AB＝AC，进而结论得证；
（2）由题意知，∠ACB＝∠B＝40°，则∠ACE＝180°﹣∠ACB，由角平分线可得．由AF∥BC，可知∠AGC＝180°﹣∠BCG，计算求解即可．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF．
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠CAF＝∠ACB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB＝∠B（等量代换），
∴AB＝AC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由题意知，∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝140，
∵CG平分∠ACE，
∴．
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠AGC的度数为70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质．熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键．
32．（2026春 勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明∠AFD＝∠D，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论；
（2）先证明∠DCF＝∠D，得到CF＝DF＝8，再根据直角三角形的性质，即得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠D，
∴AD＝AF，
即△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠D＝30°，∠CFE＝60°，
∴∠DCF＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DCF＝∠D，
∴CF＝DF＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠FCE＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
33．（2025秋 南昌期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证△AEG为等腰三角形；
（2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，继而证明△AEG为等腰三角形即可；
（2）作EH⊥AD，垂足为点H，证明△EHG≌△CDG（AAS），可得AH＝HG＝GD＝5，继而得到AG长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABD和△CDG都是直角三角形，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠GCD，
∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，
∴AE＝GE，
∴△AEG为等腰三角形；
（2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H，
在△EHG和△CDG中，
，
∴△EHG≌△CDG（AAS），
∴HG＝GD，
∵AE＝EG，EH⊥AD，
∴AH＝HG＝GD，
∵DG＝5，
∴AG＝10．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例是关键．
34．（2024秋 丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABE＝∠AEB，即可得出结论；
（2）连接DE，证明AD垂直平分BE，得到BD＝DE，证明∠EDC＝∠C，得到CE＝DE，根据AC＝AE+CE，进行求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD，
∴∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝∠AFE＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAF，∠AEB＝90°﹣∠EAF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：如图所示，连接DE，
∵AB＝AE，AD⊥BF，
∴AD垂直平分BE，
∴DB＝DE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴∠EDC＝2∠DBE，
∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝2∠C，
∴∠C+∠EBC+∠EBC＝2∠C，
∴∠C＝2∠EBC＝∠EDC，
∴CE＝DE＝BD＝2，
又∵AB＝AE＝3．
∴AC＝AE+CE＝5．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形的外角性质，证明三角形为等腰三角形是解题的关键．
35．（2025春 邛崃市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F．
（1）证明：AD＝BD；
（2）若∠CAD＝12°，求∠BAC的度数；
（3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数．
【分析】（1）根据AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，根据三角形外角性质得∠ACB＝∠ADB+∠CAD，再根据∠ADB＝∠BAC得∠ACB＝∠BAD＝∠ABC，由此即可得出结论；
（2）设∠ADB＝∠BAC＝α，则∠BAD＝α+12°，由（1）可知∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝α+12°，在△ABCD中，由三角形内角和定理得α+α+12°+α+12°＝180°，由此解出α＝52°，则可得∠BAC的度数；
（3）根据∠ABC＝∠ACB，点F在AC边上得∠FBC＜ABC＝∠ACB，因此当△BCF为等腰三角形时，有以下两种情况：①当BC＝FC时，则∠CBF＝∠CFB，设∠ADB＝∠BAC＝α，则∠CBF＝∠CFB＝∠AFE＝90°﹣α，进而得∠CAD＝α，继而得∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝2α，在△ABC中，由三角形内角和定理得2α+2α+α＝180°，由此解出α＝36°，则可得∠BAC的度数；②当BC＝BF时，则∠BFC＝∠ACB，根据∠CBF＝90°﹣α得∠BFC＝∠ACB，进而得∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，在△ABC中，由三角形内角和定理得α＝180°，由此解出α＝45°，则可得∠BAC的度数；综上所述即可得出答案．
【解答】（1）证明：在等腰△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠ADB+∠CAD，
∵∠ADB＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD；
（2）解：设∠ADB＝∠BAC＝α，
∵∠CAD＝12°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+12°，
由（1）可知：∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ACB＝α+12°，
在△ABCD中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+α+12°+α+12°＝180°，
解得：α＝52°，
∴∠BAC的度数是52°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB，点F在AC边上，
∴∠FBC＜ABC，
∴∠FBC＜∠ACB，
∴当△BCF为等腰三角形时，有以下两种情况：
①当BC＝FC时，则∠CBF＝∠CFB，
设∠ADB＝∠BAC＝α，
∵BE⊥AD交于AC于点F，
∴在Rt△BDF中，∠CBF＝90°﹣∠ADB＝90°﹣α，
∴∠CBF＝∠CFB＝90°﹣α，
∴∠AFE＝∠CFB＝90°﹣α，
在Rt△AEF中，∠CAD＝90°﹣∠AFE＝α，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝2α，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠BAC＝α＝36°；
②当BC＝BF时，则∠BFC＝∠ACB，
∵∠CBF＝90°﹣α，
∴∠BFC＝∠ACB（180°﹣∠CBF），
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴α＝180°，
解得：α＝45°，
∴∠BAC＝α＝45°，
综上所述：∠BAC度数是36°或45°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
36．（2026春 射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值．
【分析】延长CB构造等腰三角形，利用等角转化与勾股定理建立关于BD的方程，通过两个直角三角形中公共高的等量关系，代入线段和差求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，如图，延长CB到E，使得BE＝AB＝5，连接AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠E，
∴，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2﹣DE2，
∴AE2﹣DE2＝AB2﹣BD2，
∵DE＝BE+BD，
∴，
解得BD＝3．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 澧县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　8　 ．
【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO＝∠MOB，利用等角对等边得到MO＝MB，同理得到NO＝NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB＝AM+MB，AC＝AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．
【解答】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO＝∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴MB＝MO，
同理可得∠NOC＝∠NCO，
∴NO＝NC，
∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12，
则BC＝20﹣12＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
【练习 2】（2024春 威宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠D＝15°，AD＝10，AB＝6，连接AC，则S△ABC的值为 　6　 ．
【分析】延长AB与DC的延长线交于点E，过点A作AF⊥BC的延长线于点F，先证∠E＝∠BCE＝∠D＝15°，BE＝BC，AE＝AD，即可求出BC的长，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AF的长，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：延长AB与DC的延长线交于点E，过点A作AF⊥BC的延长线于点F，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠D＝15°，
∵∠ABC＝30°，∠ABC＝∠BCE+∠E，
∴∠E＝15°，
∴∠E＝∠BCE，∠E＝∠D，
∴BE＝BC，AE＝AD，
∵AD＝10，
∴AE＝10，
∵AB＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
∴BC＝4，
在Rt△AFB中，∠ABC＝30°，
∴AF3，
∴6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【练习 3】（2025秋 南京校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°．求证：
（1）ED∥BC；
（2）ED＝EB．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠ABC＝∠2＝50°，据此可证明结论；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质可证明∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED．
【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，
∴∠ABC＝2∠1＝50°，
∴∠ABC＝∠2，
∴ED∥BC（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等），
又∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB（等量代换），
∴EB＝ED（等角对等边）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 等边对等角、三线合一
· · 等角对等边是判定定理
· · 角平分线+平行线必出等腰
· · 周长=AB+AC模型要记牢
· · 等腰问题分类讨论+三边关系检验
【作业 1】（2026春 西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E是边BC上一点，且AE＝BE，若，BE＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【分析】先根据AE＝BE，判断△AEB是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到DE⊥AB，求出底边一半BD，最后在直角三角形内用勾股定理计算DE长度．
【解答】解：由条件可知△AEB是等腰三角形．
∵D是AB中点，
根据等腰三角形三线合一，可得DE⊥AB，即∠ADE＝∠BDE＝90°．
∵，D为AB中点，
∴BDAB，
在Rt△BDE中，BE＝3，
由勾股定理得：
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 2】（2026春 市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，
72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∠EDB＝∠DBC＝36°
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，
AD＝AE，
△ADE为等腰三角形，
在△ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°，
AD＝BD，
△ABD是等腰三角形，
同理△AEC也是等腰三角形，
在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°，
ED＝BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
在△BDC中，∠BCD＝∠BDC＝72°，
BD＝BC，
△BDC是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，
ED＝BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°，
∴OD＝OE，OB＝OC，
即△ODE，△OBC也为等腰三角形，
∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°，
∴CD＝CO，BE＝OB，
∴△CDO，△BOE也是等腰三角形，
所以共有12个等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理，由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
【作业 3】（2025秋 闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AP是边BC的中线，下列说法正确的是（　　）
A．如果∠BAC＝90°，那么AC＝PC
B．如果∠BAC＝90°，那么∠B＝∠CAP
C．如果AC＝PC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠B＝∠BAP，那么∠BAC＝90°
【分析】根据AP是边BC的中线得出PB＝PC，结合各选项，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AP是边BC的中线，则PB＝PC，
A．如果∠BAC＝90°，那么AP＝PC，不能得出AC＝PC，A不正确，不符合题意；
B．如果∠BAC＝90°，则PA＝PB＝PC，那么∠B＝∠BAP，不能得出∠B＝∠CAP，B不正确，不符合题意；
C．如果AC＝PC，不能得出∠BAC＝90°，C不正确，不符合题意；
D．如果∠B＝∠BAP，
∴PA＝PB，
∵PB＝PC，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC＝2（∠BAP+∠PAC）＝180°，
∴，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【作业 4】（2025春 长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ．
【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7．
【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC
∴BM＝EM，NE＝NC，
∵BM+CN＝7，
∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【作业 5】（2026春 武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　5　 ．
【分析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，得∠ABP＝∠DBP，∠ACP＝∠ECP，根据平行线的性质得出∠ABP＝∠DPB，∠ACP＝∠EPC，从而有∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，则BD＝PD，PE＝CE，然后代入求值即可．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ACP＝∠ECP，∠ABP＝∠DBP，
∵PE∥AC，PD∥AB，
∴∠ACP＝∠EPC，∠ABP＝∠DPB，
∴∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，
∴BD＝PD，PE＝CE，
∵BC＝5，
∴△PDE的周长为DE+PE+PD＝DE+CE+BD＝BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．
【作业 6】（2024秋 宁江区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 　5　 ．
【分析】证明△ABE是等腰三角形得AE＝BE，证明△EDC和△BDC全等得DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，进而得AE＝BE＝DE+BD＝2，由此即可得出的长．
【解答】解：∵∠A＝∠ABE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，
∵BE⊥CD，
∴∠EDC＝∠BDC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
在△EDC和△BDC中，
，
∴△EDC≌△BDC（ASA），
∴DE＝BD，EC＝BC，
∵BD＝1，BC＝3，
∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，
∴AE＝BE＝DE+BD＝2，
∴AC＝AE+EC＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【作业 7】（2025秋 沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点．
【分析】（1）等边对等角，得到∠B＝∠C，平行线的性质，得到∠EDC＝∠B，进而得到∠EDC＝∠C，即可得证；
（2）根据三线合一和等角的余角相等，得到∠DAE＝∠ADE，进而得到AE＝DE，结合（1）中结论，得到AE＝CE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠EDC＝∠C（等量代换），
∴CE＝DE（等角对等边）；
（2）∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C+∠CAD＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
由（1）知：∠EDC＝∠C，CE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE（等角对等边），
∴AE＝CE，即E是AC的中点．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键．
【作业 8】（2024秋 常宁市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G．
（1）求证：△AFG是等腰三角形；
（2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据EG∥AD得∠G＝∠BAD，∠AFG＝∠CAD，再根据AD平分∠BAC得∠BAD＝∠CAD，由此得∠G＝∠AFG，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据∠BAC＝84°，AD平分∠BAC得∠BAD＝∠CAD∠BAC＝42°，进而得∠AFG＝∠CAD＝∠EFC＝42°，再根据CE＝EF得∠C＝∠EFC＝42°，然后在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵EG∥AD，
∴∠G＝∠BAD，∠AFG＝∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠G＝∠AFG，
∴△AFG是等腰三角形；
（2）解：∵∠BAC＝84°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝42°，
∵EG∥AD，
∴∠AFG＝∠CAD＝42°，
∴∠EFC＝∠AFG＝42°，
∵CE＝EF，
∴∠C＝∠EFC＝42°，
在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝180°﹣（84°+42°）＝54°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
【作业 9】（2024 濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形．
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质证明∠AOC＝∠DCO，由等腰三角形的判定即可求解．
【解答】证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵CD∥OB，
∴∠DCO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∴△DOC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是正确推理．
【作业 10】（2025秋 铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠EBD，再由DE∥BC，可得∠CBD＝∠EDB，从而得到∠EBD＝∠EDB，再根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理得∠ABC＝69°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC即可得出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝36°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣36°＝69°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝34.5°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键．
【作业 11】（2025秋 安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长；
（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论；
（2）利用（1）的结论即可得出结论；
（3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF与BE、CF间的关系即可．
【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义），
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC
∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边），
∴△BEO、△CFO是等腰三角形，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF；
（2）∵由（1）知，EF＝BE+CF，
又∵AB＝15，AC＝10，
∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25；
（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO，
∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边），
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
【作业 12】（2025秋 青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝　（16﹣t）cm ；BQ＝　2tcm （用t的代数式表示）；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？
【分析】（1）根据动点问题的速度乘以时间得到AP＝tcm，BQ＝2tcm，由此得到BP；
（2）当满足BP＝BQ时，解一元一次方程即可；
（3）分两种情况进行讨论，即CQ＝BQ或CQ＝CB，分别求出CQ的长，再求出t的值．
【解答】解：（1）由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm，2tcm；
（2）∵BQ＝2tcm，BP＝（16﹣t）cm，
∴16﹣t＝2t，
解得，
∴当时，△PQB是等腰三角形；
（3）依题意，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，即CQ＝BQ或CQ＝CB，
∵AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，
①当CQ＝BQ时，∠C＝∠CBQ，
∵∠C+∠A＝∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ，
∴，
∴t＝（12+10）÷2＝11（秒）；
②当CQ＝CB时，CQ+CB＝24cm，
∴t＝24÷2＝12（秒）；
综上，当点Q在边CA上运动，出发11或12秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题，分类讨论思想是解题的关键．
第1页（共1页）第10讲 等腰三角形 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一
· · 掌握等腰三角形的判定：等角对等边
· · 熟练运用角平分线+平行线模型证等腰
· · 能解决等腰三角形分类讨论和动点问题
知识梳理
☆ 1.等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形两底角相等
三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合
等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边高所在直线
顶角A，底角B=C=
概念辨析例题：AB=AC，∠A=80°，求∠B
解析：∠B=∠C==50°
☆ 2.等腰三角形的判定
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形
两边相等的三角形是等腰三角形
常与角平分线、平行线结合出等腰
分类讨论：哪边是腰、哪边是底
概念辨析例题：∠B=∠C，求证AB=AC
解析：等角对等边
☆ 3.角平分线+平行线模型
角平分线+平行线→等腰三角形
DB=DM,EC=EM
△ADE周长=AB+AC
这是高频考点模型
概念辨析例题：BM、CM平分∠B、∠C，DE∥BC过M，AB=8,AC=6，求△ADE周长
解析：DB=DM,EC=EM,周长=AB+AC=14
☆ 4.分类讨论思想
已知两边求周长：哪边是腰要讨论
网格中找等腰三角形：AB为底、AB为腰A为顶、AB为腰B为顶
动点等腰：顶角是哪个顶点要讨论
注意三角形三边关系检验
概念辨析例题：等腰三角形两边长3和7，求周长
解析：3+3<7不能构成三角形，只能7为腰，周长=7+7+3=17
知识总结表
核心概念 内容 注意事项
等边对等角 AB=AC则∠B=∠C 同一三角形内
三线合一 顶角平分线=底边中线=底边高 仅等腰三角形
等角对等边 ∠B=∠C则AB=AC 判定定理
角分线+平行线 必出等腰 DB=DM
分类讨论 腰底未定要讨论 检验三边关系
36度等腰 黄金三角形 底角72°
动点等腰 分三种顶角 注意范围
核心考点
【考点1】等腰三角形的判定（第1-13题）
· · 网格找等腰分三类：AB为底、A为顶、B为顶
· · 整数边长等腰用三边关系
· · 角平分线+平行线出等腰
· · 全等证明后再用等角对等边
1．（2026春 中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
2．（2025秋 承德县期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，在直线OA或直线OB上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．（2025秋 石狮市校级月考）周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2026春 小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2024秋 长治期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 ________ 处剪断．（可多选，填写序号）
6．（2025春 闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 _____ 个等腰三角形．
7．（2026春 虹口区校级月考）如图将一张纸条等分成14份．若第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在________ 处剪断．（填所有符合条件的序号）
8．（2024秋 东莞市校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____ 个．
9．（2025春 渠县校级期中）如图，已知△ABC，G是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于D点，过D作BC的平行线，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝EB﹣FC．
10．（2025秋 江城区期末）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：△GEC是等腰三角形．
11．（2025秋 工业园区校级月考）如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB；找出图形中的等腰三角形，并加以证明．
12．（2025春 杨浦区校级月考）如图，直线a、b交于点O，A为直线a上一定点，B为直线b上一动点，∠1＝α．若以点O、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：
（1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有 _____ 个；
（2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有 _____ 个．
13．（2023秋 富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形．
【考点2】等腰三角形的判定与性质（第14-30题）
· · 角平分线+平行线模型：DB=DM
· · △ADE周长=AB+AC
· · 外角平分线+平行线：EF=BE-CF
· · 翻折构造等腰三角形
14．（2026春 蓬江区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．1.8
15．（2024秋 遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
16．（2026春 南岸区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若∠B＝72°，AB＝a，BC＝b，则△CDE的周长为（　　）
A．a+b B．2a﹣b C．2b﹣a D．3a﹣2b
17．（2024秋 重庆同步）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则 AC＝（　　）
A．5 B．7 C．10 D．12
18．（2026 海口开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（　　）
A．16 B．14 C．18 D．20
19．（2026春 兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为_____ ．
20．（2026春 普陀区期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC＝2AE，DE＝6，那么AC＝_____ ．
21．（2025秋 鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 _____ cm．
22．（2025秋 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝6，AC＝4，BC＝8，则△AEF的周长是_______ ．
23．（2023秋 翠屏区期末）如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB＝∠DBA，若AC＝14，△CDB的周长为20，则DB的长为 _____ ．
24．（2025 越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是_______ ．
25．（2024秋 肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
26．（2026 龙州县一模）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数．
27．（2025春 新余期末）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C．
28．（2025春 闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE．
求证：
（1）△ACE是等腰三角形．
（2）∠CAE＝∠CDE．
29．（2025春 闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM＝ _________ ．
∵DE∥BC，
∴∠CBM＝∠BMD（ ________________ ）．
∴∠BMD＝ _________ ．
∴DB＝DM（ __________ ）．
同理可得EC＝ _______ ．
∴△ADE周长＝AD+DE+AE，
＝AD+DM+ME+AE，
＝AD+DB+EC+AE，
＝AB+AC＝ _______ ．
30．（2024春 秦都区校级月考）如图，直线BN平行于△ABC的边AC，延长AC到点M，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，过点D作DE∥BN交BC于点E，连接AE．若AB＝AC，求证：AE⊥BC．
【考点3】新定义及压轴题（第31-36题）
· · 外角平分线+平行线→等腰
· · ∠B=2∠C模型：延长CB构造等腰
· · 分类讨论等腰三角形
· · 勾股定理+等腰综合
31．（2025春 河源校级月考）如图，已知AF是△ABC的外角∠DAC的平分线，AF∥BC，CG是△ABC的外角∠ACE的平分线，AF与CG相交于点G．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
32．（2026春 勉县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）连接CF，若∠D＝30°，∠CFE＝60°，DF＝8，求EF的长．
33．（2025秋 南昌期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证△AEG为等腰三角形；
（2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长．
34．（2024秋 丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长．
35．（2025春 邛崃市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F．
（1）证明：AD＝BD；
（2）若∠CAD＝12°，求∠BAC的度数；
（3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数．
36．（2026春 射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值．
随堂检测
【练习 1】（2025秋 澧县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为_____ ．
【练习 2】（2024春 威宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠D＝15°，AD＝10，AB＝6，连接AC，则S△ABC的值为 _____ ．
【练习 3】（2025秋 南京校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°．求证：
（1）ED∥BC；
（2）ED＝EB．
课后巩固
复习建议
· · 等边对等角、三线合一
· · 等角对等边是判定定理
· · 角平分线+平行线必出等腰
· · 周长=AB+AC模型要记牢
· · 等腰问题分类讨论+三边关系检验
【作业 1】（2026春 西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E是边BC上一点，且AE＝BE，若，BE＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【作业 2】（2026春 市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．10 B．11 C．12 D．13
【作业 3】（2025秋 闵行区校级期末）如图，在△ABC中，AP是边BC的中线，下列说法正确的是（　　）
A．如果∠BAC＝90°，那么AC＝PC
B．如果∠BAC＝90°，那么∠B＝∠CAP
C．如果AC＝PC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠B＝∠BAP，那么∠BAC＝90°
【作业 4】（2025春 长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为_____ ．
【作业 5】（2026春 武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____ ．
【作业 6】（2024秋 宁江区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 _____ ．
【作业 7】（2025秋 沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点．
【作业 8】（2024秋 常宁市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G．
（1）求证：△AFG是等腰三角形；
（2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，求∠B的度数．
【作业 9】（2024 濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形．
【作业 10】（2025秋 铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数．
【作业 11】（2025秋 安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？
（2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长；
（3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．
【作业 12】（2025秋 青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝_____________ ；BQ＝__________ （用t的代数式表示）；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？
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