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第3讲 二次函数一般式(2) 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· · 掌握二次函数图象的平移规律（左加右减、上加下减）
· · 会求抛物线绕顶点或原点旋转180°、沿坐标轴翻折后的解析式
· · 会求二次函数在给定区间上的最值
· · 熟练用待定系数法选择合适形式求解析式
· · 能综合平移、最值解决动点与新定义问题
知识梳理
☆ 1.二次函数图象的平移
平移不改变形状和开口，即a不变，只改顶点(h,k)
左右平移改h：左加右减；上下平移改k：上加下减
先化顶点式y=a(x-h)2+k，再平移最方便
平移后顶点坐标变化可用两点距离公式求平移距离
概念辨析例题：y=(x-1)2+4先左移2个单位再下移1个单位，求解析式
解析：左移2：y=(x+1)2+4；下移1：y=(x+1)2+3
☆ 2.图象的旋转与翻折
绕顶点旋转180°：顶点不变，a变为-a
绕原点旋转180°：顶点(h,k)变为(-h,-k)，a变为-a
沿x轴翻折：a变为-a，顶点(h,k)变为(h,-k)
沿y轴翻折：a不变，顶点(h,k)变为(-h,k)
概念辨析例题：y=-2(x-1)2+4绕原点旋转180°，求解析式
解析：顶点(1,4)变(-1,-4)，a由-2变2
☆ 3.二次函数的最值
a>0顶点取最小值，a<0顶点取最大值
对称轴在区间内时，顶点处取一个最值，端点处取另一个
对称轴不在区间内时，最值在离对称轴较远的端点取到
动区间求最值要按对称轴与区间位置分类讨论
概念辨析例题：y=-x2+4x+9在t≤x≤t+3上最大值为4，求t
解析：顶点(2,13)为最大，区间不含顶点时分别在端点取4，解得
☆ 4.待定系数法求解析式
已知三点设一般式y=ax2+bx+c
已知顶点(h,k)设顶点式y=a(x-h)2+k
已知与x轴两交点x1,x2设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
形状相同即|a|相同，开口方向相同a同号，相反a异号
概念辨析例题：顶点(2,-1)且过(0,3)，求解析式
解析：设y=a(x-2)2-1，代入(0,3)得4a-1=3，a=1
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
平移规律 左加右减，上加下减 平移前后a不变
绕顶点旋转180° 顶点不变，a变-a 只改变开口方向
绕原点旋转180° (h,k)→(-h,-k)，a变-a 中心对称
顶点最值 a>0最小，a<0最大 在顶点(h,k)处取到
区间最值 看对称轴是否在区间内 动区间需分类讨论
三种设法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件选用
形状相同 |a|相等 开口方向定符号
核心考点
【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-12题）
· · 平移只改顶点不改a
· · 左加右减改h，上加下减改k
· · 绕顶点旋转180°只变a符号
· · 绕原点旋转顶点与a都变号
1．（2026 徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5
2．（2026 崇川区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1）
3．（2025秋 重庆校级月考）抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．抛物线关于直线x＝3对称
C．抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣7）
D．抛物线与y轴交于点（0，﹣7）
4．（2026 亭湖区三模）将二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位长度，则平移后的函数表达式为____________ ．
5．（2025 南京模拟）将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 ________________ ．
6．（2026 长春校级模拟）将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为_____ ．
7．（2025秋 环翠区校级期中）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣13的值是_______ ．
8．（2023秋 西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 ________________ ．
9．（2026 松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是__________________ ．
10．（2026 中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过平面内的点（2，0）和点（0，6），结合抛物线的相关性质解决以下问题：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当自变量x满足﹣2≤x≤4时，结合抛物线的最值特征求函数值y的取值范围；
（3）将此抛物线沿x轴平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线，当自变量x满足2≤x≤6时，新抛物线的函数值y的最小值为6，求出m的值．
11．（2025秋 内黄县月考）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）该二次函数的顶点坐标是___________ ，并求该二次函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，直接写出n的值．
12．（2026 天长市二模）已知抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t（其中t为常数）．
（1）求a的值和C1的顶点坐标．
（2）已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为___________ ；
（3）当t＝3时，平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为P（m，n），点O为坐标原点．当0＜m＜1时，求△POA面积的最大值．
【考点2】二次函数的最值（第13-20题）
· · 先配方找顶点和对称轴
· · 对称轴在区间内顶点取最值
· · 对称轴在区间外端点取最值
· · 动区间按对称轴位置分类
13．（2025秋 黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值；
（3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围．
14．（2021秋 德城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发．
（1）求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围；
（2）P在AB何处时，△PBQ的面积最大？
15．（2025秋 东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　）
A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7
16．（2025秋 龙岩期末）若实数m，n满足m+n2＝3，则m2+10n2的最小值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
17．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数，且a≠0）在﹣3≤x≤1的范围内有最大值16，则a的值为__________ ．
18．（2026 阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为_____ ．
19．（2025秋 上虞区期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）．
（1）填空：b＝_______ ，c＝_____ ．
（2）当0≤x≤2时，求函数的最小值．
（3）当﹣4≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差．
20．（2026 温州模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过点A（﹣1，8）和点B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）点C在该二次函数的图象上，它的横坐标为t．记t≤x≤t+5时，二次函数的最大值与最小值之差为Δy．
①若点C与B重合，求Δy的值．
②若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求Δy的最小值．
【考点3】待定系数法求解析式（第21-34题）
· · 三点设一般式
· · 顶点设顶点式
· · 两交点设交点式
· · 形状相同|a|相同
21．（2026春 拱墅区校级月考）已知二次函数的图象经过点A（0，0），B（2，0），C（1，﹣3）．求该二次函数的表达式．
22．（2023秋 宁南县校级月考）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且图象过点（0，3），则该二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣x2+4x﹣5 B．
C．y＝x2﹣4x+3 D．
23．（2025秋 栖霞市期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+3x+10
C．y＝x2﹣6x+10 D．y＝x2﹣3x+10
24．（2026 寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　）
A． B． C． D．
25．（2025秋 江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3
C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3
26．（2025秋 西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
27．（2026 恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为____________________ ．
28．（2025春 同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则这个二次函数的解析式为 ____________________ ．
29．（2026 紫金县校级二模）已知二次函数满足条件：
①图象过原点；
②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大．
请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：____________________ ．
30．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 ________________ ．
31．三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征：
小明：函数图象的顶点在x轴上；
小智：函数图象的对称轴是直线x＝2；
小文：函数有最大值．
请你写出一个符合上述条件的二次函数解析式：____________________ ．
32．（2025秋 禹州市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣5 0 3 4 3 …
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值与最小值的差为9，请直接写出n的取值范围．
33．（2026 池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t）
（1）求的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：．
34．（2026春 鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
四．创新及压轴题（共5小题）
35．（2026 建邺区二模）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）．
（1）求该函数图象的顶点坐标；
（2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值．
36．（2026 市中区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：A（2，6），B（﹣1，﹣3），C（0，0）等都是“三倍点”．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣2t．
①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；
②点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上，其中t﹣1＜x1＜t+2，x2＝2t，若y1的最小值是﹣4，求y2的值；
（2）若二次函数y＝x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2的图象上不存在“三倍点”，令w＝t2﹣2t+2，求w的取值范围．
37．（2025秋 天长市校级期中）当1≤x≤5时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的x的值．
38．（2026 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 m 3 …
（1）求二次函数的表达式和m的值．
（2）点A（n，y1），B（n+3，y2）都在二次函数图象上，且0＜n＜2，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
（3）当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是，求t的值．
39．（2026 漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）．
（1）求a与b之间关系；
（2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：．
课后巩固
复习建议
· · 平移口诀「左加右减、上加下减」，平移前后a不变
· · 旋转翻折不看整体，只盯顶点坐标和a的符号变化
· · 求区间最值先看对称轴在不在区间内，不在就按增减性在端点取
· · 动轴或动区间问题，一律按对称轴与区间相对位置分类讨论
· · 求解析式先选形式：三点一般式、顶点顶点式、交点交点式
【作业 1】（2025秋 大连期末）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【作业 2】（2025秋 廊坊期中）如图，已知抛物线y＝x2﹣1，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折构成的图形记作C2，将C1和C2构成的图形记作C3，关于图形C3，给出的下列四个结论，不正确的是（　　）
A．图形C3是轴对称图形
B．图形C3恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．当时，
D．图形C3所围成区域的面积大于2且小于π
【作业 3】（2024秋 献县月考）一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为（1，2），则其解析式可能为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+2
B．
C．
D．或
【作业 4】（2023秋 高碑店市期末）若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　）
A．0 B． C． D．2
【作业 5】（2026 合肥校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+a2+1（a≠0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜2时，有y1＜y2；当﹣1≤x1≤3时，y1最小值是8．则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7
【作业 6】（2025秋 红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5
C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5
【作业 7】（2025秋 长宁区期末）若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为_______ ．
【作业 8】（2026春 池州月考）已知二次函数y＝x2+x+3，将点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+x+3的图象上．
（1）m＝_____ ；
（2）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围是____________________ ．
【作业 9】（2026 广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为_______ ．
【作业 10】（2025秋 宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 ____________________ ．
【作业 11】（2025春 同步）一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 ________________ ．
【作业 12】（2026 民权县一模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象的顶点坐标为（1，﹣2）．
（1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
（2）若点（m，b）在抛物线上，且满足b＜3，求m的取值范围．
（3）当n≤x≤n+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值．
【作业 13】（2026 东港区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若点A（m，y1）在抛物线y＝ax2﹣2ax上，点B（m，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣x+6上．
①若y1+y2的最小值为，求整数a的值；
②若的值与m无关，求a的值以及抛物线y＝ax2﹣2ax的解析式．
【作业 14】（2024 秦都区校级一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值．
第1页（共1页）第3讲 二次函数一般式(2) 优等生讲义
（精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· · 掌握二次函数图象的平移规律（左加右减、上加下减）
· · 会求抛物线绕顶点或原点旋转180°、沿坐标轴翻折后的解析式
· · 会求二次函数在给定区间上的最值
· · 熟练用待定系数法选择合适形式求解析式
· · 能综合平移、最值解决动点与新定义问题
知识梳理
☆ 1.二次函数图象的平移
平移不改变形状和开口，即a不变，只改顶点(h,k)
左右平移改h：左加右减；上下平移改k：上加下减
先化顶点式y=a(x-h)2+k，再平移最方便
平移后顶点坐标变化可用两点距离公式求平移距离
概念辨析例题：y=(x-1)2+4先左移2个单位再下移1个单位，求解析式
解析：左移2：y=(x+1)2+4；下移1：y=(x+1)2+3
☆ 2.图象的旋转与翻折
绕顶点旋转180°：顶点不变，a变为-a
绕原点旋转180°：顶点(h,k)变为(-h,-k)，a变为-a
沿x轴翻折：a变为-a，顶点(h,k)变为(h,-k)
沿y轴翻折：a不变，顶点(h,k)变为(-h,k)
概念辨析例题：y=-2(x-1)2+4绕原点旋转180°，求解析式
解析：顶点(1,4)变(-1,-4)，a由-2变2
☆ 3.二次函数的最值
a>0顶点取最小值，a<0顶点取最大值
对称轴在区间内时，顶点处取一个最值，端点处取另一个
对称轴不在区间内时，最值在离对称轴较远的端点取到
动区间求最值要按对称轴与区间位置分类讨论
概念辨析例题：y=-x2+4x+9在t≤x≤t+3上最大值为4，求t
解析：顶点(2,13)为最大，区间不含顶点时分别在端点取4，解得
☆ 4.待定系数法求解析式
已知三点设一般式y=ax2+bx+c
已知顶点(h,k)设顶点式y=a(x-h)2+k
已知与x轴两交点x1,x2设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
形状相同即|a|相同，开口方向相同a同号，相反a异号
概念辨析例题：顶点(2,-1)且过(0,3)，求解析式
解析：设y=a(x-2)2-1，代入(0,3)得4a-1=3，a=1
知识总结表
核心概念 公式/结论 注意事项
平移规律 左加右减，上加下减 平移前后a不变
绕顶点旋转180° 顶点不变，a变-a 只改变开口方向
绕原点旋转180° (h,k)→(-h,-k)，a变-a 中心对称
顶点最值 a>0最小，a<0最大 在顶点(h,k)处取到
区间最值 看对称轴是否在区间内 动区间需分类讨论
三种设法 一般式/顶点式/交点式 按已知条件选用
形状相同 |a|相等 开口方向定符号
核心考点
【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-12题）
· · 平移只改顶点不改a
· · 左加右减改h，上加下减改k
· · 绕顶点旋转180°只变a符号
· · 绕原点旋转顶点与a都变号
1．（2026 徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4，
再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
2．（2026 崇川区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1）
【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可．
【解答】解：将原抛物线配方为顶点式可得y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
由二次函数图象的平移法则可知抛物线向左平移3个单位，顶点横坐标减3，纵坐标不变，
∴新抛物线顶点横坐标为﹣1﹣3＝﹣4，纵坐标仍为﹣2，
即新抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025秋 重庆校级月考）抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．抛物线关于直线x＝3对称
C．抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣7）
D．抛物线与y轴交于点（0，﹣7）
【分析】根据二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，据此相关性质进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：由抛物线解析式可知图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣7），
故A，B选项不符合题意，C选项符合题意；
当x＝0时，，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣11.5），
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的顶点式的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2026 亭湖区三模）将二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位长度，则平移后的函数表达式为y＝2x2﹣2　 ．
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【解答】解：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可知：
平移后的函数表达式为y＝2x2+1﹣3＝2x2﹣2．
故答案为：y＝2x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．
5．（2025 南京模拟）将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 y＝2（x+1）2﹣4　 ．
【分析】先利用顶点式得到抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，4），再根据旋转的性质得到旋转后的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为2，由此根据顶点式可写出旋转后的抛物线解析式．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象顶点坐标为（1，4），
因为二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），
所以旋转后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（2026 长春校级模拟）将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　5　 ．
【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，0），
∵平移后抛物线y＝（x﹣6）2+4的顶点坐标为：（6，4），
∴抛物线顶点平移的最短距离：．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
7．（2025秋 环翠区校级期中）将抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣13的值是　﹣5　 ．
【分析】将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于a、b的方程，再变形目标代数式求值．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2向上平移3个单位长度后，解析式为y＝ax2+bx+1．
由条件可得5＝a×（﹣2）2+b×（﹣2）+1，
5＝4a﹣2b+1，
4a﹣2b＝4，
2a﹣b＝2，
则8a﹣4b﹣13＝4（2a﹣b）﹣13，代入2a﹣b＝2得：
4×2﹣13＝8﹣13＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2023秋 西湖区校级月考）将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后的函数表达式是 y＝﹣（x﹣2）2+1　 ．
【分析】将函数图象其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此可得出所求的结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（2，1），
将二次函数y＝x2﹣4x+5绕顶点旋转180°后，得y＝﹣（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
9．（2026 松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　　 ．
【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是即为抛物线y＝3x2的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可．
【解答】解：∵平移不改变抛物线的特征值，
∴y＝3x2﹣2x+1的特征值即为y＝3x2的特征值，如图：
∴此时y＝3x2的对称轴为y轴，
∵AB＝4CD，AB⊥y轴
∴AB＝2BC＝4CD，即BC＝2CD
设BC＝m，
∴，
∴，
∴，
∴或m＝0（舍去）
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10．（2026 中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过平面内的点（2，0）和点（0，6），结合抛物线的相关性质解决以下问题：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当自变量x满足﹣2≤x≤4时，结合抛物线的最值特征求函数值y的取值范围；
（3）将此抛物线沿x轴平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线，当自变量x满足2≤x≤6时，新抛物线的函数值y的最小值为6，求出m的值．
【分析】（1）把已知点的坐标分别代入解析式，求解方程组解答即可；
（2）根据题意，得抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大，根据增减性求解即可；
（3）设此抛物线沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，分对称轴在范围的左边和右边求解；设此抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，分对称轴在范围的左边和右边求解．
【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∴抛物线为y＝x2﹣5x+6；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，函数有最小值为，
由题意得，抛物线开口向上，
∴抛物线上的点对称轴距离越大函数值越大，
∵﹣2≤x≤4，且包含在这个范围内，
∴该范围内函数的最小值为；
∵，
∴x＝﹣2时，取得最大值，且，
∴y的取值范围是．
（3）设此抛物线沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵2≤x≤6，新抛物线的函数值y的最小值为6，不是，
∴对称轴为直线不包含在这个范围内，
∵当2≤x≤6在对称轴的左侧时，即时，y随x的增大而减小，此时，
∴x＝6时，函数取得最小值6，
∴，
∴m＝6或m＝1，
∵m＝1不满足，舍去，
∴此时m＝6符合；
当2≤x≤6在对称轴的右侧时，即时，y随x的增大而增大，此时，
∴x＝2时，函数取得最小值6，
∴，
∴，
∴m＝2或m＝﹣3，
∵m＝2不满足，m＝﹣3不满足m＞0，‘
∴都舍去；
综上，m＝6符合题意；
设此抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵2≤x≤6，新抛物线的函数值y的最小值为6，不是，
∴对称轴为直线不包含在这个范围内，
当2≤x≤6在对称轴的左侧时，即时，y随x的增大而减小，
此时，
故x＝6时，函数取得最小值6，
∴，
∴m＝﹣6或m＝﹣1，都不满足m＞0，都舍去；
当2≤x≤6在对称轴的右侧时，即时，y随x的增大而增大，
此时，
∴x＝2时，函数取得最小值6，
∴，
∴m＝3或m＝﹣2，
∵m＝﹣2不满足，舍去；
∴m＝3符合题意；
综上所述，m的值为6或3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
11．（2025秋 内黄县月考）在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）该二次函数的顶点坐标是　（1，﹣4）　 ，并求该二次函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，直接写出n的值．
【分析】（1）先通过观察表中数据求得顶点坐标，再利用顶点式求解即可；
（2）将表中数据通过描点，连线画函数图象；
（3）先利用平移规律求出平移后的抛物线解析式，再分，两种情况讨论，分别求出n的值．
【解答】解：（1）∵当x＝0与x＝2时，函数值都是﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当x＝1时，y＝﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
又当x＝﹣1时，y＝0，
∴（﹣1﹣1）2a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图，
（3）y＝（x﹣1）2﹣4的图象向右平移个单位长度后得到的一个新图象的解析式为，即，
其顶点是，开口向上，最小值是﹣4（在顶点处），
∵在新图象上，当n﹣2≤x≤n+1时，函数的最小值为﹣3，
∴不在n﹣2≤x≤n+1范围内，
令，
解得：，，
即当或时，的最小值为﹣3，
当时，
∴，
此时n﹣2≤x≤n+1在对称轴的左边，
y随x的增大反而减小，
当x＝n+1时，y取到最小值﹣3，
∴，
解得：，（舍去），
当时，
∴，
此时n﹣2≤x≤n+1在对称轴的右边，
y随x的增大而增大，
当x＝n﹣2时，y取到最小值﹣3，
∴，
解得：（舍去），，
综上，或．
【点评】本题考查了y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质，把y＝ax2+bx+c化成顶点式，y＝ax2+bx+c的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
12．（2026 天长市二模）已知抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t（其中t为常数）．
（1）求a的值和C1的顶点坐标．
（2）已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为　（1，﹣1）　 ；
（3）当t＝3时，平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为P（m，n），点O为坐标原点．当0＜m＜1时，求△POA面积的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得a＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）x＝1时，y2＝﹣（1﹣t）2+t2﹣2t＝﹣1，则抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t经过定点（1，﹣1），而C1的顶点坐标为（1，﹣1），即可得到定点为（1，﹣1）；
（3）当t＝3时，抛物线C2：y2＝﹣（x﹣3）2+3，把P（m，n）代入得n＝﹣m2+6m﹣6，则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m2+6m﹣6＝x2﹣2mx+6m﹣6，令x＝0，求得y的值即可求得A的坐标，然后利用三角形面积公式得到△POA面积S3m2+3m＝﹣3（m）2，根据二次函数的性质即可求得△POA面积的最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线C1：y1＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴C1的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵x＝1时，y2＝﹣（1﹣t）2+t2﹣2t＝﹣1，
∴抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t经过定点（1，﹣1），
由（1）可知C1的顶点坐标为（1，﹣1），
∴无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）；
（3）当t＝3时，则抛物线C2：y2＝﹣（x﹣3）2+3，
∵平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上，顶点为P（m，n），
∴n＝﹣（m﹣3）2+3＝﹣m2+6m﹣6，
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m2+6m﹣6＝x2﹣2mx+6m﹣6，
令x＝0，则y＝6m﹣6，
∴A（0，6m﹣6），
∵0＜m＜1，
∴OA＝﹣6m+6，
∴△POA面积S3m2+3m＝﹣3（m）2．
∴当m时，S有最大值，为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得A点的坐标是解题的关键．
【考点2】二次函数的最值（第13-20题）
· · 先配方找顶点和对称轴
· · 对称轴在区间内顶点取最值
· · 对称轴在区间外端点取最值
· · 动区间按对称轴位置分类
13．（2025秋 黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值；
（3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法与二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质得到当x＝5时，函数最大值为9，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用二次函数的性质得到a＜0，且t﹣1≠2，则t≠3，再利用二次函数的性质列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1），
∴16a+4b﹣1＝﹣1，
∴b＝﹣4a，
∴x2．
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）∵对称轴为直线x＝2，a＞0，
∴抛物线的开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵当3≤x≤5时，函数最大值为9，
∴当x＝5时，函数最大值为9，
由（1）知：b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1，
∴25a﹣20a﹣1＝9，
∴a＝2．
（3）∵y＝ax2+bx﹣1，
∴当x＝2时，y＝b﹣1，
即二次函数的极值为b﹣1，
∵n＜m＜b﹣1，
∴二次函数有最大值，
∴a＜0，且t﹣1≠2，
∴t≠3．
∵n＜m，
∴|t﹣1﹣2|＜|3﹣t﹣2|，
解得：t＞2
综上，t的取值范围为t＞2且t≠3．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．（2021秋 德城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发．
（1）求△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系式，并求出t的取值范围；
（2）P在AB何处时，△PBQ的面积最大？
【分析】（1）首先由路程、速度、时间的关系可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝12﹣2t；再由直角三角形的面积公式S△PBQBP BQ，即可得出S与t的函数关系式，注意t的取值范围；
（2）根据二次函数的性质易求得S△PBQ的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得AP＝2t，BP＝12﹣2t，BQ＝4t，其中0＜2t＜12，
所以S＝（）×4t×（12﹣2t），
整理，得：S＝﹣4t2+24t（0＜t＜6）．
（2）∵S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，
∴当t＝3时，S取得最大值，为36．
故S与t的函数解析式为S＝﹣4t2+24t（0＜t＜6）．
当t为3s时，△PBQ的面积最大，为36mm2．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化．
15．（2025秋 东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　）
A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7
【分析】二次函数开口向下，顶点为（2，13），最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴为直线x＝2不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件．
【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，
∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点，
①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大，
∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4，
∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4，
解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1），
∴t＝﹣4；
②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小，
∴当t＞2时，即函数有最大值4，
∴﹣t2+4t+9＝4，
解得t＝5或t＝﹣1（舍去），
∴t＝5，
综上，t的值为﹣4或5，
故选A．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键．
16．（2025秋 龙岩期末）若实数m，n满足m+n2＝3，则m2+10n2的最小值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【分析】根据m+n2＝3得到n2＝3﹣m≥0，m≤3，令y＝m2+10n2，得到y＝（m﹣5）2+5，根据二次函数的性质作答即可．
【解答】解：由题意可得：n2＝3﹣m≥0，
∴m≤3，
令y＝m2+10n2，
则y＝m2+10（3﹣m）＝（m﹣5）2+5，
根据二次函数的性质可得；
对称轴为直线m＝5，
∵a＝1＞0，m≤3，
∴当m＝3时，y最小值＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
17．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数，且a≠0）在﹣3≤x≤1的范围内有最大值16，则a的值为　2或﹣16　 ．
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，x＝1时，函数有最大值8a＝16；当a＜0时，x＝﹣2时，函数有最大值﹣a＝16；分别求出a的值即可．
【解答】解：∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，x＝1时，函数有最大值8a＝16，
解得a＝2；
当a＜0时，x＝﹣2时，函数有最大值﹣a＝16，
解得a＝﹣16；
综上所述：a的值为2或﹣16；
故答案为：2或﹣16．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
18．（2026 阳谷县校级模拟）若二次函数y＝﹣x2﹣2x+c有最大值7，则c的值为　6　 ．
【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值7，列出关于c的方程，求解即可得到c的值．
【解答】解：将二次函数解析式配方为顶点式可得y＝﹣（x2+2x）+c＝﹣（x+1）2+1+c，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数的最大值为1+c，
∴1+c＝7，
解得c＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键．
19．（2025秋 上虞区期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）．
（1）填空：b＝　﹣2　 ，c＝　3　 ．
（2）当0≤x≤2时，求函数的最小值．
（3）当﹣4≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差．
【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（2，﹣5）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，利用二次函数的增减性可知x＝2时，y取得最小值y＝﹣22﹣2×2+3＝﹣5；
（3）根据二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当﹣4≤x≤3时，仅当x＝﹣1时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差．
【解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（2，﹣5）．
∴c＝3，y＝﹣x2+bx+3，
将点（2，﹣5）代入可得：﹣5＝﹣22+2b+3，解得：b＝﹣2，
∴b＝﹣2，c＝3；
故答案为：b＝﹣2，c＝3；
（2）由（1）知函数为y＝﹣x2﹣2x+3，即y＝﹣（x+1）2+4，
∴在对称轴直线x＝﹣1的右侧，y随x的增大而减小，
∴在0≤x≤2范围内，当x＝2时，函数取到最小值．
∴当x＝2时，函数的最小值为y＝﹣22﹣2×2+3＝﹣5；
（3）∵y＝﹣（x+1）2+4，a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，函数的最大值为4，
当x＝3时，函数的最小值为﹣12，
∴当﹣4≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差为16．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的特点是解本题的关键，难度适中．
20．（2026 温州模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过点A（﹣1，8）和点B（0，3）．
（1）求b，c的值．
（2）点C在该二次函数的图象上，它的横坐标为t．记t≤x≤t+5时，二次函数的最大值与最小值之差为Δy．
①若点C与B重合，求Δy的值．
②若点C在点A，B之间运动（含点A，B），求Δy的最小值．
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）的结论可得y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点为（2，﹣1）；①由点C与B重合可得t＝0，即0≤x≤5，然后在0≤x≤5上求得最大值和最小值，然后作差即可；②先说明对称轴x＝2始终在t≤x≤t+5范围内，以求得有最小值y＝﹣1；再求出当2﹣t＝t+3时，y的最大值为，即；再分别求得t＝﹣1、t＝0的时Δy的值，然后比较即可解答．
【解答】解：（1）由条件可知，
解得：．
（2）由（1）可得：b＝﹣4，c＝3，即y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点为（2，﹣1）．
①当点 C 与B（0，3）重合，即t＝0，
∴0≤x≤5，
∴当x＝2时，有最小值y＝﹣1；
∵|0﹣2|＝2＜3＝|5﹣2|，
当x＝5时，最大值为y＝52﹣4×5+3＝8．
∴Δy＝8﹣（﹣1）＝9；
②∵点C在点A，B之间运动（含点A，B），
∴﹣1≤t≤0，
∴t＜2且t+5≥4，
∴对称轴x＝2始终在t≤x≤t+5范围内，
∴当x＝2时，有最小值y＝﹣1；
∵x＝t 到x＝2的距离2﹣t，点 x＝t+5 到x＝2的距离t+5﹣2＝t+3，
当2﹣t＝t+3时，即时，y的最大值为y，
∴；
当t＝﹣1，即﹣1≤x≤4时，
∵|2﹣（﹣1）|＝3，4﹣2＝2，3＞2，
∴当x＝﹣1时，有最大值y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8；
∴Δy＝8﹣（﹣1）＝9；
当t＝0时，由①可得Δy＝8﹣（﹣1）＝9．
综上，Δy的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．
【考点3】待定系数法求解析式（第21-34题）
· · 三点设一般式
· · 顶点设顶点式
· · 两交点设交点式
· · 形状相同|a|相同
21．（2026春 拱墅区校级月考）已知二次函数的图象经过点A（0，0），B（2，0），C（1，﹣3）．求该二次函数的表达式．
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax（x﹣2），
∵图象经过点C（1，﹣3），
∴﹣a＝﹣3，
∴a＝3，
∴y＝3x（x﹣2），
所以，二次函数解析式为y＝3x2﹣6x．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．．
22．（2023秋 宁南县校级月考）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且图象过点（0，3），则该二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣x2+4x﹣5 B．
C．y＝x2﹣4x+3 D．
【分析】由二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），设二次函数顶点式y＝a（x﹣2）2﹣1，将（0，3）代入，再解方程即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴设二次函数顶点式y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵图象过点（0，3），
∴3＝4a﹣1，解得a＝1，
∴该二次函数的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
故选：C．
【点评】本题考查求二次函数解析式，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
23．（2025秋 栖霞市期中）已知一条抛物线经过A（0，10），B（m+2，n），C（4﹣m，n），D（3，1）四点，则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+6x+10 B．y＝x2+3x+10
C．y＝x2﹣6x+10 D．y＝x2﹣3x+10
【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵B（m+2，n），C（4﹣m，n），
∴抛物线的对称轴为直线x3，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1，
即y＝x2﹣6x+10，
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
24．（2026 寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先确定二次函数可能经过A、B、C或者B、D、C或者A、D、C，画出图象后，只有经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当x＝1时的函数值即可．
【解答】解：∵A、B、D的纵坐标相同，
∴二次函数不会同时经过A、B、D三点，
∴分三种情况讨论：①经过A、B、C；②经过B、D、C；③经过A、D、C；
三种图象如图所示，
很明显，经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小，
将B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）代入y＝ax2+bx+c可得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为yx2+6x﹣18，
令x＝1得y，
故a+b+c的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
25．（2025秋 江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3
C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3
【分析】由开口和形状与y＝x2一致得二次项系数a＝1，然后由过点（1，0），（3，0）求解即可．
【解答】解：∵图象开口和形状与y＝x2一致，
∴a＝1．
又∵图象过（1，0），（3，0），
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
故选：A．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（2025秋 西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可．
【解答】解：根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负可得：
∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，正确进行计算是解题关键．
27．（2026 恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）　 ．
【分析】设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，利用待定系数法进行计算即可．
【解答】解：若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则：
设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由题意可得：
﹣3＝a（2﹣1）2﹣2，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3），
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．
28．（2025春 同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣4 2 4 2 …
则这个二次函数的解析式为 y　 ．
【分析】用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将（﹣3，﹣4），（﹣1，2），（1，4）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
所以这个二次函数的解析式为y．
故答案为：y．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
29．（2026 紫金县校级二模）已知二次函数满足条件：
①图象过原点；
②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大．
请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）　 ．
【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2，不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2，设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，进而求出c＝4，即可解答．
【解答】解：当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2．
不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2，
设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，由条件可得：
﹣（0﹣2）2+c＝0，
解得c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x．
满足上述条件的二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键．
30．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 y＝2（x+1）2﹣8　 ．
【分析】根据所给条件，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：因为二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
所以令二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+k，
将点（0，﹣6）和（2，10）代入函数表达式得，
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝2（x+1）2﹣8．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣8．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
31．三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征：
小明：函数图象的顶点在x轴上；
小智：函数图象的对称轴是直线x＝2；
小文：函数有最大值．
请你写出一个符合上述条件的二次函数解析式：y＝﹣（x﹣2）2（答案不唯一）　 ．
【分析】根据二次函数的性质得到二次函数图象的顶点坐标为（2，0），且二次项系数a＜0，然后a取一个负数，用顶点式表示出二次函数解析式即可．
【解答】解：∵二次函数图象的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝2，
∴二次函数图象的顶点坐标为（2，0），
∵二次函数有最大值，
∴二次项系数a＜0，
∴当a＝﹣1时，符合上述条件的二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2．
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
32．（2025秋 禹州市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣5 0 3 4 3 …
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值与最小值的差为9，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）从表格中选择两个坐标，用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点公式求得顶点坐标，通过（1）中函数解析式，利用描点法画出函数图象即可；
（3）分类讨论，n在对称轴左侧或n在对称轴右侧，结合图象，找出函数最大值与最小值，据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
解得
因此，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
对称轴，
令x＝1得，y＝﹣1+2+3＝4
则顶点坐标为（1，4），
函数图象如下：
（3）由（2）可知，二次函数顶点坐标为（1，4），且开口向下，
由于﹣2≤x≤n时，二次函数y的最大值与最小值的差为9，
当﹣2≤n＜1时，y随x的增大而增大，
令x＝n时，函数最大值为y＝﹣n2+2n+3，
令x＝﹣2时，函数最小值为y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
则﹣n2+2n+3﹣（﹣5）＝9，
解得n＝1，
此时无解；
当n≥1时，最大值为4，
令x＝n时，y＝﹣n2+2n+3，
令x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
若﹣n2+2n+3≥﹣5，
解得﹣2≤n≤4，
此时，n的取值范围为1≤n≤4，
若﹣n2+2n+3＜﹣5，
解得n＜﹣2或n＞4，
此时，最小值为﹣n2+2n+3
则4﹣（﹣n2+2n+3）＝9
解得n＝4或n＝﹣2
此时无解，
综上所述，n的取值范围为1≤n≤4．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
33．（2026 池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t）
（1）求的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：．
【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最小值为a2﹣6列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝4，然后把代入通过分解因式和约分后即可证得结论．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为．
∵点A（1，t），B（3，t）在该函数的图象上，
∴，
∴．
（2）①由（1）可得b＝﹣4a，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴该函数的表达式为y＝ax2﹣4ax+3a，
当x＝2时，y＝﹣a，即函数图象的顶点坐标为（2，﹣a）．
∵函数的最小值为a2﹣6，
∴a＞0，且﹣a＝a2﹣6，
解得a1＝2，a2＝﹣3（舍去）．
∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+6．
②证明：∵点M（x1，m）在函数的图象上，
∴．
由①知，即x1＝4﹣x2．
∴．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是关键．
34．（2026春 鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0），
∴，
解得，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
四．创新及压轴题（共5小题）
35．（2026 建邺区二模）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）．
（1）求该函数图象的顶点坐标；
（2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值．
【分析】（1）先求出b的值，再据此求出顶点坐标即可；
（2）根据“左加右减”的平移法则求出平移后的函数解析式，再将点（2，m）代入计算即可．
【解答】解：（1）将点（1，﹣1）代入y＝x2+bx+2得，
1+b+2＝﹣1，
解得b＝﹣4，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
所以该函数图象的顶点坐标为（2，﹣2）；
（2）由题知，
将该函数的图象向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2﹣2，
将点（2，m）代入函数解析式得，
m＝7，
所以m的值为7．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
36．（2026 市中区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：A（2，6），B（﹣1，﹣3），C（0，0）等都是“三倍点”．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣2t．
①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；
②点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上，其中t﹣1＜x1＜t+2，x2＝2t，若y1的最小值是﹣4，求y2的值；
（2）若二次函数y＝x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2的图象上不存在“三倍点”，令w＝t2﹣2t+2，求w的取值范围．
【分析】（1）①依据题意得，y＝x2﹣2tx+t2﹣2t＝（x﹣t）2﹣2t，则顶点为（t，﹣2t），又向左平移5个单位，从而平移后顶点为（t﹣5，﹣2t），结合此顶点是三倍点，
从而﹣2t＝3（t﹣5），则t＝3，可得y＝x2﹣6x+9﹣6，即y＝x2﹣6x+3，即可得解；
②依据题意，由抛物线为y＝（x﹣t）2﹣2t，则开口向上，对称轴是直线x＝t，结合t﹣1＜x1＜t+2，则对称轴x＝t在此区间内，从而最小值在顶点处取得：ymin＝﹣2t，又y1最小值为﹣4，从而﹣2t＝﹣4，则t＝2，进而可以代入计算得解；
（2）依据题意，由三倍点满足y＝3x，则可联立方程组，故x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2＝3x，即x2﹣2tx+t2﹣2t+2＝0，结合函数图象无三倍点，从而Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+2）＜0，可得t＜1，又w＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，则其对称轴是直线t＝1，开口向上，进而可以计算得解．
【解答】解：（1）①由题意得，y＝x2﹣2tx+t2﹣2t＝（x﹣t）2﹣2t，
∴顶点为（t，﹣2t）．
∵向左平移5个单位，
∴平移后顶点为（t﹣5，﹣2t），
∵此顶点是三倍点，
∴﹣2t＝3（t﹣5），则t＝3．
∴y＝x2﹣6x+9﹣6，即y＝x2﹣6x+3；
②∵抛物线为y＝（x﹣t）2﹣2t，
∴开口向上，对称轴是直线x＝t，
∵t﹣1＜x1＜t+2，则对称轴x＝t在此区间内，
∴最小值在顶点处取得：ymin＝﹣2t，
∵y1最小值为﹣4，
∴﹣2t＝﹣4，则t＝2，
∴x2＝2t＝4，
∴，即y2＝0；
（2）由题意，∵三倍点满足y＝3x，
∴联立方程组，
∴x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2＝3x，即x2﹣2tx+t2﹣2t+2＝0，
∵函数图象无三倍点，
∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+2）＜0，
∴t＜1．
又∵w＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，则其对称轴是直线t＝1，开口向上，
∴当t＝1时，w取最小值，最小值为1．
∴当t＜1时，w＞1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
37．（2025秋 天长市校级期中）当1≤x≤5时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的x的值．
【分析】把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合x的取值范围，求解即可．
【解答】解：将抛物线解析式配方可得：
，，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4，
∵1≤x≤5，
∴当x＝4时，函数取得最大值，最大值为4，
∴当x＝1时，y取得最小值，最小值为；
∴当x＝1时，y取得最小值为；当x＝4时，y取得最大值为4．
【点评】本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质．熟练掌握以上知识点是关键．
38．（2026 西湖区一模）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 m 3 …
（1）求二次函数的表达式和m的值．
（2）点A（n，y1），B（n+3，y2）都在二次函数图象上，且0＜n＜2，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
（3）当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是，求t的值．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）结合（1）中所求函数解析式及二次函数的性质即可解决问题；
（3）根据二次函数的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
将（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
所以二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
将（1，m）代入y＝﹣x2+2x+3得，
m＝﹣1+2+3＝4；
（2）y1＞y2，理由如下：
由（1）知，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下．
因为0＜n＜2，
所以3＜n+3＜5，
则0≤|n﹣1|＜1，2＜|n+3﹣1|＜4，
所以y1＞y2；
（3）因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
所以当x＝1时，y取得最大值4．
因为当﹣1≤x≤t时，函数值的取值范围是且，
所以t＜1．
将y代入y＝﹣（x﹣1）2+4得，
﹣（x﹣1）2+4，
解得t或．
因为t＜1，
所以t．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
39．（2026 漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）．
（1）求a与b之间关系；
（2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为．
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：．
【分析】（1）由点A（2，t），B（3，t）在该函数的图象上，所以，得到，即可解答；
（2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到x1+x2＝5，代入等式左边和右边即可判断．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为，
，
，
∴；
（2）①由（1）可得b＝﹣5a，
∴，
则函数图象的顶点坐标为．
∴a＞0，且，
解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）．
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4．
②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上，
∴．
由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，
不妨设x1＜x2，则，
∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2，
∴，
∴．
【点评】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· · 平移口诀「左加右减、上加下减」，平移前后a不变
· · 旋转翻折不看整体，只盯顶点坐标和a的符号变化
· · 求区间最值先看对称轴在不在区间内，不在就按增减性在端点取
· · 动轴或动区间问题，一律按对称轴与区间相对位置分类讨论
· · 求解析式先选形式：三点一般式、顶点顶点式、交点交点式
【作业 1】（2025秋 大连期末）要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
【作业 2】（2025秋 廊坊期中）如图，已知抛物线y＝x2﹣1，将该抛物线在x轴及x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折构成的图形记作C2，将C1和C2构成的图形记作C3，关于图形C3，给出的下列四个结论，不正确的是（　　）
A．图形C3是轴对称图形
B．图形C3恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．当时，
D．图形C3所围成区域的面积大于2且小于π
【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．
【解答】解：如图所示，
A．图形C3是轴对称图形，说法正确；
B．图形C3恰好经过（1，0）、（﹣1，0）、（0，1）、（0，﹣1）4个整点，故正确；
C．结合函数图象可知当x＝0时，y＝±1，当时，或，故当时，或，原说法错误；
D．图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积即π×12＝π，大于⊙O内接正方形的面积即，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
【作业 3】（2024秋 献县月考）一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为（1，2），则其解析式可能为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+2
B．
C．
D．或
【分析】根据抛物线的顶点坐标为（1，2），则抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，再根据抛物线的开口方向与抛物线相同，可知a＞0即可．
【解答】解：∵抛物线的开口方向与抛物线相同，
∴a＞0，
∵抛物线的顶点坐标是（1，2），
∴抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2．
观察A，B，C，D四个选项，只有y＝2（x﹣1）2+2符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
【作业 4】（2023秋 高碑店市期末）若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值是（　　）
A．0 B． C． D．2
【分析】把点（m，n）代入y＝﹣x2+1中，得到m+n＝﹣m2+m+1，运用配方法求式子的最大值即可．
【解答】解：∵点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，
∴n＝﹣m2+1，
∴m+n＝﹣m2+m+1＝﹣（m）2，
∴当m时，m+n有最大值．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉配方法是解题的关键．
【作业 5】（2026 合肥校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+a2+1（a≠0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜2时，有y1＜y2；当﹣1≤x1≤3时，y1最小值是8．则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7
【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当x1＜x2＜2时，有y1＜y2，得a＜0，再根据当﹣1≤x≤3时，y最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可．
【解答】解：该抛物线的对称轴为：直线，
∵当x1＜x2＜2时，有y1＜y2，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵在﹣1≤x≤3范围内，且，
∴当时有最大值，x＝﹣1时有最小值，
∴a （﹣1）2﹣5a （﹣1）+a2+1＝8，
解得a1＝﹣7，a2＝1（舍），
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数最值求法，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 6】（2025秋 红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5
C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5
【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，再代入点（0，﹣9），求出系数a＝﹣1，问题得解．
【解答】解：若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），
∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，
又∵抛物线过点（0，﹣9），
∴﹣9＝a（0﹣2）2﹣5，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确记忆相关知识点是解题关键．
【作业 7】（2025秋 长宁区期末）若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为　﹣2　 ．
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解．
【解答】解：原抛物线y＝2（x+m）2+5的顶点坐标为（﹣m，5）．
沿x轴向左平移2个单位后，y＝2（x+m+2）2+5，顶点坐标为 （﹣m﹣2，5）．
因为顶点落在y轴上，
所以横坐标﹣m﹣2＝0，
解得m＝﹣2．
得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业 8】（2026春 池州月考）已知二次函数y＝x2+x+3，将点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+x+3的图象上．
（1）m＝　4　 ；
（2）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围是　　 ．
【分析】（1）先求出平移后点的坐标，代入求解即可；
（2）根据二次函数解析式得出∴图象开口向上，顶点坐标为，当x＝﹣2时，y＝5，再根增减性对n进行分类讨论，列式计算即可．
【解答】解：（1）由条件可知平移后的点为（1﹣m，9），
∵点（1﹣m，9）在y＝x2+x+3的图象上，
∴（1﹣m）2+（1﹣m）+3＝9，
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4；
故答案为：4；
（2）由题意得，
∴图象开口向上，顶点坐标为，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+（﹣2）+3＝5，
①当时，最大值与最小值的差为，
∴，不符合题意，舍去．
②当时，最大值与最小值的差为，符合题意．
③当n＞1时，最大值与最小值的差为，解得n3＝1或n4＝﹣2，不符合题意．
综上，n的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 9】（2026 广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为　26　 ．
【分析】依据题意，由二次函数为y＝（x﹣20）2+26，则抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20，从而可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣20）2+26，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20．
∴当x＝20时，y取最小值为26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【作业 10】（2025秋 宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 y＝x2﹣4x+3（答案不唯一）　 ．
【分析】根据二次函数的性质得到二次项系数为正数，常数项为3，利用此要求写一个二次函数解析式即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），
∴二次项系数为正数，常数项为3，
∴符合题意的抛物线表达式可为y＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．（答案不唯一）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
【作业 11】（2025春 同步）一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 y＝3（x+1）2+2　 ．
【分析】根据二次函数性质形状相同、开口方向相反则a＝3，设出解析式y＝3（x﹣h）2+k，根据顶点为（﹣1，2），即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，
∴a＝3，
设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，
∵顶点为（﹣1，2），
∴这个函数的解析式是y＝3（x+1）2+2，
故答案为：y＝3（x+1）2+2．
【点评】本题考查二次函数图象性质及顶点式，解题的关键是知道二次函数图形形状及开口方向相同即a的值是互为相反数．
【作业 12】（2026 民权县一模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象的顶点坐标为（1，﹣2）．
（1）求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
（2）若点（m，b）在抛物线上，且满足b＜3，求m的取值范围．
（3）当n≤x≤n+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值．
【分析】（1）已知二次函数一般式y＝ax2﹣x+c和顶点坐标，可利用顶点坐标公式或顶点式代入求解参数a、c，再根据函数性质描点画图；
（2）求b＝3时对应的m值，结合抛物线开口向上的性质，确定b＜3时m的范围；
（3）抛物线开口向上，对称轴x＝1，顶点纵坐标﹣2（最小值），分区间在对称轴左侧、跨对称轴、在对称轴右侧三种情况讨论最值，结合“最值差＝2”列方程求解．
【解答】解：（1）设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
y＝ax2﹣2ax+a﹣2，
与原式y＝ax2﹣x+c对比一次项系数：
﹣2a＝﹣2，
a，
常数项：a﹣2＝c，，
∴二次函数表达式为．
画图步骤：
对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣2）；
令y＝0，，x2﹣2x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3，
得到与x轴交点（﹣1，0）、（3，0）；
令x＝0，得到与y轴交点；
描点：（﹣1，0）、、（1，﹣2）、、（3，0），用平滑曲线连接．
图象如下：
（2）当b＝3时，，
解得 ，，
∵，抛物线开口向上，
∴b＜3 时，．
（3）二次函数，对称轴x＝1，最小值为﹣2，
①区间在对称轴左侧：n+3＜1，n＜﹣2，
二次函数的最大值为，最小值为
，
∴，
∴，但（不合题意，舍去）；
②区间在对称轴右侧：n＞1，
二次函数的最大值为，最小值为，
，
∴，但（不合题意，舍去）；
③区间跨对称轴：n≤1≤n+3，﹣2≤n≤1，最小值为﹣2
此时最大值在区间端点取到：
若右端点更大：x＝n+3，，n＝0；（满足）
若左端点更大：x＝n，，n＝﹣1．（满足）
综上，n＝﹣1或n＝0．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，正确进行计算是解题关键．
【作业 13】（2026 东港区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若点A（m，y1）在抛物线y＝ax2﹣2ax上，点B（m，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣x+6上．
①若y1+y2的最小值为，求整数a的值；
②若的值与m无关，求a的值以及抛物线y＝ax2﹣2ax的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；
（2）①求解，再分情况讨论即可；②由，结合的值与m无关，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得抛物线顶点的横坐标为，纵坐标为a﹣2a＝﹣a，
∴顶点坐标为：（1，﹣a）．
（2）①由条件可得：
∴，，
∴，
∵y1+y2的最小值为，
当a＝1时，函数为y1+y2＝﹣3m+6，不符合题意，
当a＞1时，函数为二次函数且有最小值，
最小值为：，
解得：a＝2或，
∵a为整数，则a＝2，
当a＜1时，函数没有最小值，不符合题意．
②
；
∵的值与m无关，
∴，
解得：，
∴抛物线为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
【作业 14】（2024 秦都区校级一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）连接BC交抛物线的对称轴于点P，连接PA，依据轴对称图形的性质可得到PA＝PB，则△PAC的周长＝AC+PA+PC，故当点C、P、B在一条直线上时，△PAC的周长最小值，然后求得直线BC的解析式，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵点A与点B关于直线对称，
∴PA＝PB，
∴AP+PC＝CP+PB．
∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．
又∵BC为定值，
∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．
∵，
∴△PAC的周长最小值为：，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣3，
将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，
∴点P的坐标为（1，﹣2），
即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解二元一次方程组等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．
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